湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期实验班数学周测（12.2）

黄梅一中高二实验班周考试卷12.2 一、单选题 1．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.杨辉三角有很多有趣的性质，例如，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.在如图所示的杨辉三角中，记实线上的数1，3，6，10，…构成数列，即第2行第3个数是，第3行第3个数是，第4行第3个数是，第5行第3个数是，…第行第3个数是，则（    ） A． B． C． D． 3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 4．已知且，则的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 6．若的展开式中，所有二项式系数之和为32，则该展开式中的常数项为（    ） A．－48 B．48 C．－80 D．80 7．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．有一枚质地均匀的六面骰，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷该骰子 6 次，依次记录每次抛掷后的点数为 ，记事件 为偶数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，展开式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是（   ） A． B．展开式中的系数为70 C．展开式中奇数项的系数和为 D．展开式中偶数项的二项式系数和为 11．下列说法正确的是（    ） A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 三、填空题 12．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为 ；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有n次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n= ． 13．定义：在等式中，把，，，…，，叫做三项式的次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，1）． （1）填空：三项式的2次系数列是 ； （2）由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质，类似可用三项式次系数列中的系数表示，则的值为 ． 14．某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 四、解答题 15．一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 16．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响． (1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列； (2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率． ①求，，； ②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式． 17．一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 18．请先阅读：对等式（，为常数）的两边求导有：，由求导法则得，再在上式中令得.借助上述想法，结合等式（，正整数），解答以下问题： (1)求的值；(2)化简. 19．甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 《黄梅一中高二实验班周考试卷12.2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D A C C B ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 2．D 【详解】由杨辉三角结合二项式系数可知：， 所以， 即， 故选：D. 3．D 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 4．D 【详解】展开式中含的项是， 的展开式中含的项的系数为， ， . 故选：D. 5．A 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 6．C 【详解】的展开式中，所有二项式系数之和为解得. 的二项展开式的通项为， 当时，即时，该项为常数项，. 故选：C. 7．C 【详解】从4张卡片中抽取2张共有种选法， 抽到的2张卡片编号之和为奇数，即一奇一偶，共种选法， 所以抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率. 故选：C. 8．B 【分析】分析出只要与与与奇偶性不同即可，最后利用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】为偶数，则这三个数中至少有一个为偶数． 考虑这三个数均为奇数的情形，只要与与与奇偶性不同即可， 故， 故选：B． 9．ABD 【详解】对于A，因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ，所以， 故，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C,，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：ABD. 10．ACD 【详解】对于A，由展开式中只有第五项的二项式系数最大，可得第五项为中间项，故展开式共有9项，从而，故A正确； 对于B，展开式中的系数为，故B错误； 对于C，令，可得；令，可得， 两式相加可得，从而，故C正确； 对于D，根据二项式系数的性质，可知展开式中偶数项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【详解】对于A，共有种不同的放法，故A正确； 对于B，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故B不正确； 对于C，共有共种分组方式，共有种不同的放法，故C正确； 对于D，相当于找到方程的非负整数解的数目，令， 则问题相当于找到方程的正整数解的数目， 相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板，故所求为，故D正确. 故选：ACD. 12． 2 【详解】对于①： 设事件为“第一次摸到白球”，事件为“第二次摸到白球”， 则根据题意，. 所以. 对于②： 根据题意可知参与者获奖的可能性为： . 由于； ；； ；； ；； ；； ，可以看出最大. 所以. 故答案为：①；②2. 13． 50 【详解】空一：由， 所以三项式的次系数列是 空二：由题意表示展开式中的系数， 所以． 故答案为：；50 14．/ 【分析】f按照分步乘法计数原理分别计算，根据条件概率公式计算. 【详解】事件包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，由种不同的排法； 第二步，将高一年级人插空，有种不同的排法， 故事件包含的样本点数共有个. 事件包含样本点数的计算： 第一步，高二年级人内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级人看作一个元素，与高三年级共个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级人插空，有种不同的排法； 故事件AB包含的样本点数共有个 所以. 15．(1) (2)证明见详解. 【详解】（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 16．(1)分布列见解析 (2)①，，；② 【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1， ， ， ， ∴的分布列为 0 1 （2）①由（1）知， 同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2． 记，，，则，， ，，． 由此得甲的得分的分布列为 0 1 2 ∴． ②∵，， ∴即∴ 17．(1)，； (2)，大于1. 【详解】（1）从中一次性摸出4个球有种方法， 所以； （2）的取值可能为， 当时， 当时，， 1 2 3 所以 令， 则， 相减得 ， 所以. 为递增数列，故. 18．(1) (2) 【详解】（1）在等式（，正整数）， 两边对求导得：①， 令，，可得. （2）①式两边同时乘以得②， ②式两边对求导得：， 令，得. 19．(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）    (ii)由(i)中的分布列得到．根. 【详解】（1）若比赛中甲胜，记比赛结果为甲；比赛中乙胜，记比赛结果为乙；比赛平局，记比赛结果为平． 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲， 对应概率为； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲， 对应概率为． 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为． （2）若，则比赛结果只有甲乙两种，且． 又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4局没有结束比赛，即前4局甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则． 则的分布列为 2 4 5 （ⅱ）． 注意到 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 因为函数在上单调递增， 所以，故的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $