第04讲 二次函数与一元二次方程（3大考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第04讲 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 1 理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握两者相互转化的方法。 2 能用二次函数图象求解一元二次方程，利用方程的解分析函数图象。 3 培养通过函数与方程的联系解决综合问题的能力。 1. 知道二次函数和一元二次方程的关联，熟悉相关概念。 2. 能够运用二次函数图象求解一元二次方程的解，反之亦然。 3. 体会函数与方程结合的思想，提高数学综合运用能力的兴趣。 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 知识点二、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 知识点三、二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 题型01 抛物线与x轴的交点 1．抛物线y＝x2﹣x+2与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，再根据根的判别式判断有几个解就是与x轴有几个交点． 【解答】解：令y＝0，即x2﹣x+2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣x+2＝0没有实数根， ∴抛物线y＝x2﹣x+2与x轴没有交点， 故选：A． 【点评】此题主要考查抛物线与x轴的交点，解题关键是将抛物线与x轴交点的个数问题转化为一元二次方程根的问题． 2．已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，从而可得a＜0，﹣2+11，﹣2×12，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1， ∴a＜0，﹣2+11，﹣2×12． ∴二次函数y＝ax2+x﹣c的开口向下，且1，2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 3．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 【分析】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标， 而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1， 即函数y′向上平移1个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，x1＜m＜n＜x2， 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键． 题型02 图像法求一元二次方程的近似根 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1”由此即可得出结论． 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 2．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+5x﹣3中a＝1＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴x， ∴x时y随x的增大而增大， ∵当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，y＝1.31＞0， ∴方程x2+5x﹣3＝0的一个正根：0.5＜x＜0.75， 故选：C． 【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②ab；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先利用抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，m＞3可判断a＞0，由对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对①进行判断；由于当x＝﹣2时，m＝8a﹣1＞3，则a，所以ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性和增减性，则可对③进行判断；利用y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax经过点（0，0），（2，0），可对④进行判断；由于x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1＞0，则可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵1， ∴b＝﹣2a＜0，所以①正确； ∵x＝0时，y＝﹣1， ∴c＝﹣1， ∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3， ∴a， ∵ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2， ∴ab，所以②正确； ∵抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），抛物线过点（t，n），t＞4， ∴m＜n，所以③正确； ∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2）， ∴此抛物线经过点（0，0），（2，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和2，所以④错误； ∵x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0， x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1， ∵a， ∴3a﹣1＞0 ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间，所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 题型03 二次函数与不等式（组） 1．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 【分析】根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点， 根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键． 2．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0）， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 3．如图，抛物线y＝ax2+k与直线y＝mx+n交于A（﹣3，p），B（1，q）两点，则不等式mx+n＞ax2+k的解集为 　 　． 【分析】根据函数图象可知直线在抛物线上方时，x取值范围，即可求解． 【解答】解：根据函数图象可得不等式mx+n＞ax2+k的解集为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），正确地识别图象是解题的关键． 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+2b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2， 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b＝﹣2a，x＝﹣1时y＜0可判断③，由x＝1时函数取最大值可判断④，由函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1及直线y＝﹣1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|＝1的解及抛物线的对称轴为直线x＝1可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①错误． ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，②错误． ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a， ∴b+c＜0， ∴2c＜3b，③正确． ∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值， ∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1）， ∴a+b＞m（am+b）（m≠1）， ∵b＞0， ∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确． 方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根， ∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称， ∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2， 抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2， ∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 3．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的最小值为﹣6 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与x轴无交点 D．当x＞2时，y的值随x值的增大而增大 【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解． 【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）， ∴抛物线对称轴为直线x， ∵抛物线经过点（﹣2，6）， ∴当x时，y随x增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴x时，y随x增大而增大， ∴当x＞2时，y随x增大而增大， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①2a+b＝0； ②a+b+c＞0； ③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根； ④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及抛物线的性质求解． 【解答】解：由图象得：a＞0，与x轴相交于点（﹣1，0）和（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x1，即1， ∴b+2a＝0， 故①是正确的； 由图象得：当x＝1，y＜0，即a+b+c＜0， 故②是错误的； ∵a＞0， ∴y＝a在x轴的上方，∴y＝ax2+bx+c的图象与y＝a有两个交点， 故③是正确的； 根据平移得：y＝ax2+bx+c的图象向左平移1个单位得y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象， ∴y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象与x轴的交点为（﹣2，0）（2，0）， ∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2． 故④是正确的； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系，掌握函数与不等式的关系及抛物线的性质是解题的关键． 5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】求解函数与x轴的交点坐标，如图，当顶点在E（3，1）处时，A点的横坐标最大，求解解析式，再求解当顶点在C（﹣1，4）处时，B点的横坐标最小时的抛物线，再求解函数与x轴的交点坐标即可得到答案． 【解答】解：如图，当顶点在E（3，1）处时，A点的横坐标最大， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+1，代入A（2，0），解得a＝﹣1， 则抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+1； 如图，当顶点在C（﹣1，4）处时，B点的横坐标最小， 这时抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+4， 当y＝0时，y＝﹣（x+1）2+4＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴点B的横坐标的最小值为1． ． 故选：A． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，能求出函数与x轴的交点坐标是解题的关键． 6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的根为 　x＝﹣1或x＝3　；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是 　﹣1＜x＜3　；当x 　＞1　时，y随x的增大而减小． 【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式﹣x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 【解答】解：∵对称轴为x＝1，一个根为3， ∴1， ∴x＝﹣1， ∴﹣x2+2x+m＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3， ∴不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是﹣1＜x＜3， 当x＞1时，y随x的而减小． 【点评】解答此题的关键是利用对称轴求得函数图象与x轴的交点坐标，然后由图象解不等式，此题锻炼了学生数形结合的思想方法． 7．已知抛物线y＝x2+3x﹣5与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），则3x2+15＝ 　29　． 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，可判断x1、x2为方程x2+3x﹣5＝0的两根，利用一元二次方程解的定义得到3x1+5，则3x2+15＝﹣3（x1+x2）+20，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣5与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0）， ∴x1、x2为方程x2+3x﹣5＝0的两根， ∴3x1﹣5＝0， ∴3x1+5， ∴3x2+15＝﹣3x1+5﹣3x2+15＝﹣3（x1+x2）+20， ∵x1+x2＝﹣3， ∴3x2+15＝﹣3×（﹣3）+20＝29． 故答案为：29． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系． 8．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF＝2∠ACO，则m的值为　　． 【分析】先用m的代数式表示出A，B，C的坐标，再作∠OCB的平分线交OB于点G，过点G作GH⊥BC于点H，根据全等和角平分线性质得到用m的代数式表示的GH和GB的长，根据GH和GB的关系即可求出m的值． 【解答】解：在y＝﹣x2+2mx+2m+1中，当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0， 解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1， ∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（﹣1，0），B（2m+1，0）， 在y＝﹣x2+2mx+2m+1中，当x＝0时，y＝2m+1， ∴C（0，2m+1）， ∴OB＝OC＝2m+1， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝45°， ∵EF∥y轴， ∴∠BEF＝∠BCO， ∵∠BEF＝2∠ACO， ∴∠BCO＝2∠ACO， 作∠OCB的平分线交OB于点G，过点G作GH⊥BC于点H，则OG＝GH，如图， ∴∠BCO＝2∠OCG，GH＝GO， ∴∠ACO＝∠GCO， ∴△ACO≌△GCO（ASA）， ∴OA＝OG＝GH＝1， ∴GB＝OB﹣OG＝2m+1﹣1＝2m， ∵GH⊥BC，∠GBH＝45°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　20　． 【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解． 【解答】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4）， ∴点C坐标为（0，4）， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， 由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0）， ∴S△ABCAB•OC20， 故答案为：20． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 10．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　m或m＜0　． 【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论． 【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y的图象恒相交， ①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交， 与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时， 即方程x+m＝﹣x2+2x有两个实数根， ∴x2﹣x+m＝0． ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0， 解得：m． ∴当0＜m时，直线y＝x+m与函数y的图象有两个或三个交点， ∴当m时，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点； ②当m＜0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点， 综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为m或m＜0． 故答案为：m或m＜0． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键． 11．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3． （1）在所给的坐标系中画出这条抛物线； （2）利用图象回答：x取什么值时，函数值小于0？ 【分析】（1）利用列表、描点、连线即可解决； （2）直接根据函数图象可得出结论． 【解答】解：（1）列表 x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..． y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..． 描点、连线， （2）由函数图象知，当抛物线在x轴上方时，x＜﹣1或x＞3， ∴当﹣1＜x＜3时，函数值大于0． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过P点作PE∥y轴交于AC于E点，直线AC的解析式为y＝x+4，设P（m，m2﹣m+4），则E（m，m+4），可得PF（m+2）2，运用二次函数性质即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为yx2﹣x+4； （2）过点P作PE∥y轴，交AC于点E，如图， ∵抛物线yx2﹣x+4交y轴于点C， ∴C（0，4）， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， 设P（m，m2﹣m+4），则E（m，m+4）， ∴PEm2﹣m+4﹣（m+4）m2﹣2m， ∵OA＝OC＝4， ∴△ACO是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°， ∵PE∥y轴， ∴∠PEF＝∠ACO＝45°， ∵PF⊥AC， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PFPE（m2﹣2m）（m+2）2， ∵0， ∴当m＝﹣2时，PF取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，4）． 【点评】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 13．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． （1）连结BC，求直线BC的解析式； （2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值． 【分析】（1）求出B，C两点坐标，利用待定系数法求解； （2）构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）∵对于， 令x＝0，可得y＝2， ∴B（0，2）， 令y＝0，可得x2x+2＝0， 解得x＝﹣1或4， ∴A（﹣1，0），C（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， 解得k ∴直线BC的解析式为yx+2； （2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2）， ∴PQt2t+2t﹣2t2+2t， ∴S4×（﹣t2+2t）＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2， 当t＝1时，△BCP的面积最大，面积的最大值为2，此时P（1，3）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求黑夜传说的解析式，二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y1＝0时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把y2＝﹣x﹣1代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据A（﹣1，0），C（2，﹣3），结合图象，即可确定x的取值范围． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 【点评】本题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 15．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点． （1）求二次函数解析式； （2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＜mx+n的解集 　1＜x＜4　； （3）二次函数y＝x2+bx+c，当1≤x≤3时，对应的函数值y的取值范围为 　﹣1≤y≤0　． 【分析】（1）将A（1，0），B（0，3）代入y＝x2+bx+c，求出b和c的值，即可得出二次函数解析式； （2）先求出二次函数的对称轴，进而得出点C的坐标，根据函数图象，写出二次函数图形低于一次函数图象时，x的取值范围即可； （3）根据二次函数的性质，先求出该函数的最小值，再求出当x＝1时和当x＝3时y的值，即可得出y的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），将点A，点B代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴二次函数图象对称轴为直线x＝2， ∵点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点，B（0，3）， ∴点C的坐标为（4，3）， ∵点A的坐标为（1，0）， ∴由图可知，当1＜x＜4时，x2+bx+c＜mx+n； 故答案为：1＜x＜4； （3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴当x＝2时，y有最小值﹣1， 当x＝1时，y＝1﹣4+3＝0， 当x＝3时，y＝9﹣4×3+3＝0， ∴当1≤x≤3时，﹣1≤y≤0， 故答案为：﹣1≤y≤0． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． 16．如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　（﹣3，0）　； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　﹣4≤y＜5　． 【分析】（1）根据函数的对称性可得结论； （2）用待定系数法可求解析式即可； （3）根据函数的性质结合函数图象求y的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴一个交点坐标为（1，0）， ∴二次函数图象与x轴的另一交点为（﹣3，0）， 故答案为：（﹣3，0）； （2）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4， 把（1，0）代入解析式得：4a﹣4＝0， 解得a＝1， ∴二次函数的表达式表达式为y＝（x+1）2﹣4； （3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴抛物线的最小值为﹣4， ∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞0﹣（﹣1）＝1， ∴当x＝﹣4时，y＝5， ∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜5， 故答案为：﹣4≤y＜5． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 1 理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握两者相互转化的方法。 2 能用二次函数图象求解一元二次方程，利用方程的解分析函数图象。 3 培养通过函数与方程的联系解决综合问题的能力。 1. 知道二次函数和一元二次方程的关联，熟悉相关概念。 2. 能够运用二次函数图象求解一元二次方程的解，反之亦然。 3. 体会函数与方程结合的思想，提高数学综合运用能力的兴趣。 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 知识点二、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 知识点三、二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 题型01 抛物线与x轴的交点 1．抛物线y＝x2﹣x+2与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 题型02 图像法求一元二次方程的近似根 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 2．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（　　） A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②ab；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型03 二次函数与不等式（组） 1．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 2．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 3．如图，抛物线y＝ax2+k与直线y＝mx+n交于A（﹣3，p），B（1，q）两点，则不等式mx+n＞ax2+k的解集为 　 　． 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+2b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2， 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的最小值为﹣6 B．这个函数的图象开口向下 C．这个函数的图象与x轴无交点 D．当x＞2时，y的值随x值的增大而增大 4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①2a+b＝0； ②a+b+c＞0； ③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根； ④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的根为 　 　；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是 　 　；当x 　 　时，y随x的增大而减小． 7．已知抛物线y＝x2+3x﹣5与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），则3x2+15＝ 　 　． 8．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF＝2∠ACO，则m的值为　 　． 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　 　． 10．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　 　． 11．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3． （1）在所给的坐标系中画出这条抛物线； （2）利用图象回答：x取什么值时，函数值小于0？ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值． 13．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． （1）连结BC，求直线BC的解析式； （2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 15．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点． （1）求二次函数解析式； （2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＜mx+n的解集 　 　； （3）二次函数y＝x2+bx+c，当1≤x≤3时，对应的函数值y的取值范围为 　 　． 16．如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$