精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025年11月高一数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C 2. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，即可求解与的值，再将代入解析式即可得的值，进而求解答案即可. 【详解】令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 3 已知函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用换元法求函数解析式即可 【详解】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 4. 单位时间内通过道路上指定断面车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 135 B. 149 C. 165 D. 195 【答案】B 【解析】 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 6. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 7. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（ ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“函数”的定义逐一判断各命题得解. 【详解】对于（1），取，得，即，又，则，（1）正确； 对于（2），函数在上单调递增，， ， 因此，函数在上是“函数”，（2）正确； 对于（3），，取， 得， 因此函数在上不是“函数”，（3）错误， 所以正确结论的个数是2. 故选：C 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得：.再由当时，，可求出，从而求解答案即可. 【详解】中，令，得， 即，所以； 又，所以，所以. 因为，所以，， 所以. 因为，当时，， 所以，所以， 所以. 故选：B 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 以下说法错误的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 【答案】AD 【解析】 【分析】A由同一个函数的定义域和对应法则相同判断；B应用分离常数法，结合分式型函数的性质确定值域判断；C根据充分、必要性定义确定条件间的推出关系判断；D应用换元法，结合对勾函数的性质求最小值判断. 【详解】A：由的定义域为R，而的定义域为，故不是同一个函数，错； B：由在上都单调递减，易知其值域为，对； C：由满足，但不满足，充分性不成立， 由，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，对； D：令，且在上单调递增，故最小值为，错. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题可判断A；根据充分必要条件的定义可判断B；根据复合函数的值域可判断C；根据对数函数的定义域可判断D. 【详解】由存在量词命题的否定是全称命题可知 “存在，使得”的否定是“对任意，均有”，故A正确； 若，，并且关于的方程的两根， 所以两根必是一正一负，所以充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根， 则，解得，所以必要性也成立， 所以“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，故B正确； 令，则原函数可化为由对勾函数单调性可知， 在上单调递增，所以，无最小值，即无最小值，故C错误； 由对数函数定义域可知使得对数有意义，则有，解得，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，用表示中的较大者，记为，则（ ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：直接解不等式即可；对于B：结合图像分析判断；对于C：分和，两种情况，整理可得，结合二次函数可知，运算求解即可；对于D：整理可得，结合，解不等式即可. 【详解】对于选项A：因为，解得， 所以的解集为，故A错误； 对于选项B：当时，则， 分别作出，的图像，可得的函数图像（实线部分），如图所示：    由图像可知：的值域为，故B正确； 对于选项C：若，则， 可知在上单调递增，符合题意； 若，令，即， 整理可得， 构建，且， 可知函数与x轴有2个交点，不妨设， 由题意可知：，则， 整理可得，解得； 综上所述：，故C错误； 对于选项D：对于不等式，即， 可得， 令，解得或， 若，则，，， 由，解得， 可知其中包含整数，所以不等式有4个整数解，故D正确； 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 求值：______________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：2 13. 设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 14. 设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④． （1）若，满足条件④，则a的取值范围为______．； （2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1），满足条件④，即在上恒成立，分类讨论a的取值，即可得答案. （2）分别求出条件①、条件②、条件③、条件④成立的参数a的范围，再结合，恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，满足条件④，即在上恒成立， 即在上恒成立, 由于，故在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，在上恒成立，符合题意； 当时，上单调递增，在上不会恒成立，不符合题意； 故综合以上得； （2）当①成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故， 故； 当②成立时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上单调递增，故在上不会恒成立， 即此时； 当③成立时，即在上恒成立， 同（1）可得； 由（1）知④成立时，； 当，恰满足条件①时，则，，同时成立，即； 当，恰满足条件②时，； 由于条件③、条件④成立时，二者都等价于，故，不会恰满足其中一个， 综合以上可知； 故答案：； 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可. 四、解答题（共80分） 15. 已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递减； （3）求在上的值域． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由配凑法即可得解； （2）先由（1）得到函数的解析式，再任取，作差计算得到即可证明； （3）先由（2）得到函数在上单调递减，求出其最值即可得解. 【小问1详解】 由题可得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 证明：由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 18. 已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解. （2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.； （3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 则不等式对任意都成立． ①当时，得，此时函数定义域为，不合题意； ②当时，欲使不等式即对任意都成立， 则，即，解得． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得，解得． 综上a的取值范围是. 【小问3详解】 当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 19. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得：，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 （方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. 【小问2详解】 当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. 【小问3详解】 当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故，即从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以从而. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月高一数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知函数，则（    ） A. B. C. D. 4. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 135 B. 149 C. 165 D. 195 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（ ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 以下说法错误的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 10. 下列说法正确是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 11. 已知函数，用表示中的较大者，记为，则（ ） A. 的解集为 B. 当时，的值域为 C. 若上单调递增，则 D. 当时，不等式有4个整数解 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 求值：______________. 13. 设，，且，若恒成立，则实数最大值为________. 14. 设函数，，且函数，定义域均，记：①；②；③；④． （1）若，满足条件④，则a的取值范围为______．； （2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为______． 四、解答题（共80分） 15. 已知函数满足，函数． （1）求的解析式； （2）用单调性的定义证明在上单调递减； （3）求在上的值域． 16. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知函数，其中为实数. （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $