第02讲 探索三角形相似的条件（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦“探索三角形相似的条件”，系统梳理相似三角形的概念（含定义、相似比、对应点规范）及四种判定方法（平行截相似、三边成比例、两边成比例夹角相等、两角对应相等），承接全等三角形知识，为后续性质应用搭建学习支架。 资料以题型为纲，按判定方法分设5类题型，每类含典例（选自期中/月考真题）及变式题，配套综合练习（选择、填空、解答）。通过真题情境培养几何直观（数学眼光），变式训练提升推理意识（数学思维），综合应用强化应用意识（数学语言），课中助力教师分层教学，课后方便学生查漏补缺。

第02讲 探索三角形相似的条件 知识点1 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2) 对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点2 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【题型1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【题型2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在和中，,,,,，那么与相似吗？请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【题型3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 【题型4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北·课后作业）已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件： （不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【题型5 相似三角形判定综合】 【典例5】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 一、单选题 1.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4，（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点D、E分别在边、上，，若，，，则的长是（  ） A．4 B．4.5 C．2.5 D．2 5.（22-23九年级上·河南·期中）如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 7.（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是斜边上的高，，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 9．（九年级上·湖北随州·期末）如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 10．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为 ． 11．（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在和中，已知，．求证：． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 14．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，点B是线段上的一点，且．    (1)证明：； (2)若，，．求线段的长． 16．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 17．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，在和中，，．求证：； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 探索三角形相似的条件 知识点1 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2) 对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点2 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【题型1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比． 根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论． 【详解】解：小正方形的边长为1， 在中，，，， A选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； B选项中，一边，一边，一边， 有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意； C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等），逐一验证各选项的边长比例是否相等即可. 【详解】解：A答案：对应边的比相等，所以两三角形相似； B答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； C答案：对应边的比不都相等，所以两三角形不相似； D答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； 故选： A． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【答案】与相似．理由见解析 【分析】利用表示三角形各边长度，再判断三角形的三边是否成比例. 【详解】解：与相似．理由如下： 设正方形的边长为． 是的中点，， ，，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【题型2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【答案】证明见解析，相似比为 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似比，先证明，然后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在和中，,,,,，那么与相似吗？请说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据已知可得到，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：与相似．理由如下： ∵,,,， ，， ， ， 与相似． 【变式2】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【题型3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】证明： ，， ， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由余角的性质可得，由直角三角形的性质可得，可证，再证，即可求解． 【详解】证明：，． ． 是直角三角形斜边上的中线， ． ．． 又， ． ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 【答案】证明见详解． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可． 【详解】证明：如图： 为等边三角形， ， 又， ， ． 【题型4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A中，，，两个对应角相等， ， 选项B中，，，两个对应角相等， ， 选项C中，，，不是夹这两个角的边，所以不相似． 选项D中，，，两条对应边的比相等，且夹角相等， ． 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·河北·课后作业）已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 当或或时，． 故答案为：或或． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件： （不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 【题型5 相似三角形判定综合】 【典例5】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 利用平行线的性质得到角相等，再通过构造平行四边形，结合平行线分线段成比例定理，证明三角形的对应角相等、对应边成比例，从而证明相似． 【详解】解：过点作交于点． ∵ ， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ，，且 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ，，，且 ∴ 【变式1】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴ 一、单选题 1.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、 ，， ，故选项不符合题意； B、 ，， ，故选项不符合题意； C、 ，，，， ，， ， ， ，故选项不符合题意； D、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 2.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 3.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 4，（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点D、E分别在边、上，，若，，，则的长是（  ） A．4 B．4.5 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点、分别在边、上，，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ， 故选：B． 5.（22-23九年级上·河南·期中）如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：， 当时，，故A不合题意； 当时，，故C不合题意； 当时，，故D不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7.（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是斜边上的高，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键． 利用直角三角形的性质和余角的性质可证∽，然后得成比例的线段求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ∽， , ， ，， , 解得： 故答案为： 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 9．（九年级上·湖北随州·期末）如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，或添加． 【详解】解：在和中， ， 故只需要增加一组角对应相等即可， 可添加， 此时， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 11．（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 三、解答题 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 通过证明三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等． 【详解】证明：已知，， ∴． 已知，， ∴． 可得，． ∵，且是与的公共角． ∴可得． ∴． 15．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，点B是线段上的一点，且．    (1)证明：； (2)若，，．求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明两个三角形的两个角对应相等即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 16．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 17．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 学科网（北京）股份有限公司 $