专题五：一次函数-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题五:一次函数 一、单选题 1．直线向下平移两个单位，平移后直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为(　　) A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（   ） A． B． C． D． 9．如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ）． A．1 B． C． D．2 10．非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（    ） A．14 B．19 C． D． 二、填空题 11．若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．（写出一个即可）． 12．一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ． 13．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为 ． 14．点在一次函数图象上，则该直线经过 象限． 15．已知A，B，C三地位于同一条笔直的直线上，B地在A，C两地之间，张华、李平两人分别从A，B两地同时出发赶往C地，张华、李平两人距C地的距离s（单位：m）与张华运动的时间t（单位：s）之间的关系如图所示，则两人相遇时离C地 m. 16．若直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 17．在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 18．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则 ．    三、解答题 19．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 21．（1）计算：． （2）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．求一次函数的解析式． 22．某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 23．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求，，及的值． (2)将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数图象交于点，，与轴交于点．若图中阴影部分（即）的面积是9，求的值． 25．定义：若点（k为常数且）在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如：点是函数的2倍值点，点是函数的倍值点． (1)若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标； (2)已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值； (3)函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积． 试卷第2页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五:一次函数 一、单选题 1．直线向下平移两个单位，平移后直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向下平移两个单位，平移后直线的解析式为， 故选：B． 2．一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，由可知函数图象经过第一、三、四象限，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后，得到， 把，代入，得到：， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 4．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 5．一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 6．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，得到， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 7．一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解： y随x的增大而增大， ， 解得：， 的取值范围． 故选：C． 8．若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的值相等设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值，然后利用平移的规律求得即可． 【详解】由题意设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ ，解得， ∴， 将直线向右平移个单位后得到， 即， 故选：． 【点睛】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 9．如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案． 【详解】设正方形的边长为，则，，， ， 当时，有最大值， 即 ， 解得， ， 当点Q在上时， 如图，， 当时，， 故选：B． 10．非负数，，满足，，的最大值为，最小值，则（    ） A．14 B．19 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，求一元一次不等式组的解集．设，用k表示出，，，根据，，为非负数，求出k的取值范围，再将转化为关于k的一次函数，求其最值之和即可． 【详解】解：设， 则，，， ，，是非负数， ，，， ，，， ． ， ， 随k的增大而增大， 当时，取最小值，， 当时，取最大值，， ， 故选D． 二、填空题 11．若一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则k的值可以是 ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围，进而即可求解． 由一次函数图象经过第一、二、四象限，可知在范围内确定k的值即可． 【详解】解：因为一次函数（k为常数，）的图象经过第一、二、四象限， 所以 所以k可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 12．一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 13．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，可以写出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴y与x之间的函数关系式为：． 故答案为：． 14．点在一次函数图象上，则该直线经过 象限． 【答案】一，二，四． 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， 故答案为：一，二，四． 15．已知A，B，C三地位于同一条笔直的直线上，B地在A，C两地之间，张华、李平两人分别从A，B两地同时出发赶往C地，张华、李平两人距C地的距离s（单位：m）与张华运动的时间t（单位：s）之间的关系如图所示，则两人相遇时离C地 m. 【答案】24 【分析】本题考查了一次函数在路程问题中的应用，用待定系数法求出二者的函数关系式，当二者相遇时距离处的距离相等，即可求解；能结合图象理解和的实际意义是解题的关键． 【详解】解：设经过，的直线为，则有 ， 解得， ， 同理可求：经过，的直线为， ， 解得：， ， 二者相遇时距离地； 故答案：． 16．若直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式； 首先求得直线过原点，直线过，以及点Q的坐标，然后画出函数图象，再对不等式变形后根据图象即可直接求得解集． 【详解】解：当时，，， ∴直线过原点，直线过， 把代入得，则Q的坐标是， 画出函数图象如图： 对不等式变形得：， 根据图象，得：不等式的解集是， 即不等式的解集是， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用，化为最简二次根式，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，是解题的关键．设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可． 【详解】解：设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为， ∵， ∴，（，） ， ∵当时，， ∴，即， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为， ∴此时点Q的运动路径长为； ∵当时，， ∴，即， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为， ∴此时点Q的运动路径长为； 综上分析可知，点Q运动路径的长为． 故答案为：． 18．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上，则 ．    【答案】 【分析】过点B作x轴的垂线交反比例函数与F，由题意可得直线的解析式为：，设，由点C在反比例函数的图象上，求得，进而求得点D的坐标为：，由于可设直线的解析式为：，则：点，，由点D和点F关于直线的对称，点F的坐标为：，由点F在反比例函数的图象上，求得，（舍去），进而可得点B的坐标为：，进而可求得，利用相似三角形的判定及性质可得，则利用即可求解． 【详解】解：过点B作x轴的垂线交反比例函数与F，如图所示：    则， ， 又点D关于直线的对称点恰好在反比例函数图象上， 点D关于直线的对称点为点F， 点A，点B分别在y轴，x轴上，，点E为的中点， ，， 直线的解析式为：， 设， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得：，（舍去）， 点C的坐标为：， ， 点D的坐标为：， ， ， 设直线的解析式为：， 则：点，， 点D和点F关于直线的对称， ， 点F的坐标为：， 点F在反比例函数的图象上， ， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为：， ， ， ， ，， ， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数的解析式、函数图象上点的特征、轴对称的性质及相似三角形的判定及性质，本题综合性较强，设直线的解析式为，利用b表达点B的坐标为解题的关键． 三、解答题 19．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可． （2）令，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为， 由图可知，，， 将，代入， 得， 解得， ． （2）解：由图可知，服务区在（段）， 令，则， 解得， 赵叔叔出发小时到达服务区． 【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 21．（1）计算：． （2）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．求一次函数的解析式． 【答案】（1），（2）． 【分析】本题考查特殊三角函数值，零次幂，负整数幂的运算，求一次函数解析式． （1）先算特殊三角函数值，零次幂，负整数幂，进而即可求解． （2）利用待定系数法求出其解析式即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解：∵是关于的一次函数，且当时，；当时，． ∴将及两点代入， 可得：， 求解此二元一次方程组，可得：， 因此一次函数的解析式为：． 22．某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得： ，解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， ∵，故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时，． 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 23．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的表达式为 (2)或 【分析】题考查了一次函数与反比例函数的交点，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）由A，B坐标结合函数图象得出结论； 【详解】（1）解：将点代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数表达式得：， 解得， ∴点， 将点，代入一次函数表达式，得： ， 解得． ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象可知，当或时，， ∴x的取值范围为或． 24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求，，及的值． (2)将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数图象交于点，，与轴交于点．若图中阴影部分（即）的面积是9，求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，再把代入求出，再把，代入，用待定系数法求出，； （2）先求出点坐标，再根据平移的性质求出，过作轴于，然后根据，求出． 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是求出直线和反比例函数解析式． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，， 反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 把，代入得：， 解得， ，，，； （2）解：由（1）知， 令，则， ， ， 将直线沿轴向上平移个单位长度后直线， ，且， 连接， ， ， ， 过作轴于， ， ， ， 即． 25．定义：若点（k为常数且）在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如：点是函数的2倍值点，点是函数的倍值点． (1)若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标； (2)已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值； (3)函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】本题考查了函数相关的新定义问题，解一元二次方程，一元二次方根与系数的关系，利用铅锤法求三角形的面积等， 解题的关键是正确理解题意，熟练掌握相关知识点，会利用铅锤法求三角形的面积； （1）根据定义，设，代入解方程即可； （2）根据题意，转化为关于的方程有两个相等的实数根，即，再解方程即可； （3）设D，E，F三点的横坐标分别为，，，根据题中条件转化为相应的方程，得出根与系数的关系， 再根据所得等式求出，，的值，再利用铅锤法求的面积． 【详解】（1）若点B是函数的2倍值点， 可设，代入，得，整理得， 解得， 点B的坐标为或． （2）函数有且只有一个k倍值点， 关于的方程有两个相等的实数根， 方程整理得， 由， 解得． （3）设D，E，F三点的横坐标分别为，，， 则， 联立，消去整理得， 由根与系数得关系知，，， 由整理得，， 由根与系数得关系知，，， ，即， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 代入点， 可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点E作轴的垂线交于G，则， ， ． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $