2.4线段的和与差 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

冀教（2024）版数学7年级上册 第二章 几何图形的初步认识 2.4线段的和与差 两条线段不仅可以比较长短，还可以求出它们的和与差. A 小区 B 小区 M影院 N 药店 3km 5km 3km （1）线段AM，MB，AB之间有怎样的关系? （2）线段AB，NB，AN之间有怎样的关系? AM+MB=AB AB-NB=AN 观察思考 课堂导入 为贴合冀教版七年级数学上册2.4线段的和与差的学习，下面以幻灯片分页形式呈现内容，涵盖定义、作图、计算等核心板块，逻辑清晰且适配课堂教学，具体如下： 1. **第1页：课题导入——温故启新** - 旧知回顾：已学线段的概念、长短比较方法和中点定义，明确线段可度量长度。 - 生活设问：两根跳绳，一根长3米，一根长2米，如何得到总长和长度差？黑板上两条不重合线段，怎样画出它们长度之和或差对应的线段？ - 课题明确：本节课掌握线段和与差的定义、尺规作图方法，能解决和差相关计算问题。 2. **第2页：核心定义——线段的和与差** |类型|图形示意|定义与表示| | ---- | ---- | ---- | |线段的和|在线段AC上有一点B|若AB=a，BC=b，那么AC就是AB与BC的和，记作\(AC = AB + BC = a + b\)。| |线段的差|在线段AB上有一点C（a＞b）|若AB=a，AC=b，那么CB就是AB与AC的差，记作\(CB = AB - AC = a - b\)。| - 关键说明：线段的和与差，从“数”上是长度的运算，从“形”上仍是一条线段。 3. **第3页：尺规作图——线段和与差的绘制** - 作线段的和（如作\(AC = a + b\)） 1. 用直尺画射线AD； 2. 圆规量取线段a的长度，在AD上截取\(AB = a\)； 3. 保持圆规或重新量取b的长度，以B为端点，在BD上截取\(BC = b\)，线段AC即为所求。 - 作线段的差（如作\(DB = a - b\)） 1. 用直尺画线段\(AB = a\)； 2. 圆规量取线段b的长度，以A为端点，在AB上截取\(AD = b\)； 3. 剩余线段DB即为a与b的差，即\(DB = a - b\)。 - 口诀总结：外加内减，求和在延长线画，求差在线段内画。 4. **第4页：典例精析——基础计算与推理** 1. 等式推理题：已知\(AB = CD\)，求证\(AC = BD\)。 证明：因为点B、C在线段AD上，所以\(AC = AB + BC\)，\(BD = CD + BC\)。又因为\(AB = CD\)，等式两边加BC，得\(AB + BC = CD + BC\)，即\(AC = BD\)。 2. 基础计算题：线段AB长10cm，在AB上取一点C，使\(BC = 4cm\)，求AC的长。 解：由线段差的定义，\(AC = AB - BC = 10 - 4 = 6cm\)。 5. **第5页：进阶题型——结合中点的计算** 1. 例题：已知线段\(AB = 16cm\)，C是AB中点，D是AC中点，求BD的长度。 2. 解答：因为C是AB中点，所以\(AC = CB=\frac{1}{2}AB = 8cm\)；又因为D是AC中点，所以\(AD = DC=\frac{1}{2}AC = 4cm\)；则\(BD = DC + CB = 4 + 8 = 12cm\)。 3. 思路：先利用中点性质拆分线段，再通过线段和的关系计算目标线段长度。 6. **第6页：易错点警示——避开常见误区** 1. 作图时混淆“内减外加”，如求差时在延长线截取，导致线段长度出错，牢记求和向外延，求差向内截。 2. 计算时忽略点的位置不确定性，如点C在直线AB上而非线段AB上，未分类讨论。例如AB=6cm，AC=2cm，C可能在线段AB上，也可能在BA延长线上，BC对应4cm或8cm两种结果。 3. 误用中点性质，如误将分线段为3:1的点当作中点，中点必须满足分线段为1:1的比例。 7. **第7页：课堂练习——分层巩固** - 基础题：已知线段\(a = 5cm\)，\(b = 3cm\)，用尺规作线段\(m = a + 2b\)。 - 提高题：点C在线段AB的延长线上，\(AB = 5cm\)，\(BC = 3cm\)，M是AC中点，求BM的长度（答案：1cm）。 8. **第8页：课堂小结与课后作业** - 小结：1. 线段和与差的定义及几何意义；2. 尺规作和差线段的“外加内减”法则；3. 结合中点的线段和差计算核心是拆分与组合线段。 - 作业：1. 用尺规作线段\(n = 2a - b\)（已知a＞b）；2. 已知线段\(AB = 12cm\)，点D在直线AB上，\(AD = 8cm\)，求BD的长并画出图形。 情景导入 已知线段a，b，且a＞b. 1.在直线l上顺次画线段AB=a, BC=b. 则线段AC= a b 我们说线段AC是线段a与b的和,记作：AC=a+b. B A C AB+BC=a+b. a b 新知探究 知识点1 线段的和与差 l 探究新知 2.在直线l上画线段AB=a,在线段AB上画AD=b. 则线段BD= . 我们说线段BD是线段a与b的差,记作：BD=a-b. 已知线段a，b，且a ＞ b. a b B A D a b AB-AD=a-b 新知探究 知识点1 线段的和与差 l 探究新知 例1 已知线段AB＝5 cm，在直线AB上截取BC＝3 cm，则线段AC的长为_____________． 2 cm或8 cm 解析：先确定点C的位置，再分析线段的和差关系，求出线段AC长． 当点C在线段AB上时，如图（1），此时AC＝AB－BC＝5－3＝2 (cm)； 当点C在线段AB的延长线上时，如图（2），此时AC＝AB＋BC＝ 5＋3＝8 (cm)． 新知探究 知识点1 线段的和与差 探究新知 （1）如图，线段AB=a＋2b. （2）如图，线段MN=3a－b. 解： a b b A B P Q b a a a N P1 M P P2 例2 如图，已知线段a，b. （1）画出线段AB，使AB=a＋2b. （2）画出线段MN，使MN=3a－b. a b 一看起点， 二看方向， 三看落点. 新知探究 知识点1 线段的和与差 探究新知 例3 如图，如果AB=CD，试说明线段AC和BD有怎样的关系? B A C D 解：因为AB = CD， 所以AB + BC = CD + BC， 所以AC = BD. 新知探究 知识点1 线段的和与差 探究新知 问题 如图，已知线段a和直线l. （1）在直线l上依次画出线段AB=a，BC=a，CD=a，DE=a. （2）根据上述画法填空： AC=____AB， AD=__ AB，AE=____AB； AB= ____ ，AB= _____，AB= _____. a l A B C D E 2 3 4 AC AD AE 新知探究 知识点2 线段的中点 探究新知 如图，线段AB上的一点M，把线段 AB 分成两条线段AM与MB. 如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点. 此时，有 AM=MB= AB， AB=2AM=2MB. A M B 线段的三等分点 线段的四等分点 新知探究 知识点2 线段的中点 探究新知 定义： C A B 因为点C在线段AB上，且AC=BC， 因为点C是线段AB的中点, 所以 所以点C是线段AB的中点. （1）线段的中点的定义解析： （2）线段的中点的性质： （3）线段的中点的判定： 因为点C在线段AB上，且 ； 所以点C是线段AB的中点. AC=BC 新知探究 知识点2 线段的中点 ; ; . 探究新知 判断线段中点的条件：1、在已知线段上；2、把已知线段分成两条相等线段的点。 A C D 8cm E 例4 如下图，线段AC=8cm，点E为AC的中点，D是线段EC的中点.求线段AD的长. 解：因为E为AC的中点 , 所以，AE=CE= AC=4 （cm）. 因为D为CE的中点. 所以CD= EC=2 （cm）. 因为AD=AE+ED，所以AD=4+2=6（cm）. 新知探究 知识点2 线段的中点 探究新知 计算线段长度的一般方法：(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．(2)整体转化：首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段． 1.如图，下列关系式中与图形不符合的是( ) A. AD-CD=AC B. AC+CD=BD C. AC-BC=AB D. AB+BD=AD B 随堂练习 课堂练习 2.如果点B在线段AC上，有下列各式： ①AB=0.5AC； ②AB=BC； ③AC=2AB； ④AB+BC=AC. 其中，能表示点B是线段AC的中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 随堂练习 课堂练习 3.下列四个语句中正确的是 （ ） A.如果AP=BP，那么点P是AB的中点； B.两点间的距离就是两点间的线段; C.两点之间，线段最短; D.比较线段的长短只能用度量法. C 随堂练习 课堂练习 4.根据下图填空： （1）MN＝AN－_______； （2）AM＝AB－MN－ _______ ； （3）AB＝AM＋MN＋ _______ ＝ _______ ＋MB. AM NB NB AM 随堂练习 课堂练习 5.线段AB=6cm，延长线段AB到C，使BC=3cm，则AC是BC的 倍． 6.已知线段AB=4厘米，延长AB到点C，使BC= AB，则AC= 厘米，如果点M为AC的中点，则AM= 厘米． 3 6 3 随堂练习 课堂练习 7.作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使得BC=2AB，P是AC的中点，若AB=30cm，求BP的长. 解：作图如下： A B C P BC = 2AB = 60cm,AC = AB+BC = 30cm + 60cm = 90cm, P是AC的中点，故AP= AC = 45 cm. BP = AP-AB = 45cm - 30cm = 15cm. 随堂练习 课堂练习 8.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M 为 AD的中点，BM=6，求CM 和 AD的长． D A C B M AD=10x=20． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x， 所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6， 即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4， 课堂练习 知识点1 线段的和与差 1.如图，请根据图形填空： （第1题） （1） ____； （2）________ ； （3） ____. 返回 考试考法 19 2.［2025秦皇岛期中］如图，点为线段上一点，， ， 则线段 的长为( ) （第2题） A A.5 B.4 C.3 D.1 返回 考试考法 20 3.［教材例2（1）变式］如图，点，，， 在同一条直线上，如 果，那么与 的大小关系为( ) C A. B. C. D.不能确定 返回 考试考法 21 4.已知线段，在线段的延长线上找一点，作 ， 则___ . 9 返回 考试考法 22 知识点2 作线段的和与差 5.［2025承德期末］如图①，已知线段，，则图②中线段 表示的 是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 23 6.（4分）［教材例1（2）变式］如图，已知线段,,作线段 ，使 得 . 解：如图，线段 即为所作. 返回 考试考法 24 知识点3 线段的中点 7.如图，点是线段上一点，点是线段 的中点，则下列等式不成 立的是( ) （第7题） D A. B. C. D. 返回 考试考法 25 8.［2025石家庄桥西区期末］如图，，，点是线段 的中点，则 的长为( ) （第8题） A A.5 B.9 C.2 D.6 返回 考试考法 26 9.已知线段，延长到，使，为的中点，且 ， 那么线段 的长为( ) C A.4 B.6 C.8 D.10 返回 考试考法 27 10.（4分）如图，已知直线上顺次有三个点，，， ， .是的中点，是的中点，求 的长. 解：因为， ， 所以 . 因为是的中点，是的中点，所以 ， ， 所以 . 返回 考试考法 28 11. 已知点，，都是直线上的点，且 ， ，那么点与点 之间的距离是( ) C A. B. C.或 D. 返回 考试考法 29 12.［教材例2（2）变式］如图，，分别是线段 上的两点 ，在线段上截取，，若点 与点恰好重合，，则 ( ) A A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 返回 考试考法 30 13.小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段到 ，使 ”；②“反向延长线段到，使点是线段 的一个三等分 点”.针对小亮的作图，小莹说：“点是线段 的中点”.小轩说：“ ”.下列说法正确的是( ) D A.小莹、小轩都对 B.小莹不对，小轩对 C.小莹、小轩都不对 D.小莹对，小轩不对 返回 考试考法 31 14.［2025保定竞秀区期末］数学课上，嘉嘉进行了如下操作： ①作射线 ； ②在射线上依次截取 ； ③在线段上截取 ； ④分别找到线段，的中点， . _________________________________________________________________________________ 下列说法错误的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 32 15.如图，点为线段上一点，，是线段 中点， ，为线段的中点，则 ___. 1 返回 考试考法 33 16.（8分）［2025廊坊期末］如图，已知线段，点 是线段 的中点，点是线段延长线上一点，.点是线段 延 长线上一点， . 考试考法 34 （1）求线段 的长； 解：因为线段，点是线段 的中点，所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 考试考法 35 （2）求线段 的长. 解：因为， ， 所以 ， 所以 . 返回 考试考法 36 17.（8分）【问题情境】已知，，， 四点在同一直线上，线段 ，点在线段 上. 考试考法 37 【初步应用】 （1）如图，点是线段的中点，，求线段 的长度； 解：因为，点是线段 的中点， 所以 . 又因为，，所以， ， 所以 . 考试考法 38 【迁移应用】 （2）若点是直线上的一点，且满足， ，求线 段 的长度. 解：①如图，当点在线段 上时， 因为， ， 所以 ， 所以 ； 考试考法 39 ②如图，当点在点 的右侧时， 因为， ， 所以，所以 ， 所以 ； ③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点 ，舍去. 综上所述，线段的长度为或 . 返回 考试考法 40 线段的和与差 线段的中点 如图，点C在线段AB上，则AB＝AC＋BC，AC＝AB－BC. 如图，线段AB上的一点M，把线段 AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点. A M B 线段的 和与差 课堂小结 谢谢观看！ $