12.4.3 角平分线 教学设计 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦角平分线性质定理及逆定理，通过复习定义与轴对称性导入，前承线段垂直平分线逻辑与逆命题概念，为探究搭建学习支架，引导进入“直观-推理-应用”路径。 设计以“猜想-证明-应用”为主线，折纸测量培养几何直观，全等证明强化推理意识，超市选址实例发展应用意识，突破距离概念混淆等难点，为教师提供清晰流程，提升课堂效率与学生几何素养。

第十二章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 12.4.3 角平分线   一、教材分析 本节是“逆命题和逆定理”第3课时，隶属于第十二章“全等三角形”的应用延伸板块，前承线段垂直平分线的“性质-判定”逻辑体系，以及逆命题、逆定理的基础概念，后为后续解决三角形角平分线相关证明铺垫.​ 教材编排遵循几何学习的“直观-推理-应用”路径：先通过折纸、画图观察，引导学生猜想“角平分线上的点到角两边距离相等”；再借助全等三角形（HL或AAS）完成严谨证明，强化逻辑推理；随后推导性质定理的逆命题，验证其真实性并确立为判定定理，呼应前课时“互逆定理”核心，深化“双向论证”思维.​ 内容兼顾理论与实践：既通过定理推导巩固全等三角形判定、逆命题等旧知，又融入尺规作角平分线的操作（明确作图依据），还设计实际应用场景（如确定到角两边距离相等的点），旨在让学生掌握角平分线性质与判定的同时，提升几何推理、动手操作能力，完善几何知识框架.   二、学情分析 学生此前已掌握全等三角形判定（HL、AAS等）、逆命题与逆定理概念，且通过线段垂直平分线的学习，熟悉了“性质-判定”的互逆逻辑与“直观猜想-严谨证明”的几何学习流程，具备一定的推理与动手基础，能初步理解“图形性质与位置关系”的关联.​ 但存在明显认知难点：一是易混淆“角平分线上的点到角两边的距离”（垂线段长度）与“点到角两边的任意线段长度”，对“距离”的定义理解不精准；二是推导判定定理时，难以从“到角两边距离相等”反向构建全等三角形证明“点在角平分线上”，逆向思维仍需强化；三是综合应用中，不会主动联想角平分线性质简化全等证明，且尺规作角平分线时，部分学生仅机械模仿步骤，不理解“SSS” 的作图依据.​ 此外，学生对几何定理的“条件-结论”对应关系把握不足，易在书写证明过程时遗漏关键条件（如“垂直”），需通过针对性辨析与练习突破.   三、教学目标 1.熟练掌握角平分线的性质定理及逆定理； 2.能运用角平分线的性质定理及逆定理进行证明或计算； 3.体会直观猜想需严谨证明，培养严谨细致的数学态度； 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.   四、教学重难点 重点：熟练掌握角平分线的性质定理及逆定理. 难点：能运用角平分线的性质定理及逆定理进行证明或计算.   五、教学过程 · 复习回顾 1.角平分线的定义是什么？ 预设：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 如图，射线AD平分∠BAC， 所以AD就是∠BAC的角平分线. 2.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 预设：角是轴对称图形，角的平分线是角的对称轴. 思考：角的平分线有哪些性质呢？ 师生活动：教师提出问题，学生思考后尝试回答． 设计意图：通过复习角平分线的定义和角的轴对称性，为探究其性质做好知识铺垫，引导学生自然进入后续思考. · 探究新知 活动一：角平分线的性质定理 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 思考：(1)将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？ 预设：PD与PE完全重合. (2)换个点试试，作P1M⊥OA，P1N⊥OB，量一量P1M、P1N的长， 你又发现了什么？ 预设：P1M=P1N. (3)通过刚才的探究与测量，你有什么猜想？ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等． 思考：如何验证这个猜想呢？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE. 分析：要得到PD=PE，需证Rt△PDO≌Rt△PEO，先证∠DOP =∠EOP， ∠ODP =∠OEP，OP=OP. 请写出完整的证明过程. 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，∴∠DOP =∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP =∠OEP=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (AAS)，∴PD=PE. 总结： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 应用所具备的条件： ①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. 设计意图：通过折纸、测量等探究活动，引导学生猜想角平分线的性质，再通过严谨的几何证明验证猜想，帮助学生理解并掌握角平分线的性质定理，同时培养学生的探究与推理能力. 活动二：性质定理的逆定理 探索：这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 预设： 思考：这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 分析：作射线OQ，然后证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. 证明：如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ=OQ，QD=QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ=∠EOQ ∴点Q在∠AOB的平分线上. 总结： 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 作用：判断一个点是否在角平分线上. 设计意图：通过引导学生探究角平分线性质定理的逆命题，再进行证明，帮助学生理解并掌握其逆定理，同时培养学生的逆向思维和几何证明能力. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 探究：利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 思考：怎样证明这个结论呢？ 预设：只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. 分析：AO，BO是∠BAC的平分线，则OI＝OH，OG＝OI，从而OG＝OH，所以点O在∠BCA的平分线上. 试试看，现在你会证明了吗？ 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC， OG⊥BC，垂足分别为点I、H、G. ∵AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OI⊥AB，OH⊥AC， ∴OI=OH，同理OI=OG，∴OH=OG. ∴点O在∠BAC的平分线上. 结论：三角形三条角平分线交于一点． 设计意图：让学生通过尺规作图探究，再结合角平分线的性质与逆定理证明，理解三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，培养动手、探究和证明能力. · 应用新知 典型例题 例1某地区要在区域S内(即∠COD内部)建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图，保留作图痕迹) 分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市应建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，超市应建在线段AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可. 解：①作∠COD的角平分线OP； ②连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ③直线OP与EF交于点M. 所以点M就是所要求作的建立超市的位置. 注意：此类题只需作角平分线和线段垂直平分线，交点即为所求. 例2 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证：PA=PD. 分析：由AB//CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理可知，它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段. 证明：如图，作PE⊥BC于点E，因为AB∥CD， ∴∠BAD+∠CDA=180°， 由AD⊥AB(已知)，知∠BAD=90°， ∴∠CDA=180°-∠BAD=180°- 90°=90°，即AD⊥CD. ∵PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC， ∴PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，PD=PE，∴PA=PE=PD. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过例1、例2，让学生运用角平分线的性质与判定解决距离问题、线段相等证明问题，巩固知识，提升几何推理与应用能力. 课堂练习 【教材练习】 1.如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得点P在直线l上，且点P到该角两边（即射线OA与OB）的距离相等. 作法： ①作∠AOB的角平分线与直线l交于点P； ②过点P分别作两边OA，OB的垂线. 所以点P就是所作的点. 2.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上 证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥BC， FI⊥AD，垂足分别为点G、H、I. ∵点F在∠BCE的平分线上(已知)，FG⊥AE，FH⊥BC， ∴FG=FH(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理FI=FH，∴FG=FI(等量代换). ∴点F在∠DAE的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 3.如图，∠ABD=∠CBD，DA⊥BA，DC⊥BC.求证：∠DAC=∠DCA. 证明：∵DA⊥BA，DC⊥BC，∴∠BAD=∠BCD=90°. 在△BAD和△BCD中， ∵∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴△BAD≌△BCD(AAS). ∴AD=CD(全等三角形的对应边相等). ∴∠DAC=∠DCA(等边对等角). 【自选练习】 4.已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°.求证：BC=BD. 证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB 在△ABC和△ABD中，∠C=∠D，∠CAB =∠DAB，AB=AB ∴△ABC≌△ABD(AAS)，∴BC=BD. 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线 BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为______. 答案：7.5. 6. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D. 若QC=QD，则∠AOQ的度数为__.  答案：35° 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=9，DE=2，AB=5.求AC的长. 解：过点D作DF⊥AC，垂足为F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DF=DE=2 S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB∙DE+AC∙DF=5+AC=9 ∴AC=4 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过不同类型的练习，让学生运用角平分线的性质与判定解决作图、证明、计算等问题，巩固知识，提升几何应用与推理能力，同时满足不同学生的练习需求. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.说一说，什么是角平分线的性质定理？ 3性质定理的逆定理是怎样的？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过几个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $