精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期高二12月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试题满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.测试范围： 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则. B. 若随机变量的方差，则. C. 若，则事件与事件独立. D. 若随机变量服从正态分布，若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用二项分布的期望公式分析判断，对于B，利用方差的性质分析判断，对于C，利用条件概率公式结合独立事件的定义分析判断，对于D，利用正态分布的性质分析判断. 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，由，得， 因为，所以事件A与事件B独立，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为随机变量服从正态分布，所以 所以，故D正确. 故选：B 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新数据的平均值，然后计算新数据的回归方程，进而根据残差定义计算. 【详解】因为过点，将代入得. 增加两个样本点后x的平均数为，，. 所以新的经验回归方程为，当时，. 所以样本的残差是，解得. 故选：B. 6. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 7. 已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 8. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果. 【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点到直线的距离，即直线与圆相离， 点到直线的距离， 最小值为，最大值为， 则的取值范围为. 故选：B 二､多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分.（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（    ） A. 对于事件A，B，若，且，，则 B. 若随机变量，，则 C. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强 D. 在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据一元线性回归方程的系数的意义，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故，故A正确； 对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称， 故，， ，故B错误； 对于C，若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强，故C正确； 对于D，在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关，故D正确. 故选：ACD. 10. 设坐标原点为，直线，，则（　　） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两直线平行列方程，解方程可判断A选项；根据垂直列方程，解方程可判断B选项；易知直线过定点，可知点到直线的最大距离为，易知直线过定点，过，根据直线与始终垂直，可得垂足的轨迹是以为直径的圆，即可判断D选项. 【详解】A选项：若，则，解得， 所以或是的必要不充分条件，A选项错误； B选项：由，则，解得，B选项正确； C选项：由，即，可知过定点， 所以点到直线的最大距离为，C选项正确； D选项：由直线，即，可知直线过定点， 又过，且直线与始终垂直， 则垂足的轨迹是以为直径的圆， 又，且，中点， 所以垂足的轨迹是， 又原点在圆外， 所以点与原点距离的最大值是，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件的几何意义，结合圆与直线位置关系，逐项求解判断. 【详解】方程为，表示以为圆心，为半径的圆， 对于AB，设，直线与圆有公共点，由，解得，A正确，B错误； 对于C，表示圆上的点到原点的距离的平方， 又，因此，C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点， 由，解得，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆关于直线对称，则 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 13. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由正态分布性质可求，结合二项分布定义确定的二项分布，根据二项分布的均值公式求结论. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以， 由已知， 所以. 故答案为：1. 14. 已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程. 【详解】设，连接，由弦的中点为，得，， 由以线段为直径的圆过点，得，则， 因此，整理得， 所以的中点的轨迹方程为 故答案为： 四､解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用直线是否经过原点分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为 根据垂直关系，可设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关 （3） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算即可； （2）由（1）根据卡方的计算公式结合临界值表计算即可求解； （3）列出随机变量的可能取值，利用独立事件乘法公式计算对应概率可得分布列，进而可求得数学期望. 【小问1详解】 由列联表可知 所以； 【小问2详解】 零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关 根据表中数据得： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关； 【小问3详解】 由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为， 随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为 的可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 . 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】（1） （2）以为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【小问1详解】 因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． 【小问2详解】 设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 18. 某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 （1）已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 （2）7 【解析】 【分析】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3）5 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【小问1详解】 由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为； 【小问3详解】 由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二12月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试题满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.测试范围： 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则. B. 若随机变量的方差，则. C. 若，则事件与事件独立. D. 若随机变量服从正态分布，若，则. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 6. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分.（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（    ） A. 对于事件A，B，若，且，，则 B. 若随机变量，，则 C. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强 D. 在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关 10. 设坐标原点为，直线，，则（　　） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 11. 已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆关于直线对称，则 __________． 13. 某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______． 14. 已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为______． 四､解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程． 16. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （3）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 18. 某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 （1）已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； （2）若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $