专题 相似尖子生 练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专题相似尖子生练习 一、填空题 1.我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画的示意图，设油画AD与墙壁的夹角，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置点E处，且已知油画的长度AD为 的度数为          ；用含的式子表示 已知小然到墙壁PM的距离，求油画顶部点D到墙壁PM的距离； 当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？直接回答即可 二、解答题 2.如图，在中，，D，E分别是边BC，AC的中点，连接AD，BE，若，且，求的面积． 3.如图，在▱中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，AF，DE与AF相交于点O，且，若，求AF的长． 4.在直角三角形木板ABC中，，，木板从BC边上的点D处沿垂直于BC边的直线折断，折痕交AC于点现从四边形AEDB中以如图所示方式锯下矩形AEHI或者矩形 比较矩形AEHI和矩形EFGD的面积的大小； 若矩形AEHI的面积与从中锯下的面积最大的矩形的面积恰好相等，求CD的长． 5.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，将绕点B逆时针旋转得到，连接， 求的值； 若正方形ABCD的边长为1，当点，，D在同一条直线上时，求的长． 6.如图①，在中，，点D为外一点，连接BD交AC于点F，以BD为边作等边使得点E在边BC上，DE交AC于点G， 求证：； 如图②，连接AD，CD，点H为AC边上一点，且，连接DH，若，，求线段FH的长． 7.克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家和占星家，他在研究凸四边形时，提出了著名的“托勒密不等式定理”，并被广泛应用．“托勒密不等式定理”的内容是：在任意一个凸四边形中，两对角线乘积小于或等于两组对边乘积之和．用数学语言表示为：如图①，在四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，则 请尝试在图①中补全辅助线，并证明结论； 如图②，在四边形ABCD中，，，，且，求线段AD的最小值． 8.如图，AD为斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作于点F，分别交AB，AD于M，N两点． 若，求证：； 若，，求DE的长； 在的条件下，若，线段BF与EF的长度刚好是关于y的一元二次方程的两个实数根，求BC的长． 9.如图，点M，N分别是边长为4的等边边AB，AC上的动点，且满足：将沿MN折叠，A点恰好落在BC边上的D点处． 求证：； 若，求的值； 若，求CN的长； 点D从点B移动到点C的过程中，求点N运动的总路径长． 10.《海岛算经》中有道题目是：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勾端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈．更从勾端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？大致意思是：如图，今有深谷，在谷底MN的上方沿谷边缘放置一个勾AB为6尺的角尺点N，A，B在同一条直线上，，从B处望谷底M处时，视线经过角尺端点C处，测得AC为尺；将角尺ABC沿着射线NA方向向上平移30尺得到角尺，从处望谷底M处时，视线经过上点D处，测得为尺，求谷AN的深． 11.如图，路边有一路灯AB和一块圆弧形广告牌FG，为了测量广告牌的半径，晚上路灯亮起时，小红站在距离路灯6m的点D处，测得其影长，小李站在点M处，测得其影长，已知小红与小李的身高均为，，，广告牌的高度上最高的点距地面的高度为1m，请你通过计算，求圆弧形广告牌的半径均垂直于 12.李叔叔要做一张如图①所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度，最下面一级踏板的长度他在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为5cm的榫头如图②所示，以此来固定踏板．现市场上有长度为的木板可以用来制作梯子的踏板木板的宽度和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求，请问：制作这些踏板，李叔叔至少需要买几块这样的木板？请说明理由．不考虑锯缝的损耗 13.如图，某公园有三个垂直于水平地面且高度不同的圆柱，圆柱A和B后面有一堵与地面垂直的宣传墙，圆柱A，B与宣传墙的距离均为圆柱C后有一斜坡，圆柱C底部到坡脚水平线MN的距离为某一时刻，小颖观察到高度为90cm的圆柱A的影子全落在地面上，其影长为72cm；圆柱B的部分影子落在墙上，圆柱C的部分影子落在斜坡上，PQ与MN在同一条直线上，已知落在地面上的影子皆与直线PN垂直，并视太阳光为平行光． 已知小颖身高为160cm，且此刻她的影子完全落在地面上，求此刻她的影长； 若同一时刻量得圆柱B落在宣传墙上的影长为140cm，求圆柱B的高度； 若同一时刻量得圆柱C落在坡面上的影长为100cm，测得斜坡坡度，求圆柱C的高度． 14.【作业目的】通过探究凸透镜成像规律，培养学生的科学探究精神、数学与物理学知识的应用能力、动手能力和创造力．【项目背景】学习完相似三角形的性质后，科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【探究过程】利用图①，进行下列凸透镜成像实验，补全表格： 物体到凸透镜距离 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 大于2倍焦距 大于1倍焦距小于2倍焦距                         2倍焦距 2倍焦距                         大于1倍焦距小于2倍焦距 大于2倍焦距                         小于焦距 与物同侧                         由可得，凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线          改变填“不发生”或“发生”，平行于主光轴的光线经过折射后光线经过          ； 【项目任务】 找来一个高为4cm的蜡烛，将凸透镜中心与蜡烛的距离调为9cm，将凸透镜的焦距调为 ①在图②中画出所成的像MN； ②利用相似三角形的知识，算出________，________. 15. 问题提出如图①，在中，，若，则          ； 问题解决如图②是植物园内一块由四条道路围成的矩形花园ABCD，点D为花园入口，对角线AC为一条观景小道宽度忽略不计已知，，现准备将花园再进行划分，设计师在AC和CD上分别取点E和点F，并连接BE，为了花园的美观，要满足在满足设计要求时，入口D与点F之间的距离是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】【小题1】   【小题2】 解：如图，过点D作于点C， 由题意得，，则， ，， 一线三垂直相似模型的变形， ，，解得， 油画顶部点D到墙壁PM的距离为20cm； 【小题3】 解：当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁   【解析】  【解法提示】如图，连接BD，由题意得BE垂直平分AD，，为等腰三角形，，，，  2.【答案】解：如解图，连接DE，设AD，BE交于点G， ，E分别是边BC，AC的中点，为的中位线， ， ，设，则巧设未知数，可以简化运算， ，， ，， 利用方程思想解未知数，解得， ，，，   3.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， ，利用对角互补得等角， ，利用两角相等得相似， 设，则，， ，解得负值已舍 ，，， ，利用两角相等得相似， ，，比值等量代换. ，解得   4.【答案】【小题1】 解：在中，，，，， ，，， ， 设，则，，， 四边形AEHI是矩形，，， ，目的是表示出EH的长， ，， ， 四边形EFGD是矩形，，，， ，， 目的是表示出BG的长，为表示出GD的长作铺垫， ，， ， ， 矩形AEHI和矩形EFGD的面积相等； 【小题2】 解：要在直角三角形中裁剪出面积最大的矩形，有两种裁剪方式：①矩形的两条边分别在直角边上；②矩形的一条边在斜边上． 由可知这两种方式裁剪的矩形的最大面积相等，我们不妨以第一种裁剪方式计算． 如解图，在CE上取点K，过点K分别作于点M，于点N， 则四边形KMDN是矩形， ，，，， 由可知， 设，，， 据此求矩形KMDN相邻两条边的关系. ，，， ，解得， ， 当时，矩形KMDN的面积最大，最大值为根据二次函数的性质表示出最大面积， 矩形AEHI的面积与从中锯下的面积最大的矩形的面积恰好相等， ，解得舍去，，   5.【答案】【小题1】 解：设正方形ABCD的边长为a，则，， 由旋转的性质得，，， ，， ，，， 手拉手相似； 【小题2】 解：正方形ABCD的边长是1， 由旋转的性质得，， 分两种情况讨论三个点的相对位置不确定，需要分类讨论： ①如解图①，当点在线段上时， 由得，； ②如解图②，当点在线段上时，同理①可得 由得， 综上所述，当点，，D在同一条直线上时，的长为或   6.【答案】【小题1】 证明：为等边三角形，， ，，，， ，； 【小题2】 解：由知，，， 在中，，，在中，， ，， 在中，， 在中，， ，，， 由线段乘积的等量关系得相似， ，，解得， 在中，   【解析】 略  略 7.【答案】【小题1】 解：补全辅助线如解图，在四边形内取点E，使，，连接AE，CE， 证明：，，， ，① ，， ，，手拉手相似， ，② 由①+②，得， ，； 【小题2】 解：设，则， 在中，根据勾股定理，得为利用托勒密不等式定理作铺垫， 由“托勒密不等式定理”得， ，解得，的最小值为   【解析】 略  略 8.【答案】【小题1】 证明：由题意得，，， ，， ，，； 【小题2】 解：，，， ，，， ，，， ，， ，， ，，， 利用这个中间量将和建立等量关系， ， ，，， ，； 【小题3】 解：如解图，过点M作于点G，过点A作于点H， ，， ，， ，，， ，， ，，，， 由得， 将面积比值转化为线段比值， ，，， ，，， 设，则， ，，， ，， 线段BF与EF的长度刚好是关于y的一元二次方程的两个实数根． 由根与系数的关系得，解得， ，， 利用EF与BF的关系、根与系数的关系求出BF的值， ，，， ，， ，， ，，， 设，则，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， ，，， ，，   9.【答案】【小题1】 证明：为等边三角形，， 是由沿MN折叠得到的，， ，， 一线三等角相似； 【小题2】 解：是边长为4的等边三角形，， ，，由知， ，即利用相似列比例， ，，，， ， ①，②， ①-②得， 即，； 【小题3】 解：设，则， 是等边三角形， ，利用锐角三角函数求长度， 解得，，， 由得，，； 【小题4】 解：当点D与点B重合时，点N与点C重合． 点D由点B向点C移动，CN变大，当时，点N距离点C最远，同理可知此时 当点D继续向点C运动时，点N返回往AC中点移动，当点D与点C重合时，点N与AC的中点重合． 点N运动的总路径长为   10.【答案】解：，，， 利用相似得BN，MN之间的数量关系， 设，则， ，， ，， ，，由平移的性质得， 利用相似列方程求解，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：谷AN的深为419尺．   11.【答案】解：，，， 字型相似，， ，，，， ，解得， ，，， 字型相似，， ，，，，解得， ， 设圆弧形广告牌的半径为rm， 根据垂径定理和勾股定理可得，解得， 圆弧形广告牌的半径为   12.【答案】解：如图，设自上往下第2，3，⋯，7级踏板的长依次为，过点作的平行线分别交于点构造A字型相似， ， ，A字型相似， 每两级踏板之间的距离相等，， ，， 同理可得，，，算出每级踏板的长度， 设要制作这些踏板需用木板的长度分别为， ，，，，，，， ，， 块这样的木板不能满足要求． ，，，， 块这样的木板可以满足要求． 综上所述，李叔叔至少需要买4块这样的木板．   13.【答案】【小题1】 解：设小颖的影长为xcm，由题意可得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 故此刻小颖的影长为128cm； 【小题2】 解：如图①，设圆柱B的顶点为点D，最低点为点F，墙上影子的最高点为点，影子与PQ的交点为点， 连接，过点作交DF于点E，则四边形是平行四边形通过作平行线将影子和实物分成两段分别计算， ， 由题意知圆柱B落在地面上的影长为120cm，即， ，解得， ，故圆柱B的高度为290cm； 【小题3】 解：如图②，设KL为圆柱C，KT为太阳光，为斜坡，ZT为圆柱C在斜坡上的影子， 过点T分别作于点G，作于点H，则四边形HLGT为矩形通过作TH将实物分成两段，其中TH可看成KH的影子， 由题意可得，， 斜坡坡度，，设，， 在中，，解得负值已舍去， ，，， 同一时刻，高度为90cm的圆柱A的影子落在地面上，其影长为72cm， ，解得， ，故圆柱C的高度为 14.【答案】【小题1】 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 放大 正立 不发生 焦点 【小题2】 ①成像MN如图所示； ②8cm，   【解析】 略  ②【解法提示】如图，由题意得，四边形ABCO为矩形，，，，，，，，，，，，，即，，设，，则，，，又，，，即，解得，，，，即 15.【答案】【小题1】   【小题2】 解：存在． 四边形ABCD为矩形，，，，， ， 利用相似三角形的性质求DF与CE的函数关系式， ，，，， 设，，则，， ， 利用二次函数的性质求线段的最小值， ，当时，y取最小值，最小值为， 入口D与点F之间的最小距离DF为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $