专题 6.1 反比例函数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 6.1 反比例函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一：基础篇 1 【知识点】反比例函数定义 2 【题型1】反比例函数定义 2 【小结归纳】 2 【题型 2】反比例函数的图象位置判断 2 【小结归纳】 3 【题型3】列反比例函数解析式 3 【小结归纳】 3 【题型4】求反比例函数值 3 【小结归纳】 4 【题型5】利用反比例函数求自变量或自变量取值范围 4 【小结归纳】 4 二：培优篇 5 【题型6】利用和在反比例函数图象上，得建立方程求值 5 【题型7】与反比例函数定义相关的规律问题 5 【题型8】与反比例函数定义相关的几何问题 6 二．同步练习​ 7 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 一.知识梳理与题型分类精析 一：基础篇 【知识点】反比例函数定义 一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成的形式，,那么称是的反比例函数．反比例函数的自变量不能为零． 【题型1】反比例函数定义 【例题1】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【变式2】（24-25九年级下·全国·课后作业）如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？ 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． （1）； （2）； （3）． 【小结归纳】 反比例函数的三种表达形式：， ． 【题型 2】反比例函数的图象位置判断 【例题2】（2024·湖北武汉·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． （1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【小结归纳】 反比例函数满足条件是 “系数不等于 0” 和 “自变量次数为 - 1”，必须满足两个条件作为切入点建立方程或不等式求参数即可。 【题型3】列反比例函数解析式 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． （1）某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； （2）已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； （3）小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【变式2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【小结归纳】 列反比例函数解析式步骤：（1）先确定““两个变量的乘积为定值”，再通过““总量 （定值）=变量1×变量2”进而得到解析式。 【题型4】求反比例函数值 【例题4】（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【小结归纳】 利用反比例函数求值基本思路：（1）明确，即自变量和因变量乘积为定值； （2）代坐标：将已知点坐标代入，得到含 的等式或不等式；（3）求值：利用等式或不等式化简求值。 【题型5】利用反比例函数求自变量或自变量取值范围 【例题5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是 ． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【小结归纳】 利用比例函数：形如的函数，图象上任意一点满足；函数图象平移遵循“上加下减、左加右减”进行解题。 二：培优篇 【题型6】利用和在反比例函数图象上，得建立方程求值 【例题6】（24-25九年级上·陕西西安·月考）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【小结归纳】解题步骤：（1）代入坐标列等式；（2）化简方程求解；（3）验证并确定答案. 【题型7】与反比例函数定义相关的规律问题 【例题7】（25-26九年级上·广西桂林·期中）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【变式1】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去． （1）完成下表 （2）观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 【变式2】如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【方法归纳】一般步骤（1）初始代入求前几项函数值；（2）确定循环周期；（3）计算目标项的循环位置。 【题型8】与反比例函数定义相关的几何问题 【例题8】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为 ． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ． 【方法归纳】 利用反比例函数求值基本思路：（1）明确，即自变量和因变量乘积为定值；（2）数形结合：将函数坐标特征与几何图形的边长、周长、面积公式结合，实现 “数”与 “形”的转化。 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 4．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（   ） A．直线上 B．抛物线上 C．直线上 D．双曲线上 5．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数上，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建·模拟预测）已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 二、填空题 7．（21-22九年级上·河北邢台·期末）在函数中，y是x的 函数，其中比例系数为 ． 8．（2024·广东·模拟预测）已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为 ． 9．（22-23九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 10．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 11．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 12．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． （1）当为何值时，是的正比例函数？ （2）当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 14．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． （1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 15．（2023·辽宁大连·二模）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，于点，为中点，连接． （1）填空：______， ______； （2）求长． 16．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． （1）函数的图象的“等值点”的坐标是______； （2）函数的图象的“等值点”的坐标是______； （3）是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南开封·一模）已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2025·内蒙古兴安盟·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是 ． 8．（18-19九年级下·全国·单元测试）有一块长方形试验田面积为，试验田长（单位：）与宽（单位：）之间的函数关系式是 ． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ． 11．（18-19九年级上·全国·单元测试）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．则当面条粗时，面条的总长度是 ． 12．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 三、解答题 13．（23-24八年级下·江苏苏州·月考）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 14．（2025·广东广州·模拟预测）已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 15．（25-26七年级上·山西忻州·期中）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … （1）这项工程所挖管道共有多少米？ （2）所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ （3）用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 16．（24-25七年级下·安徽·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； （2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 反比例函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一：基础篇 1 【知识点】反比例函数定义 2 【题型1】反比例函数定义 2 【小结归纳】 3 【题型 2】反比例函数的图象位置判断 4 【小结归纳】 5 【题型3】列反比例函数解析式 5 【小结归纳】 7 【题型4】求反比例函数值 7 【小结归纳】 9 【题型5】利用反比例函数求自变量或自变量取值范围 9 【小结归纳】 10 二：培优篇 10 【题型6】利用和在反比例函数图象上，得建立方程求值 10 【题型7】与反比例函数定义相关的规律问题 12 【题型8】与反比例函数定义相关的几何问题 15 二．同步练习​ 18 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 18 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 28 一.知识梳理与题型分类精析 一：基础篇 【知识点】反比例函数定义 一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成的形式，,那么称是的反比例函数．反比例函数的自变量不能为零． 【题型1】反比例函数定义 【例题1】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键在于掌握反比例函数的定义，易错点在于正比例函数和反比例函数混淆；根据反比例函数的定义，形如 （为常数，且）的函数是反比例函数，直接判断各选项是否符合此形式即可． 解：∵反比例函数的标准形式为（）， 选项 A、，是正比例函数，选项A不符合题意； 选项 B、，符合 形式，且，选项B符合题意； 选项 C、，不是反比例函数，选项C不符合题意； 选项 D、，分母指数不是1，不是反比例函数，选项D不符合题意， 故选B． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 【变式2】（24-25九年级下·全国·课后作业）如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？ 【答案】x是y的反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，解答即可 ． 解：如果y是x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数．理由如下： 若y是x的反比例函数，则， 可得：， 所以x也是y的反比例函数． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是；（2）是，；（3）不是 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 解：（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 【小结归纳】 反比例函数的三种表达形式：， ． 【题型 2】反比例函数的图象位置判断 【例题2】（2024·湖北武汉·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入反比例函数解析式得到，再由a≠0即可得到k的取值范围． 解：将点代入反比例函数中得： ， ∴， 又∵反比例函数的图象与坐标轴无交点， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是将点代入反比例函数解析式，并能判定a≠0． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义可得：、，由可得：，由可得或，所以可得，从而可得反比例函数的解析式为，把点代入即可求出的值． 解：是反比例函数， ，， 由可得：， 解得：， 由可得：或， ， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 可得：． 故答案为： ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． （1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】（1）1；（2）0 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 解：（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 【小结归纳】 反比例函数满足条件是 “系数不等于 0” 和 “自变量次数为 - 1”，必须满足两个条件作为切入点建立方程或不等式求参数即可。 【题型3】列反比例函数解析式 【例题3】（24-25八年级下·全国·课后作业）用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． （1）某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； （2）已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； （3）小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】（1），是反比例函数；（2），是反比例函数；（3） 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 解：（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 【变式2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 【小结归纳】 列反比例函数解析式步骤：（1）先确定““两个变量的乘积为定值”，再通过““总量 （定值）=变量1×变量2”进而得到解析式。 【题型4】求反比例函数值 【例题4】（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，设点是反比例函数图象上的一点，根据点在点的上方，可得不等式，解不等式即可得到答案． 解：设点是反比例函数图象上的一点， 由函数图象可知，点在点的上方， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1】（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先把点代入反比例函数，求出的值，进而可得出结论． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【小结归纳】 利用反比例函数求值基本思路：（1）明确，即自变量和因变量乘积为定值； （2）代坐标：将已知点坐标代入，得到含 的等式或不等式；（3）求值：利用等式或不等式化简求值。 【题型5】利用反比例函数求自变量或自变量取值范围 【例题5】（24-25九年级下·上海·阶段练习）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的x的值即可． 解：将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数的解析式为：， 令， 解得， 所得函数图像与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 【小结归纳】 利用比例函数：形如的函数，图象上任意一点满足；函数图象平移遵循“上加下减、左加右减”进行解题。 二：培优篇 【题型6】利用和在反比例函数图象上，得建立方程求值 【例题6】（24-25九年级上·陕西西安·月考）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，和都满足解析式，即可求解． 解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得a的值． 解：设反比例函数解析式为， ∵点与点在反比例函数图象上， ∴ ， 解得 ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 【小结归纳】解题步骤：（1）代入坐标列等式；（2）化简方程求解；（3）验证并确定答案. 【题型7】与反比例函数定义相关的规律问题 【例题7】（25-26九年级上·广西桂林·期中）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据数量关系分别求出，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2025除以3，根据商和余数的情况确定的值即可． 解：根据题意可得：， ， ， ， …， ∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵， ∴为第675个循环组的第3次计算，与的值相同即为， 故选：A． 【变式1】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去． （1）完成下表 （2）观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求反比例函数值： （1）根据规律计算，依次求出即可； （2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求即可． 解：（1）解：由题意得，， ∴， ， ， ∴， 填表如下： 2 2 （2）解：由（1）的计算结果可知这一列数，每3个数为一个循环，，2，依次出现， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 【方法归纳】一般步骤（1）初始代入求前几项函数值；（2）确定循环周期；（3）计算目标项的循环位置。 【题型8】与反比例函数定义相关的几何问题 【例题8】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，先确定点的坐标，再利用勾股定理求出的长，由菱形面积底乘高即可求得．解题的关键是掌握：反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于． 解：∵函数的图象经过点，轴，， ∴点的纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解答本题的关键．先求出，利用勾股定理求出，然后利用矩形的性质求解即可． 解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ． 【答案】/ 【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可． 解：∵点A在反比例函数（）上，轴 ∴ ∵ ∴ ∵的垂直平分线交轴于点 ∴ ∴△的周长= 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【方法归纳】 利用反比例函数求值基本思路：（1）明确，即自变量和因变量乘积为定值；（2）数形结合：将函数坐标特征与几何图形的边长、周长、面积公式结合，实现 “数”与 “形”的转化。 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，需熟练掌握其形式 或 （）． 根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数且 ）的函数是反比例函数。选项 D 可化为 ，符合定义。 解：∵ 反比例函数的形式为 （）， 选项 A：，是正比例函数，不符合； 选项 B：，即 ，是正比例函数，不符合； 选项 C：，是 与 的反比例，不是与 的反比例，不符合； 选项 D：，即 ，符合反比例函数定义； 故选 D． 2．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 4．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（   ） A．直线上 B．抛物线上 C．直线上 D．双曲线上 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，函数图象上点的坐标特征，掌握不同函数的性质是解题关键．找出各选项函数中满足条件的坐标即可得到答案． 解：A、表示、互为相反数，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； B、点在抛物线上，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； C、原点在直线上，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； D、表示、同号且不为0，无法满足坐标条件，符合题意，选项正确； 故选：D． 5．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数上，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，积的乘方的逆运算，首先得到，然后将变形后整体代入求解即可． 解：∵点在反比例函数上， ∴，即 ∴ ． 故选：A． 6．（2024·福建·模拟预测）已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标与反比例函数的关系列出等式． 先设出点的坐标，根据反比例函数的性质表示出，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到对称点坐标，进而表示出，最后结合求解． 解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得： ，则， ， 因此，，对应选项B． 故选：B． 二、填空题 7．（21-22九年级上·河北邢台·期末）在函数中，y是x的 函数，其中比例系数为 ． 【答案】 反比例 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 解：在函数中，y是x的反比例函数，其中比例系数为． 故答案为：反比例；． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 8．（2024·广东·模拟预测）已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，根据反比例函数图象上点的横纵坐标和解析式中的值一一对应，运用横纵坐标之积相等，得到关于的方程，即可得到答案； 解：∵，是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案． 解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键． 10．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 11．（2025·河北邯郸·二模）已知反比例函数的图象上有两点和，且满足：，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，则，根据题意可得，则可推出，再由可得，据此可得答案． 解：点和点在反比例函数的图象上， ， ∵， ∴，即， ∴， 又， ∴解得， ，即， ∴． ， ， 故答案为：3． 12．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题 13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． （1）当为何值时，是的正比例函数？ （2）当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 解：（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 14．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． （1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】（1）；（2）栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 解：（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 15．（2023·辽宁大连·二模）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，于点，为中点，连接． （1）填空：______， ______； （2）求长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将、的坐标代入反比例函数解析式，即可求解； （2）可求，，由勾股定理求，即可求解． 解：（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得：， 故答案：，． （2）解：由（1）得：， 轴，， ， ，， ， ． 【点拨】本题考查了求反比例函数图象上点的坐标，勾股定理，直角三角形的性质，掌握性质和求法是解题的关键． 16．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标． 解：在中，令，得， 所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为． （1）函数的图象的“等值点”的坐标是______； （2）函数的图象的“等值点”的坐标是______； （3）是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）存在，例如 【分析】本题考查了新定义下一次函数、反比例函数点坐标的特征，解一元一次方程，解一元二次方程． （1）令，求解方程即可； （2）令，求解方程即可； （3）根据“等值点”的定义列举即可． 解：（1）解：令， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，即， 解得：， 故答案为：，； （3）解：存在， ， 不管x取任何值，都有， 函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 解：A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 2．（2024·浙江温州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 3．（2023·河南开封·一模）已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把点，，代入各个函数进行验证判断即可． 解：A、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； B、当时，，当时，， 当时，， ∴有，， 此时，，符合题意， ∴点，，可同时在函数图象上； C、当时，，当时，， ∴点，不能同时在函数图象上； D、当时，，当时，， 当时，， ∵若，则， ∴，不符合题意， ∴点，，不能同时在函数图象上； 故选：B． 【点拨】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点落在一次函数图象上得到，根据P1的坐标是由P旋转得到的得到，又由P是反比例函数图象上的一点，得到，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可． 解：∵点落在一次函数图象上， ∴， ∴， ∵P1的坐标是由P顺时针旋转得到的，如图所示，作轴于点，作轴于点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 6．（2025·内蒙古兴安盟·模拟预测）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 8．（18-19九年级下·全国·单元测试）有一块长方形试验田面积为，试验田长（单位：）与宽（单位：）之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式即可得到y关于x之间的函数关系式． 解：∵由长方形的面积知：xy=3×106， ∴y=． 故答案为y=． 【点拨】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解题关键是从实际问题中整理出函数模型． 9．（25-26九年级上·山东淄博·月考）已知点，都在双曲线，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式． 将点，两点分别代入双曲线，可得，，根据题意列不等式，即可得的取值范围． 解：将点，两点分别代入双曲线， 得，， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出A，B两点坐标，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，求出直线的解析式，即可得出点P的坐标． 解：∵在函数上，在函数上， ∴，， ∴，， 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为：． 11．（18-19九年级上·全国·单元测试）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．则当面条粗时，面条的总长度是 ． 【答案】 【分析】根据题意：面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的反比例函数，且其图象过点，故，则当面条粗时，面条的总长度是. 解：设面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的关系式为， 把点代入可得， 所以当时，. 故答案为：. 【点拨】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式. 12．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 三、解答题 13．（23-24八年级下·江苏苏州·月考）已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 解：（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 14．（2025·广东广州·模拟预测）已知 （1）化简； （2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据同分母相加减的运算法则计算即可； （2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。 解：（1）解： ； （2）解：∵点为反比例函数上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 15．（25-26七年级上·山西忻州·期中）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … （1）这项工程所挖管道共有多少米？ （2）所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ （3）用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】（1）3000米；（2）所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少；（3），反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 解：（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 16．（24-25七年级下·安徽·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； （2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 【答案】（1）是“倍根方程”．理由见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）解一元二次方程后，根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）通过转化一元二次方程，求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 解：（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $