精品解析：河北省衡水市河北枣强中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

河北枣强中学2025-2026学年上学期高三年级第四次调研考试 （数学试题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 3. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 7 C. 12 D. 5. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 120 B. 40 C. 48 D. 60 7. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 11. 已知正方体的棱长，点P是线段（含端点）上的一个动点，点M在上底面内（含边界），且．下列结论正确的是（　　　） A. 点的轨迹长度为 B. 存在点P，使得直线与所成角为 C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则公差为__________. 13. 在中，若，，则__________. 14. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求. 16. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 17. 如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． （1）求证：； （2）若，，，且点均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北枣强中学2025-2026学年上学期高三年级第四次调研考试 （数学试题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解对数不等式和一元二次不等式，得到集合,再利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 则. 故选：C. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 3. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 7 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的数量积为0求解即可. 【详解】由题意，，又，故， 即，，解得. 故选：A 5. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意结合圆锥的特征计算可得，，再由圆锥体积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，所以， 因为，所以，所以圆锥的高为， 则该圆锥的体积为， 故选：D. 6. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 120 B. 40 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出方程求解、，验证，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，设数列的公比为， 若，则， 此时，由已知，即， 解得，不成立，所以； 因为，， 则有：，解得，， 所以. 故选：B 7. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值. 【详解】由题知：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 易证得，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即，则在，即有， 则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故选：C． 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 若函数在上有3个零点，则a的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】. 对于A，由题意可得函数的最小正周期，满足，则有，故A错误； 对于B，由A可得，因为函数的最大值，故必有，即B正确； 对于C，当 时，，则有，故的取值范围是 ，故C错误； 对于D，当时，，由正弦函数的图象性质， 要使函数 在 上有3个零点，需使，即，故D正确. 故选：BD. 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据圆的方程求得圆心和半径，根据直线的方程求得直线所过定点，通过判断定点在圆内，知直线与圆必相交；对于B，直接求圆和轴的交点，进而求得圆被轴截得的弦长；对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，直线与垂直，根据垂直直线斜率关系，求得直线的斜率为，从而求得直线的方程；对于D，求圆心到直线的距离，结合半径做出判断. 【详解】由题可知圆的圆心，半径. 由直线，得，所以直线过定点. 对于A，因为，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确； 对于B，当时，，所以，或.所以圆被轴截得的弦长为，所以B正确； 对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时，直线与垂直，因为的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.所以C不正确； 对于D，当时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为，因为，所以圆上存在四个点到直线的距离为2，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长，点P是线段（含端点）上的一个动点，点M在上底面内（含边界），且．下列结论正确的是（　　　） A. 点的轨迹长度为 B. 存在点P，使得直线与所成角为 C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用勾股定理求长度确定点轨迹，再求弧长；对于选项B，通过异面直线所成角转化为共面角结合P的位置范围判断；对于选项C，建系利用点到平面的距离公式求解；对于选项D，通过展开平面，利用余弦定理求的最小值. 【详解】因为正方体的棱长，在中， ,由勾股定理得到 ,所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，其长度为，故A项正确； 因为 ，所以就是直线与所成角, 因为正方体中平面且平面， 所以,所以中，所以,又因为，故B项错误. 以D为原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，,,，, 设平面的法向量为，,，则，令 则， 因为，所以点M到平面PBD的距离为 ； 当最大，最小时有最大值，即时距离有，故C项正确. 将 与 展开在一个平面上，此时的最小值就是 （为 展开后的点）， 所以 , ， 所以,，所以 由余弦定理得到： 所以，的最小值为，故D项正确. 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则公差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式转化得到，代入中化简即可. 【详解】由，得，即， 所以，则. 故答案为： 13. 在中，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出，求出，再由内角和与诱导公式求出，结合两角和的正切展开式，以及，消去，解出，求得角. 【详解】由可知，与同号， 若且，则均为钝角，这在三角形中不可能， 故且， 因为，，所以， 故，故，解得， 所以，由知，， 解得（负值舍去），故. 故答案为：. 14. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可将问题转化为在上有变号零点，通过求导判断函数在上的单调性和极值情况，作出其图象，即可求得参数a的范围. 【详解】由可得， 依题意，函数在上不单调，则在上有变号零点， 即方程在上有变号的根，也即在上有变号的根， 设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在时取得极大值，又， 作出函数在上的图象. 由图可得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得，利用辅助角公式化简得到，结合的范围即可求 （2）由题意得到，，由正弦定理得到，利用的面积公式列式即可求. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ，，即， 由为三角形内角，即，，得. 【小问2详解】 ，且， 由得，又，联立解得，， ， 由正弦定理有，， 则的面积为， 由的面积为，可得，. 16. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 【答案】（1） 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得； （3）可得，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为， 所以点B到平面AEF的距离为. 17. 如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． （1）求证：； （2）若，，，且点均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 翻折前，，即，，翻折后，，， 而，平面，则平面， 又平面， 所以. （2） （ⅰ）由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 设，由，得， 解得，，则点，所以在线段上. （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式，结合球面的意义列出方程组求解；（ⅱ）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）同上坐标系，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） 由题意可知：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即， 令，解得， 所以切线恒过定点. （2） （i）； （ii）设，构建， 则， 记的导函数为，的导函数为， 且的导函数为，的导函数为， 则，且， 因为，且， 又因为， 且在内恒成立， 若，则，可得， 可知在内单调递增，则， 可知在内单调递增，则， 若，则，可知在内单调递增，不合题意； 所以； 若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为， 则，由单调性可得， 可得， 因为在内单调递减，在内单调递增， 可得， ， 所以； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而分析定点； （2）（i）求导，分析讨论分析函数的单调性，结合单调性分析求解；（ii）构建设，构建，求导，分类讨论分析的符号分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以. （i）构建，则， ①若，则，可知在内单调递增， 且，当趋近于时，趋近于， 可知在定义域内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则至多存在两个实数，使得，不合题意； ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 若，则，即， 可知在定义域内单调递增，不合题意； 若，则， 当时，则； 当时，则； 可知在和内分别存在一个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意； 综上所述：实数的取值范围； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $