精品解析：广东省广州市花都区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

花都区第二中学2025学年第一学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 3. 圆的圆心和半径长分别为（　　） A. ，16 B. ，4 C. ，4 D. ，16 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而可得圆心和半径. 【详解】由得， 故圆心为，半径长为4. 故选：C. 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 5. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简，再开方可求得结果. 【详解】由题意得， , ， 所以. 故选：A. 6. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率， 故选A. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，由， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故选：B 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二、多选题：本题共7小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆，则（ ） A. 点在圆的内部 B. 圆的直径为2 C. 过点的切线方程为 D. 直线与圆相离 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确； B:圆的半径为，所以直径为，故B错误； C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确； D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 的面积的最大值是4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程求得，进而求得焦距，离心率，判定AC；根据椭圆的定义可以判定C错误；利用椭圆的性质可以求得的面积的最大值，判定D 【详解】,∴,, 焦距，，当M为短轴的端点时的面积的取得最大值，是, 故选：BD. 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的焦距为2，则__________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果． 【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以， 若焦点在轴上，则有，解得； 若焦点在轴上，则有，解得； 综上所述，或． 故答案为：3或5． 13. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 14. 如图，正四面体的长为1，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】选为基底，然后表示，利用向量的数量积的公式计算即可. 【详解】 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解； （2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． 【小问2详解】 由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 16. 已知直线和圆． （1）若直线交圆于，两点，求弦的长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果； （2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程． 【小问1详解】 将圆：化成标准方程：， 所以的圆心为，半径， 所以到直线：的距离， 所以； 【小问2详解】 ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； ②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得：， 所以此时切线方程为，化简得． 综上所述，所求的直线方程为：或． 17. 已知椭圆的长轴长为，是上一点. （1）求E的方程； （2）若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得的方程为； （2）设出两点坐标，利用点差法求出直线的斜率为，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出. 【小问1详解】 由题可知，将代入椭圆方程可得， 联立解得， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，，则， 两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为， 所以可得直线的斜率为， 即直线的方程为. 联立方程组，整理得， 则，， 所以. 18. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点. （1）若M 为CE的中点， (i) 求证: 平面； (ii) 求点F 到平面MBD的距离. （2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置. 【答案】（1） (i) DA⊥平面 EAB， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 则，，，，， M 为CE的中点，，N 为BE的中点， ，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得. ，， 又平面， 平面； (ii) （2）点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；(i)求出的方向向量和平面法向量即可证明平面；(ii)根据点到平面距离的向量计算方法即可求解. （2）先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解. 【小问1详解】 (i) 略 (ii) ，平面的法向量为， 点F 到平面MBD的距离为：； 【小问2详解】 由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，， ，， 点坐标为， ， 设平面MBD的法向量为， 则，即，令，得. DA⊥平面 EAB ，平面 EAB， ， 又，，平面ABD，平面ABD， 平面ABD， 平面ABD的一个法向量为， 平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 ， ，解得或 点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 花都区第二中学2025学年第一学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心和半径长分别为（　　） A. ，16 B. ，4 C. ，4 D. ，16 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共7小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆，则（ ） A. 点在圆的内部 B. 圆的直径为2 C. 过点的切线方程为 D. 直线与圆相离 10. 已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 的面积的最大值是4 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的焦距为2，则__________． 13. 圆与圆的公共弦长为______. 14. 如图，正四面体的长为1，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 16. 已知直线和圆． （1）若直线交圆于，两点，求弦的长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 17. 已知椭圆的长轴长为，是上一点. （1）求E的方程； （2）若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 18. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点. （1）若M 为CE的中点， (i) 求证: 平面； (ii) 求点F 到平面MBD的距离. （2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $