专题十：三角形的证明-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十：三角形的证明 一、单选题 1．嘉嘉在测量的度数时，错误地将量角器摆放成如图所示的位置，则的度数（    ） A．小于40° B．大于40° C．等于40° D．无法确定 2．某校九年级1班学生小聪家和小明家到学校的直线距离分别是和．那么小聪，小明两家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以点为圆心，在轴，轴上分别截取，，使得，然后分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，如果点的坐标为，则的值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图， 与关于直线l对称，若，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 8．如图，直线，一副三角板放置在，之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．若，则的长是（　　）    A．8 B．12 C．16 D．20 10．如图，正方形的边长为，点从点出发滑着线段向点运动（不与点，重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论： ①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是．其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．下列说法中正确的是 ． ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 12．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米．    13．数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ． 14．如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ． 15．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题是 ． 16．如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为 ． 17．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 18．如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为 三、解答题 19．如图，，求证：． 20．将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 21．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，，反比例函数经过中点，交于点， (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，求的面积． 23．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，连接． (1)求的值． (2)求的度数． 24．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 25．如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，把一块等腰直角三角形纸板放在内，使其斜边在线段上，可沿着线段上下滑动，其中，，点G为边的中点． (1)如图1，当点A与点D重合时，求经过点G的反比例函数的解析式； (2)在滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由． 26．（1）【问题背景】如图①，，，，连接．求证：； （2）【问题探究】将图①中绕着点旋转，使点落在内部，如图②，其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论； （3）【拓展应用】连接图①中，如图③，若，请直接写出四边形的面积． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十：三角形的证明 一、单选题 1．嘉嘉在测量的度数时，错误地将量角器摆放成如图所示的位置，则的度数（    ） A．小于40° B．大于40° C．等于40° D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，运用三角形的外角大于任何一个与它不相邻的外角解题即可． 【详解】连接，则 又∵是的外角， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 2．某校九年级1班学生小聪家和小明家到学校的直线距离分别是和．那么小聪，小明两家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：依题意，设小聪家和小明家的直线距离为， 则， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号． 3．如图，以点为圆心，在轴，轴上分别截取，，使得，然后分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，如果点的坐标为，则的值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作法，坐标与图形，一次函数的几何应用，由作图可知点在的角平分线上，即点在直线上，即得，解之即可求解，掌握直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，点在的角平分线上，即点在直线上， ∴， 解得， 故选：A． 4．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等积法求出点到直线的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出． 5．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据对折的性质可知，，由平行线性质得到，可得，根据对顶角相等可得到的度数，再利用三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可知， ∵两边沿互相平行， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：C． 6．如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握根据尺规作图痕迹判断，以及勾股定理解直角三角形．连接，利用基本作图得到垂直平分，则，设，则， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得垂直平分，则， 点是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得 ， 即． 故选：C． 7．如图， 与关于直线l对称，若，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由轴对称的性质可知， ，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ， ∴， 故选：A． 8．如图，直线，一副三角板放置在，之间，两三角板斜边在同一直线上，含30°角的三角板的一直角边在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，从而求出的度数，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图，   直线， ， ，且， ， 故选：D． 9．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．若，则的长是（　　）    A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】由得且为的中位线，再推出是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点O是中点， ∴，即E为中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为，点从点出发滑着线段向点运动（不与点，重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点，重合，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论： ①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是．其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据题意可证，可判定结论①；条件不足无法判定结论②；根据当点运动到中点时，点从点同时出发，则点运动到中点，再结合勾股定理可判定结论③；根据可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：结论①， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是定值，故结论①正确； 结论②， 由结论①可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵无法证明， ∴无法确定平分，故结论②错误； 结论③， 当点运动到中点时，且， ∵点从点同时出发， ∴点运动到中点， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴，故结论③正确； 结论④， ∵由结论①正确可知，， ∴， ∴， 若，即， ∵在中，， ∴，则， ∴， ∴四边形的面积是，故结论④正确； 综上所述，正确的有①③④，个， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 二、填空题 11．下列说法中正确的是 ． ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定定理，平移的性质，随机事件的概念，平行的性质和垂直的性质求解即可． 【详解】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，原说法正确； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，原说法错误； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，原说法错误； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原说法错误； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误． 说法中正确的是①． 故答案为：①． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，平移的性质，随机事件的概念，平行的性质和垂直的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米．    【答案】10 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，，， 可得：，， ∵，拱高米， ∴， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：， 即圆弧形桥拱所在圆的半径是米． 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 13．数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 14．如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据勾股定理，则有： cm， 故答案为：． 15．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数、命题与定理等知识点，根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可． 【详解】解：①当时，如果，那么，故①不符合题意； ②若，则正确，但是若，则不一定正确，故②不符合题意； ③等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，故③符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形不一定全等，故④不符合题意； 故答案为：③． 16．如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点H，过点D作于点G，过点A作于点P，则，可得四边形是矩形，设，则，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，再证得是梯形的中位线，可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点H，过点D作于点G，过点A作于点P，则， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵，E是的中点， ∴，即， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键． 17．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 18．如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为 【答案】 【分析】题目主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，解分式方程；关键在于首先推出，的横坐标，然后总结出的横坐标为，然后求出a的值代入分式方程即可． 【详解】作于D，如图所示： ∵点A的坐标为， ∴是边长为1的正三角形， ∴， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴方程为， 解方程的， 经检验是方程的解， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 直接运用进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 20．将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1)80° (2)1cm 【分析】本题考查图形的平移： （1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可； （2）用，求解即可． 【详解】（1）解：∵平移， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）∵， ∴． ∴平移的距离为1 cm． 21．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)证明过程见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个含角的直角三角板的顶点的坐标是，，反比例函数经过中点，交于点， (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，求的面积． 【答案】(1)y＝ (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）利用割补法求面积． 【详解】（1）解：是的中点，， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为：； （2）过作轴于点，交于点， 则，， ， ， ， ， ， ，， 设直线的解析式为：， ， 直线的解析式为：， 联立得：（负值舍去）， ，， 的面积为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合思想是解题的关键． 23．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，连接． (1)求的值． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）过点作于点，根据余弦的定义，求得，勾股定理求得，由即可求解； （2）先求得，进而根据平行线分线段成比例可得，进而求得，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则 ，， （2）由勾股定理可知， ∴． 24．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将上的一点变换为，上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为，称为的变换图形． (1)①点的变换点的坐标是______； ②直线的变换图形上任意一点的横坐标是______； (2)求直线的变换图形与轴的交点坐标； (3)已知点的坐标是，以点为圆心，1为半径作，若的变换图形与直线有共公点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①由变换点定义求解即可；②由变换图形定义求解即可； （2）设直线上一点为，根据变换图形定义求出变换点，然后求出解析式即可得解； （3）取两点A和B且为直径，进而利用变换图形的定义求出的变换图形的圆心坐标，进而结合图形求解即可． 【详解】（1）①由定义可知点的变换点的坐标，即， 故答案为：； ②设直线上点为， ∴变换图形横坐标为， 故答案为：； （2）设直线上一点为， 则其变化点为，即， ∴， ∴直线的变换图形的解析式为， 令，得， ∴直线的变换图形与x轴的交点坐标为； （3）∵的半径为1，圆心， ∴可在圆上取两点，，，且为直径， ∴点A的变换点为，点B的变换点为， ∴中点为，， ∵为直径， ∴的变换图形则是以为圆心，为半径的圆， 记直线为直线l，且与y轴交于点K，则， 当与直线相切，且在直线上方时，过作于点M，    由辅助线可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当与直线相切，且在直线下方时， 同理可知∴， ∴， ∴，即， ∴． 综上，． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的应用，切线的性质，勾股定理等知识，正确理解变换图形的定义，能够准确表示出变换点的坐标是解题的关键． 25．如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，把一块等腰直角三角形纸板放在内，使其斜边在线段上，可沿着线段上下滑动，其中，，点G为边的中点． (1)如图1，当点A与点D重合时，求经过点G的反比例函数的解析式； (2)在滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）首先求出，然后当与重合时，，得到，求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，则点横坐标为，代入得到，求出，然后根据题意得到，求出，得到点坐标为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵直线与坐标轴交于A，B两点， ∴当时，；当时，， 解得 ∴， ∴， 当与重合时，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，且为的中点， ∴， ∵经过点的反比例函数解析式为 ∴， ∴经过点的反比例函数的解析式为； （2）设，则点横坐标为， 将代入直线的解析式可得， ∴， ∵为中点， ∴， 若反比例函数同时过、点，则可得， 解得，此时点坐标为， 设过、的反比例函数解析式为，则， ∴经过点的反比例函数的图象能同时经过点，其函数解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 26．（1）【问题背景】如图①，，，，连接．求证：； （2）【问题探究】将图①中绕着点旋转，使点落在内部，如图②，其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论； （3）【拓展应用】连接图①中，如图③，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，证明见解析；（3）32 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式．证明三角形全等是解答本题的关键． （1）根据题意易得到，利用全等三角形的性质求解； （2）根据题意易得到，利用全等三角形的性质求解； （3）根据题意易得到，进而得到于点， 利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，． 证明：延长交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴；． ∵， ∴ ∴， ∴于点， ． 试卷第10页，共26页 试卷第11页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $