精品解析：天津市宁河区芦台第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

芦台二中2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（共36分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 5. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共84分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 11. 过点且与直线垂直的直线方程为__________. 12. 已知直线与直线平行，则的值为_____. 13. 已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 14. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 15. 已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 17. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求的面积； 18. 已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芦台二中2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利! 第I卷（共36分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为, 设直线的倾斜角为，又， 所以，得. 故选：B 2. 在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义易得. 【详解】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义，可知点关于平面的对称点为. 故选：A. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再与两圆的半径和差比较大小判断作答. 【详解】圆，即的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因此，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：A 5. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 6. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 7. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 8. 如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间向量基本定理即可. 【详解】由题意知，，， ，，， 所以． 故选：D 9. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若△AF1B的周长为4, 由椭圆的定义可知,, ,, ， 所以方程为，故选A. 考点：椭圆方程及性质 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共84分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 11. 过点且与直线垂直的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】与直线垂直的直线方程可设为，代入点的坐标求出参数即可. 【详解】设所求直线为，又直线过点， 所以，解得，所以所求直线方程为，即， 所以，过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 12. 已知直线与直线平行，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行列式求值. 【详解】若即， 则：，：，两直线不平行，所以. 由，且，所以. 故答案为： 13. 已知点在圆上运动，点到直线的距离的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置结合图象即可确定距离的最大值. 【详解】将圆的方程化简为，因为圆心到直线的距离为 ，所以该直线与圆相离， 由题意根据直线与圆的关系，画出图象得 由图可以看出，当点位于图中位置时，点到直线的距离最大， 最大值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知椭圆焦点在轴上，设椭圆方程，再将代入椭圆方程，可得与的坐标，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 15. 已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求到公共弦的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知三角形ABC的三个顶点分别是，，. （1）求边AB上的高所在直线l的方程； （2）求过点A、B，且圆心在直线上的圆G的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再求出AB上的高所在直线l的斜率，结合过点C，写出点斜式，整理为一般式即可； （2）根据直线AB的斜率，求出AB的中垂线斜率，结合AB的中点，得到AB的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心G，GA即为半径，根据圆心半径写出圆G的标准方程即可. 【小问1详解】 由已知得，直线AB的斜率为，所以AB上的高所在直线l的斜率为2，又点，所以AB上的高所在直线l的方程为，即. 【小问2详解】 因为AB的中点为，直线AB斜率为，则AB的中垂线斜率为2， 故AB的中垂线方程为，即，由，解得圆心，则圆G的半径， 故圆G的标准方程为. 17. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求的面积； 【答案】（1） 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率. （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【小问1详解】 由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. 【小问2详解】 由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 18. 已知的圆心在轴上，并且与直线相切于点. （1）求的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆心后，利用圆心与切点的连线与切线垂直，解出，再由圆心及圆上一点确定半径，即可得解； （2）分切线的斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 设圆心，则由题可知，有，解得， 故圆心，半径， 则. 【小问2详解】 设过点的圆的切线为， ①当的斜率不存在时，此时，圆心到直线的距离，此时圆与相切，符合题意； ②当的斜率存在时，可设，即，由直线与圆相切可得： ，整理得，即，解得， 则. 综上所述，切线方程为或. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，可得， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 20. 已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 【答案】（1） （2）直线的方程为， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. 【小问1详解】 因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $