1.4用一元二次方程解决问题同步训练2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.4 用一元二次方程解决问题 同步训练 一、单选题 1．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 2．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 4．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（   ） A． B． C． D． 5．某商场将进货单价为30元的商品按60元出售时，每天能卖出20件，经市场调研发现，若每件商品的单价每降价1元，则每天可多卖出4件，商场为了保证获得1200元的利润，则每件商品的售价应定为多少元？嘉淇根据题意列出了方程，下列说法错误的是（） A．表示每件商品的售价降低了元 B．表示每件商品的售价为元 C．代数式表示每件商品的利润 D．代数式表示销售的数量 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 7．如图，翰林小区物业计划在一个长米、宽米的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x米的道路，中间是宽2x米的道路，如果停车区域的总面积是平方米，那么x的值是 （   ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题 8．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 ． 9．为落实劳动教育要求，某中学组织学生用总长为10米的篱笆，在校园直角围墙一角围建矩形种植实践区，最终建成的实践区面积达16平方米，则该矩形的较短边长为 米． 10．2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）采用双循环赛制（每两队之间比赛两次），已知南区小组赛共进行了30场比赛，若南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，可列方程为 ． 11．在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为 ．    三、解答题 12．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．求门高． 13．若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 14．为了庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，小红想给纪念标识进行装裱．如图，该纪念标识被打印到了长，宽的矩形纸张上．小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一副矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，求相框的宽度． 15．洛川苹果肉质细嫩紧致，汁多松脆，酸甜可口，一家水果店以每斤元的价格购进洛川苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤．通过市场调研发现，洛川苹果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．设洛川苹果每斤的售价降低元． (1)该水果店每天洛川苹果的销售量是_____斤；（用含的代数式表示） (2)若该水果店销售洛川苹果想要每天盈利元，且每天至少售出斤，则该水果店应将洛川苹果每斤的售价降低多少元？ 16．如图，用一段69米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为35米． (1)如果羊圈的总面积为320平方米，求边AB的长； (2)请问羊圈的总面积能为400平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 根据题意列出方程，化简后求解一元二次方程，即可解题． 【详解】解：设这个数为 ，依题意得： ， 去括号得：， 移项得：， 因式分解得：， ∴ 或 ， 即：这个数是1或． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每人传染x人，根据两轮传染后总人数为36人，列出方程求解x，再计算第三轮新传染人数，加上原有人数得到总人数，即可作答． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人， ∵初始1人患流感， ∴第一轮后患病人数为人，第二轮后患病人数为人， 依题意，得， 解得或（舍去）， ∵两轮后患病人数为36人， ∴第三轮新传染人数为：（人）， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【详解】解：设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选：B 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的应用；嘉淇所列方程中，表示每件商品降价金额，而非售价；代数式表示降价后每件利润，表示降价后销售数量．选项将误解为售价，因此错误． 【详解】解：方程中，为原售价，为进货单价， 为原利润；为降价金额， 为降价后每件利润；为原销量，每降元多卖件， 为降价后销量．方程表示降价后利润销量．选项A正确， 表示降价金额；选项B错误， 表示每件利润；选项C正确，表示销量，选项D正确． ∴说法错误的是B． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：矩形场地长米、宽米，停车位两侧是宽x米的道路，中间是宽2x米的道路， 停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得 即 解得，． ，不合题意舍去， 故选：C． 8． 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，据此列出方程即可． 【详解】解：∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 9．2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该矩形的较短边长为米，根据面积达16平方米，列一元二次方程，求较小值即可． 【详解】解：设该矩形的较短边长为米，则较长边长为米， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍）， 即该矩形的较短边长为米， 故答案为：2． 10． 【分析】本-题考查一元二次方程的应用，双循环赛制下，每两队之间比赛两场，总比赛场次等于球队数x与的乘积，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，总场次为30， 故可列方程为， 故答案为：． 11．2 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），， 则剪去小正方形的边长是． 故答案为：2． 12．8尺 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 13．每个头盔的定价应为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 14．相框的宽为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设相框的宽为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设相框的宽为， ， ， 解得：，（舍）． 答：相框的宽为． 15．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程和不等式的性质解答． （1）根据题意可以用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得水果店需将每斤的售价降低多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， 每天的销售量是：（斤）， 故答案为：． （2）由题意可得，， 解得：，， 保证每天至少售出斤， ， 解得， ， 即水果店需将每斤的售价降低1元． 16．(1)AB=10 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设边的长为米，则米，根据羊圈的总面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设边的长为米，则米，根据羊圈的总面积为平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可解决问题． 【详解】（1）解：设边的长为米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，米，不符合题意，舍去， 当时，米，符合题意， 答：边的长为米； （2）羊圈的总面积不能为平方米，理由如下： 设边的长为米，则米， 由题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根， 羊圈的总面积不能为平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $