1.3一元二次方程的根与系数的关系同步训练2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 一、单选题 1．已知、是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．关于x的一元二次方程的两个根分别是3，，则p，q的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 5．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．12 6．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 二、填空题 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 9．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 三、解答题 12．若方程的两根为，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)①；②． 13．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根为0，求另一个根． 14．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根，满足，求的值． 15．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和公式）计算即可． 【详解】解：∵方程 中，，， ∴， 故选： B． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 对于方程，两根之和为，两根之积为．已知两根为3和，直接计算即可求解． 【详解】解：∵方程 的两根分别为3和， ∴两根之和：，即， ∴； 两根之积：， 即． 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，； ∴结论正确的是， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，运用根与系数的关系得到的值是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到的值，再对变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选B． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 8．4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求另一个根即可． 【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系，有， 解得． 故答案为4． 9． 【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 【详解】解：设方程的另一个根为 ， ∵一元二次方程有一个根是1， ∴，即， 即另一个根是． 故答案为： 10． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，, ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ , ∴ ． 故答案为：． 11．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的关系．先根据题意得到，，把变形为整体代入即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即． ∴ 故答案为：2024 12．(1) (2)①；② 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系及利用一元二次方程根与系数关系求代数式的值，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）①将恒等变形为，将，代入计算即可得到答案；②将恒等变形为，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的两根为， ，， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ① ； ② ． 13．(1) (2)另一个根为2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为2． 14．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与韦达定理的应用，涉及的知识点是判别式的性质、韦达定理．解题中用到的方法是 “判别式法”（求参数范围）和 “韦达定理代入法”（结合根的关系求参数）．解题关键是准确计算判别式与韦达定理的结果，同时注意最终结果需满足原方程有实数根的条件．易错点是忽略（1）中的范围，导致保留不符合条件的解． （1）利用一元二次方程有实数根的条件（判别式），列不等式求解的范围； （2）先通过韦达定理表示出根的和与积，再将条件式展开，代入后解方程，最后结合（1）的范围筛选的值． 【详解】（1）该方程有实数根， ，解得； （2）∵方程的两根，， ∴，， ，即， ， 整理，得， 解得，， ， ． 15．(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $