精品解析：山东省潍坊市诸城市等3地2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题

2025-2026学年上学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（ ） A. 6cm B. C. D. 8cm 8. 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 在方向上的投影的数量为 10. 已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面的面积最大值为50 11. 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C. 当与轴相切时， D. 图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 13. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则到平面的距离为__________. 14. 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步㵵. 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 16. 已知直线与． （1）当时，求直线与轴围成的三角形的面积； （2）讨论直线与的位置关系． 17. 如图，在四棱锥中，底面，又分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与面所成角的正弦值. 18. 设的圆心在直线上，且点和均在上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； （3）已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． （1）现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． （2）如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点斜率公式以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为， 则，所以. 故选：A 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B 3. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量可判断ABD，利用条件可说明或可判断C. 【详解】因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量平行， 因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量垂直， 因此， 的方向向量与  的方向向量的数量积为零，即 ，故A正确； 因为 且  ，所以 ， 又因为 ，平行平面具有相同的法向量方向，因此 ，故B正确； 若 ，则或，故C错误； 因为  且 ，所以， 又 ，因此  同时垂直于  和 ， 两个平面有相同的法向量方向，故 ，故D正确. 故选：C 4. 已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 5. 已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 6. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径， 再求出圆心到直线的距离， 从而可得结论. 【详解】由，可得，所以圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交， 又，故圆上与直线的距离等于的点共有4个. 故选：D 7. 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（ ） A. 6cm B. C. D. 8cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D. 8. 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 在方向上的投影的数量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用数量积等于0判断A，利用空间向量共线定理判断B；求出即可判断C；求出即可判断D． 【详解】， ， ， ，A正确； 且，B错误； ，，故与同向的单位向量为，C正确； ，， 所以在方向上的投影的数量为：，D正确； 故选：ACD． 10. 已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面的面积最大值为50 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式、弧长公式、体积公式计算后可判断ABC，利用余弦定理判断轴截面的顶角为钝角后可求过顶点截面的面积最大值后可判断D. 【详解】对于A，圆锥的表面积为，故A错误； 对于B，扇形的圆心角的弧度数为，故B正确； 对于C，圆锥的体积为，故C正确； 对于D，设圆锥轴截面的顶角为，则，所以为钝角， 所以当过顶点的截面三角形的顶角为时，截面面积最大为，故D正确. 故选：BCD 11. 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C. 当与轴相切时， D. 图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：设与轴交于，根据条件判断出的位置，则结果可知；B：取中点，根据作出判断；C：设出点坐标，根据相切关系求解出的坐标，然后可求解出，则结果可知；D：根据条件先判断出与有且仅有一个公共点时与轴交点纵坐标有最大值，然后由点到直线的距离公式求解出点纵坐标，则结果可知. 【详解】对于A：设与轴交于，连接，如图所示， 因为为的直径，所以轴， 当时，则，此时点即为点， 所以与轴公共点坐标为和，故正确； 对于B：取中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以，且， 所以点运动轨迹为圆心为，半径为的圆，故正确； 对于C：设，且， 所以中点，， 当与轴相切时，，化简可得， 由，可解得， 所以，故错误； 对于D：如图所示，设与轴交于点(轴正半轴上的点)，则， 逆向思考，对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当点距离轴最远时，与有且仅有一个公共点， 设，则， 所以到的距离为，解得，所以， 所以与轴的交点到轴距离的最大值为，故正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量共面定理即可求解. 【详解】由空间向量共面定理即可得，解得. 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图象，利用几何法求出点到平面的距离. 【详解】在正方体中，令平面交于点， 由平面平面，平面平面， 平面平面，则，点为的中点， 由平面，平面，得平面平面， 在平面内过点作于，而平面平面， 因此平面，长即为到平面的距离， 在直角中，斜边，而，所以. 故答案为： 14. 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步㵵. 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． 【小问2详解】 由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 16. 已知直线与． （1）当时，求直线与轴围成的三角形的面积； （2）讨论直线与的位置关系． 【答案】（1） （2）当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【解析】 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； 【小问2详解】 解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 17. 如图，在四棱锥中，底面，又分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为分别为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用线面平行的判定分别得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，再求出和平面的法向量，从而求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，，则，，两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 设面的一个法向量为 ，即 令，则，所以， 设直线与面所成的角为， 所以， 即直线与面所成角的正弦值为. 18. 设的圆心在直线上，且点和均在上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； （3）已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或； （3）存在定点，使得为定值，的坐标为. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，半径为，代入点坐标和直线方程得到方程组，解出即可； （2）求出三角形的高，再利用点到直线的距离公式即可得到方程，解出即可； （3）设，，根据两点距离公式列出比值式，再根据系数比得到方程，解出即可. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 假设存在定点，设， 设，则，. 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． （1）现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． （2）如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）设分别为与同方向的单位向量，则， ①，由此能求出结果； ②由题，由，知，由，能求出，进而求出结果； （2）方法一：仿照（1）中的方法进行求解；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ； ②由题， 由，知， 由，知： ， ， ，解得. 则. 【小问2详解】 方法一：设，如图，以分别为轴正方向上的单位向量，建立斜坐标系： ①， 设， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设二面角的平面角为， ， 从而， 所以二面角的正弦值为； 方法二：设， 因为为中点，， 所以， ，显然有， 因此，显然， 有，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 于是有，令，则. 设平面的法向量为， 于是有，令，则， 平面与平面的夹角的余弦值为， 故求二面角的正弦值：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $