5.4二次函数与一元二次方程同步训练2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.4 二次函数与一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线的部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线与抛物线交于，两点．则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 5．二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（    ） … … … … … … A． B． C． D． 6．若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 8．二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 9．已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的一元二次方程的解是 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤ 正确的结论是 （填序号）． 三、解答题 11．已知抛物线： (1)求证：无论为何值，与轴总有两个不同的交点； (2)若两个交点的坐标分别为，且满足，求的值． 12．已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是_________； (2)选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： x … … y … … (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集． 13．如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点的面积为1． (1)求抛物线解析式和直线解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 14．如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象即可求得关于的一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知二次函数与轴的交点，， ∴关于的一元二次方程的解是，， 故选：． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，掌握通过函数图像找到对应不等式的解集范围是解题的关键． 根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点，对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时， ． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 4．D 【分析】本题考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题的关键． 直接利用函数的交点坐标并结合函数图象得出不等式的解集即可． 【详解】∵直线与抛物线交于，两点， ∴根据图象可知，关于的不等式的解集是或． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，   方程的负数解的取值范围是， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先得出关于的方程有两个不相等的实数根，且，利用一元二次方程根的判别式可得，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7．或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数图象与轴只有一个公共点，可知对应的一元二次方程有两个相等的实数根，再根据判别式为零列出关于的一元二次方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程 有两个相等的实数根， ∴，且， 整理得，， 解得或， 故答案为：或． 8． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 9．， 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点关于直线的对称点是点， ∴关于的一元二次方程的解是，， 即关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 10．①④⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即，故④正确； ∴，故①正确； 根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴即，故②错误； ∵对称轴为， ∴和时，函数值相等， 由函数图象得，当时，， ∴时，，即，故③错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有 故答案为：①④⑤． 11．(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴交点个数问题和一元二次方程的解法是解题的关键． （1）当时，，根据一元二次方程根的情况即为抛物线与轴交点的个数进行证明即可； （2）令，解得：，代入得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 由题意得：， ∴无论为何值，有两个不相等的实数根， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）解：令， 解得：， ， 即， 整理得， 解得：或． 12．(1)直线； (2)见解析，见解析； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象，利用函数图像求不等式解集，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将二次函数解析式配方，即可得到对称轴； （2）先选取自变量取值，根据二次函数解析式计算函数值填表，再描点连线画出函数图象即可； （3）结合函数图象即可得到不等式解集． 【详解】（1）解：， 则该抛物线的对称轴是直线； （2）解：填表如下： x … … y … … 函数图象如下： （3）解：由（2）图象可知，当或时，函数图象在轴上方， 则不等式的解集为或． 13．(1)； (2)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）先把代入直线，得到直线解析式为，再设点的坐标为，结合的面积为1，求出点，再代入二次函数得到解析式即可； （2）设直线与二次函数交于另一点，联立得到点，再结合图像写解集即可． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 直线解析式为； 设点的坐标为，则， 解得， 点的坐标为， 把代入得，， 抛物线解析式； （2）设直线与二次函数交于另一点， ，即， 解得或， ， 又，即直线图像要在二次函数图像上方， 所以不等式的解集为或． 14．(1) (2) (3) (4)且 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：根据题意得； （4）解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $