专题04 一次函数与方程及不等式重难点题型专训（2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本初中数学讲义聚焦一次函数与方程及不等式的核心联系，系统梳理一次函数与一元一次方程（函数值为0时自变量的值即方程解，对应图象与x轴交点横坐标）、二元一次方程组（两直线交点坐标即方程组解）、不等式（函数值正负对应的自变量范围，对应图象位置）的脉络，构建“数与形”结合的学习支架。 资料以“2知识点+8题型+3拓展”递进设计，通过图象法解题培养几何直观（如用图象法解方程），综合题提升推理能力（如求直线围成图形面积需推理交点坐标），新定义问题发展模型意识（如“平均中项函数”）。课中助教师分层教学，课后供学生自我检测，有效巩固重难点。

专题04 一次函数与方程及不等式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值 拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题 拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，根据方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标来解答是解题的关键．根据直线与轴交点的横坐标来解答． 【详解】解：由图知：直线与轴交于点， 即当时，； 因此关于的方程的解为：． 故答案为：． 知识点二：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 先求出点的纵坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线与的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】求得交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．此题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的解，根据一次函数与轴交点的横坐标就是其对应方程的解，即可求解． 【详解】解：由题意可知，直线过点和点， 方程的解是， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知直线，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用函数图象解一元一次方程，能够掌握数形结合思想是解决本题关键． 根据一次函数图象中的信息可得到方程的解． 【详解】解：根据图象可知：在的图象中，当时， ， 则的解为， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】/④② 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据：当时，，当时，，求出；根据解析式可知函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；因为当时，，可知方程的解是；当时，，可知方程的解是． 【详解】解：由表格数据可知：当时，，当时，， 可得：， ，； 故错误； 由可知，一次函数的解析式为， 其中，直线与轴交点坐标是， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故正确； 由表格中的数据可知：当时，， 关于的方程的解是， 故错误； 由表格中的数据可知，当时，， 关于的方程的解是， 故正确． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件得到C(2，)，把C(2，)代入y=kx+2得到y=-x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=3，求得B(0，2)，A(3，0)，于是得到结论． 【详解】解：∵点C的横坐标为2， ∴当x=2时，y=x=， ∴C(2，)， 把C(2，)代入y=kx+2得，k=-， ∴y=-x+2， 当x=0时，y=2，当y=0时，x=3， ∴B(0，2)，A(3，0)， ∴①关于x的方程kx+2=0的解为x=3，正确； ②对于直线y=kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y=kx+2，当x＞0时，y＜2，故③错误； ④∵C(2，)， ∴方程组的解为，正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与二元一次方程组，以及一次函数与不等式等知识，数形结合是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知一次函数，其中x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 1 5 13 … A．该函数的图象经过第一、三、四象限 B．函数值y随x值的增大而减小 C．关于x的方程的解是 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握知识点是解题的关键． 根据表格信息结合一次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项B错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图像经过第一、二、三象限，故选项A错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选：D． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．不等式的解集为 D．函数图象与轴的交点位于轴下方 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数解析式，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴一次函数的图象经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴， ∴y随x的增大而减小，故A错误，不合题意； 又∵函数图象经过点， ∴， ∵ ∴不一定成立，故B错误，不合题意； ∵函数图象经过点， ∴函数图象与y轴的交点位于x轴上方，即的解集为，故C选项正确，符合题意；D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，B两点，则不等式的解集是    【答案】 【分析】由图象可知：，且当时，，即可得到不等式的解集是，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点A，B两点， 由图象可知：， 根据图象当时，， 即：不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象等知识点的理解和掌握，能根据图象进行说理是解此题的关键，用的数学思想是数形结合思想． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是 ． 【答案】 【分析】满足关于的不等式就是在轴的右侧直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】直线与的交点的横坐标为， 关于的不等式的解集为， 整数解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)画出函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出一次函数的图象与轴的交点坐标，再经过点和画出函数图象即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式，正确画出一次函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为， 过点和画函数图象如下： （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集为． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线的交点问题，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先将转化为，再根据函数图象求解即可． 【详解】解：， ， 由图可知，． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论： ①方程组的解为； ②不等式的解集为， ③当时，； ④关于的方程的解为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上性质是解题的关键．由两个一次函数图象的交点坐标可判断①，由两个一次函数图象可判断②，由一次函数与轴的交点坐标可判断③，由一次函数与轴的交点坐标可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故①符合题意； 由图象可得不等式的解集为， 故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象与轴的交点在，可知当时，， 故③符合题意； 由函数图象可知，一次函数与轴交于， 方程的解为，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④，共4个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，正确确定与的交点是关键． （1）观察图象可得结论； （2）首先确定和的交点作出的大体图象，然后根据图象判断即可． 【详解】解：（1）当时，， 由题图可知，当时，； （2）的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上 又∵在的图象上 ∴与相交于点 则函数图象如图， 则不等式的解集为． 故答案为：；． 3．（2025八年级上·江苏淮安·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据函数图象结合一次函数性质逐项判断，由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①，由两函数图像的交点情况可判断②，根据函数图象结合一次函数性质可判断③，利用特殊值法可判断④，即可解题． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， ∴，即，故②正确； ③∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，由图象可得：，故④错误． 综上所述，正确的是①②． 故答案为：①②． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)在x轴上是否存在点P，使？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，直线围成图形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由直线：求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）观察图象求得即可； （3）由直线：求得点的坐标，由直线求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：直线：与直线：交于点， ，解得， ， 把，代入 得， 解得：， 直线的解析式为； （2）由（1）可知， 由图象可知，当时，直线：的图象在直线：的上方， 当时，x的取值范围是； （3）令，则，解得， ， 令，则，解得， ， ， ； 点在轴上，， ，即， ， ， 或． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据交点坐标得到方程，即的解为：，把代入，求出的值，即可得出方程组的解集． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴，即：的解为：， 把代入，得：， ∴关于的方程组的解为； 故选C． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点，再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， 即，； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为， 解方程组， 解得： 点的坐标为； （3）解：是垂直于轴的直线交于点，交点于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【详解】∵2x-3y=6， ∴y=x-2， ∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3， ∴一次函数y=x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）， 即可得出选项D符合要求， 故选D． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 1．（24-25八年级·江苏常州·单元测试）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点， 即，同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于，的方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】先根据点P的坐标，求得参数m、k的值，然后解二元一次方程组即可． 【详解】由题意可知， ， 解得：， 所以原方程组为， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数求参数与解二元一次方程组，根据P点求得参数的值并掌握解二元一次方程组的方法是关键． 3．（24-25八年级·江苏苏州·期中）已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 【答案】 【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标； （2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围． 【详解】解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标， 由图知，； （2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围， 由图知，． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求得直线的解析式，求出的面积，进而求出的面积，进而求出点的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论． 【详解】解： 点的坐标为， 设直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为； 令， ， ， ， ， 的面积是的面积的， ， 设的纵坐标为， ， ， ， 直线的解析式为， 当点在上时，， ，， 当点在上时，， ， 即：点，或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P （﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B，则△ABP的面积是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出两个函数解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题. 【详解】解：根据题意，知点P（-2，-5）在函数y1=2x+b的图象上， ∴-5=-4+b，解得，b=-1， ∴y1=2x-1． 又点P（-2，-5）在函数 y2=ax-3的图象上， ∴-5=-2a-3，解得，a=1， ∴y2=x-3． 由y1=2x-1 得A（，0），由y2=x-3得B（3，0）， ∴AB=3-=， S△ABP=． 故答案为. 【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）将代入，求出m的值，利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）将转化为t的一次函数，利用一次函数的增减性进行求解即可． 解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 【详解】（1）解：把代入得到， ∴点C的坐标为， 把，代入得： ，解得， ∴解析式为； （2）解：； （3）解：由题可得，， ∴， ∵， ∴y随t的增大而增大， 又∵， ∴当时，最大为． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 4 … y … m 2 3 4 3 1 … 表格中________； (2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________ (3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________ 【答案】(1)1； (2)见解析，4； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的额图象和性质，画函数图象，图像法解方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）将代入函数，即可求出的值； （2）根据表格中的数据描点连线，画出函数的图象，再有函数图象，即可得到最大值； （3）利用函数图象，得到交点坐标，即可得出解集． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：1； （2）解：描点连线，函数图象如下： 由图象可知，的最大值是4， 故答案为：4； （3）解：由图象可知，函数与函数的交点为和， 解集为或， 故答案为：或． 【拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）先根据求出y的值，然后进行描点，连线，画出图象即可； （2）根据图象求出y最小值；根据图象得出当时，求出x的取值范围即可； （3）根据函数图象分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的最小值，即可求出结果。 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 y 2 1.5 1 0 1 函数图象，如图所示：    （2）解：根据函数图象可知：当时，y有最小值； ， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， 联立， 解得：， ∴与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与的交点坐标为； 根据函数图象可知：当时，． （3）解：根据函数图象可知：当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， 当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义运算，画函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解题意． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【答案】(1)3，1 (2)或； (3)作图见解析，2 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为，根据题意代入表示出，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． 【详解】（1）解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； （3）设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形即所有满足条件的点P所构成的图形， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 【拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【答案】（1）；（2）x轴；（3）见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到直线与直线，直线与坐标轴的交点的 坐标是解题的关键． （1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）由直线与坐标轴的交点即可判断对称轴是x轴； （3）求得直线与坐标轴的交点即证明结论． 【详解】（1）解：由， 解得：， ∴这对和谐函数图象的交点坐标是； （2）解：将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴； （3）证明：由， 解得：， ∴谐函数与（其中，为常数，）图象交于x轴上一点， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， 将代入，则， ∴直线与y轴交点为， ∵点与点关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是在x轴上， ∴一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． (1)分别求出直线与的表达式． (2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为； (2)①；②点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）先求出点B，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）①由题意求得点P的纵坐标，再利用三角形面积公式求解即可； ②先求得，再利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a且， ∴点P的纵坐标为， ∴的面积； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴点P的坐标为或． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）函数的图象与函数的图象的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数，点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．通过联立两个函数方程求解交点坐标，再根据坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：联立解析式， 解得， ∴ 交点坐标为 ， ∵ ，， ∴ 交点在第四象限． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，不等式转化为，结合，求得解集即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与x轴的交点为，且， 故， 解得 故变形为， 故， 解得． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查了两条直线的交点问题.运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项错误，不符合题意； 当时，，则关于的方程的解是，故B选项正错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）已知方程3x＋9＝0的解是，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【解析】略 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）直线过点和点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，理解方程的根是解题的关键． 方程的解即为函数图象与x轴交点的横坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 故方程的解为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数，由可得，当时，，求出，联立，解得，即，然后通过即可求解，解题的关键掌握一次函数与正比例函数性质． 【详解】解：由可得，当时，， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数图象解不等式，不等式的解集为图象在图象上方部分所对应的x的取值，数形结合即可得到答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴当时，，即， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系（方程组的解是对应两函数图象的交点坐标），解题的关键是通过点在函数图象上求出交点坐标，进而得到方程组的解． 利用点A在上，求出m的值，确定交点A的坐标；根据交点坐标与方程组解的关系，得出方程组的解． 【详解】∵点是一次函数和的交点， ∴点A在上． 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． ∵二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标，\ ∴方程组的解为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）画出一次函数的图象，并回答： (1)当取何值时，； (2)当取何值时，； (3)当时，求的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据解析式可知该函数的增减性，再求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （3）分别求出函数值为1和函数值为时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 … y … 5 0 … 函数图象如下所示：    （2）解；∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 当时，， ∴当时，； （3）解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围． （1）过，，画直线得到函数的图象，然后结合函数图象当时直线在直线的下方，从而得到； （2）写出直线在直线的下方且的函数值不小于所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：如图，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方， ∴当时，； （2）解：如图，求的解集即求一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，且的函数值不小于时所对应的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像，将题目与图像相结合是解题的关键． （1）根据两直线的交点即为二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据题意可知，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图象的交点坐标得方程组的解是． （2）解：由点在直线的下方，直线的上方， 得． 当时，，， 的取值范围是． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与方程及不等式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值 拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题 拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合 知识点一：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 知识点二：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线与的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知直线，则方程的解是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知一次函数，其中x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 1 5 13 … A．该函数的图象经过第一、三、四象限 B．函数值y随x值的增大而减小 C．关于x的方程的解是 D．关于x的不等式的解集为 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．不等式的解集为 D．函数图象与轴的交点位于轴下方 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，B两点，则不等式的解集是    3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是 ． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)画出函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论： ①方程组的解为； ②不等式的解集为， ③当时，； ④关于的方程的解为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 3．（2025八年级上·江苏淮安·专题练习）一次函数与的图像如图所示，则下列结论： ①； ②； ③的值每增加，的值增加； ④． 其中正确的是 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)在x轴上是否存在点P，使？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是 ． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 1．（24-25八年级·江苏常州·单元测试）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．（24-25八年级·江苏苏州·期中）已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P （﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B，则△ABP的面积是 ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练一 一次函数与方程、不等式最值】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，直线与轴交于点，直线（）与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若点在线段上，点在直线上，则的最大值为______． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 4 … y … m 2 3 4 3 1 … 表格中________； (2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________ (3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________ 【拓展训练二 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【拓展训练三 一次函数与方程、不等式综合】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【新定义】 一次函数与一次函数称为一对和谐函数（其中，为常数，）．例如：与就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以与这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是_______________ （2）可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是__________ 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数与（其中，为常数，）图象“成轴对称”的结论依然成立． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． (1)分别求出直线与的表达式． (2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）函数的图象与函数的图象的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）已知方程3x＋9＝0的解是，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是 ． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）直线过点和点，则关于的方程的解是 ． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则 ． 9．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 11．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）画出一次函数的图象，并回答： (1)当取何值时，； (2)当取何值时，； (3)当时，求的取值范围 12．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $