山东省青岛市西海岸新区2025-2026学年自主招生考试数学专题练习-专题十五、平行四边形

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十五、平行四边形（适中版） 一、单选题 1．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选A． 【点睛】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 3．如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，面积比等于相似比的平方；等高三角形面积比等于底的比． 根据平行四边形的性质得出，，即可求证，易得，则，，，子先求出，则，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 4．如图，在平行四边形中，点是的中点，相交于点，则图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、与中点有关的三角形的面积，设平行四边形的面积为，则，由点是的中点，得出，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由相似三角形的性质可得，求出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ， ， 故选：A． 5．如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案． 【详解】如图，连接， ， ，当点与点重合时，的值最大，即最大， 在中， ， ， 的最大值，   ， 故选：A． 【点睛】本题考查中位线定理的判定和性质，勾股定理，得到当点与点重合时，的值最大，即最大是解题的关键． 6．如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（   ）的一部分 A．直线 B．圆 C．抛物线 D．反比例函数的曲线 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图：延长交的延长线于，连接．只要证明是的中位线，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图：延长交的延长线于，连接． ， ， ，， 为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动． 故选：B． 7．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，即可判断①；得到的周长，即可判断②；证明出，得到的边上的高边上的高，即可判断③；求出和的面积和即可判断④；由三角形内角和定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵是平行四边形边上一动点，点分别为的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴线段的长不会随点P的移动而变化； ②∵点分别为的中点， ∴，， ∴的周长 ∵，会随点P的移动而变化 ∴的周长会随点P的移动而变化； ③∵ ∴ ∴边上的高边上的高 ∴的边上的高边上的高， ∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化 ∴的边上的高不会随点P的移动而变化； ④∵ ∴和的面积和 ∴和的面积和不会随点P的移动而变化； ⑤∵，会随点P的移动而变化 ∴的大小会随点P的移动而变化． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． 8．点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，可证，这样的点有3个；当点在内部时，当点在三角形重心位置时，也符合题意，从而得出答案． 【详解】解：当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， 同理可知，，，也符合题意； 那么当点在外部时，点有三个； 当点在内部时，作三角形的中线，三条中线相交于点，如图所示： 是的中线， ， 是的中线， ， ， ， 同理可证，， 当点位于点所在位置，符合题意； 那么当点在内部时，符合题意的有一个； 综上，点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有4个； 故选：D． 9．如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交延长线于点，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得出，．然后根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐一进行判断即可．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴四边形是平行四边形， A： ∴，选项A正确，不符合题意； B： ∴，即，选项B正确，不符合题意； C：∵， ∴，选项C错误，符合题意； D：∵， ∴，即，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10．如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，如图，连接，利用平行四边形的性质和三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是 ．    【答案】/66度 【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线求出，推出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，        ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键． 12．已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理. 延长、交于点，过点作于点，根据平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 分别是的中点， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 设，则， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ，， ， ， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是 ． 【答案】、或 【分析】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．根据以、、、 为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，分类讨论即可． 【详解】解：如图所示， 平行四边形的两组对边分别平行且相等， 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ， 综上所述，顶点的坐标为、或． 故答案为：、或． 14．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么 ． 【答案】或 【分析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ∽△DQC，则由相似三角形的性质可得，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长． 【详解】解：如图，过点A作AE∥CD，交BC于点E， ∵在四边形中，，， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴AE＝CD＝AB＝2，AD＝CE． ∵， ∴△ABE是等边三角形． ∴BE＝AE＝AB＝2． ∴AD＝BC－BE＝6． ∵点是边上的“强相似点”， ∴△ABQ∽△DQC． ∴． 设AQ＝x，则DQ＝6－x， 即． 解得，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键． 15．如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 ． 【答案】2≤a+2b≤5． 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】解：过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP中，∠EPH=30°， ∴EH=EP=a， ∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2； 当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 故答案为：2≤a+2b≤5 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 16．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于，过作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题 17．在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)，，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，得到，从而得到，同理证明得到，从而得解； （2）同理可得，从而得到，通过对变形可以证明，继而得到，从而得解； （3）过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形，，，证明得到，继而证明，利用两直线平行同位角相等可得对应角相等，从而得证． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：与（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴，即； （3）解：过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴梯形与梯形相似． 18．如图，在中，，，在中，，，连接，取的中点，连接，． 求证：且． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的中位线性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． 取的中点P，的中点Q，连接，，，，先根据三角形的中位线性质得到，，，，再根据等腰直角三角形的性质推导出，，，进而证明得到，，然后根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而可证结论． 【详解】解：取的中点P，的中点Q，连接，，，， ∵M为的中点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，， ∴，，则， ∵在中，，， ∴，，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 即且． 19．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查邻补角，等腰三角形的性质，三角形的内角和，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线间的线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，继而推导出 ，则，即可解答． （2）延长、，交于点， ，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，继而推导出是菱形，得到，再推导出，则，可推导出 ，即点是斜边的中点，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置， ∴， ， 在中，， ∴ ． （2）证明：如图，延长、，交于点，则 ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ∴． 是的中点，， ． ． 四边形是平行四边形． ， 是菱形． ． ， ． ． ，即， ，即点是斜边的中点． ． 20．如图，在梯形中，，两腰、互相垂直，、的中点分别是、，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质． 作，可知四边形是平行四边形，进而得，再说明N是的中点，接下来说明为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得，即可得出答案. 【详解】证明：如图所示，过点M分别作， 因为， 则四边形是平行四边形． 所以． 因为M是的中点， 所以， 所以 又因为N是的中点， 所以N是的中点． 因为垂直于， 所以为直角三角形． 所以． 又因为， 所以． 21．如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图3所示； ②连接，过点作直线交射线于点，如图4所示； ③在边上取一点，分别连接，，，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)如图5．若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据题意得到，，，由此即可求解； （2）根据题意得到，，是等腰直角三角形，则，，，再证明，则，且，由此即可求解； （3）根据题意，设，则，在中，，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，可得，，，，，，可证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：根据题意，， ∴， ∵将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∵，点在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，，， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，，即， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，数形结合分析是关键． 试卷第20页，共33页 试卷第21页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十五、平行四边形（适中版） 一、单选题 1．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 4．如图，在平行四边形中，点是的中点，相交于点，则图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）    A．3 B．4 C．4.5 D．5 6．如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（   ）的一部分 A．直线 B．圆 C．抛物线 D．反比例函数的曲线 7．如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 8．点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交延长线于点，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，将纸片沿折叠，使得点D落在边上点F处，当时，与的关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是 ．    12．已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则 ． 13．在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是 ． 14．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么 ． 15．如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 ． 16．如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 三、解答题 17．在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)，，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 18．如图，在中，，，在中，，，连接，取的中点，连接，． 求证：且． 19．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 20．如图，在梯形中，，两腰、互相垂直，、的中点分别是、，且，求证：． 21．如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 22．【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图3所示； ②连接，过点作直线交射线于点，如图4所示； ③在边上取一点，分别连接，，，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)如图5．若，，求证：． 试卷第4页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $