第02讲 整式与因式分解（4命题点+10题型+4突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖代数式概念、整式运算、因式分解、规律探究四大中考核心考点，按“概念-运算-应用-规律”逻辑构建知识网络。设计“考点解析-命题洞悉-重难突破-分层训练”教学流程，通过真题讲解和方法指导帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”模块的创新策略，如通过“整体法、降次法”求代数式值培养运算能力，结合跨学科实例探究规律发展抽象能力与推理意识。设置“基础-能力-新趋势”三级练习，配合5分钟限时真题训练，确保高效复习。助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习框架，把控教学节奏。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 代数式的相关概念 题型01 代数式及求值 题型02 整式的相关概念 题型03 与单（多）项式有关的规律探索问题 命题点二 整式的相关运算 题型01 整式基本运算（整式加减乘除、幂运算等） 题型02 整式运算的几何意义 题型03 乘法公式再运用 命题点三 因式分解 题型01 因式分解 题型02 因式分解的运用 命题点四 探究与表达规律 题型01 探究与表达规律-代数型 题型02 探究与表达规律-图形型 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 代数式求值（整体法、降次法、消元法） 突破二 因式分解与整式乘法综合运用 突破三 探究与表达规律（与跨学科融合） 突破四 探究与表达规律（数字规律与乘法公式、新定义综合压轴） 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的相关运算 成都卷 T3 成都卷 T3 成都卷 T3 掌握整式的加减、乘除运算法则，能进行简单的整式运算；掌握幂的运算法则并正确运算；掌握整式混合运算顺序，能进行简单混合运算。 因式分解 成都卷 T19 （完全平方） 成都卷 T9 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）进行因式分解。 探究与表达规律 成都卷 T23 （数字规律与探究-新定义） 成都卷 T21 （数字规律与探究-新定义） 都卷 T23 （数字规律与探究-新定义） 通过观察、归纳、类比等活动，发展抽象思维和推理能力，强调从特殊到一般的规律探索过程。‌ 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查整式的相关运算、探究与表达数字规律（含新定义）、因式分解也时有考查，题型一般以选填题为主，分值在8-12分左右。整式的相关运算主要考查幂运算、乘法公式等，难度较低，基本上年年都考；因式分解考查比较基础，出题频次也不算太高，但也需要重视分解一定要完全；而探究与表达数字规律（含新定义）是成都中考近几年最重要的一个变化，近三年都有在B卷中考查过，而且三年中有两年是出现在B卷填空的最后一道压轴题，其重要性不言而喻。 考点一 代数式的相关概念 1、用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、代数式求值： 1）直接代入法：把已知字母的值直接代入计算；2）整体代入法：利用提公因式法、平方差公式完全平方公式等对所求代数式进行恒等变形，把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值。 3、单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 4、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 1．（2025·成都·校考一模）若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为 ．（用含的式子表示） 2．（2025·成都·模拟预测）若，则的值为 ． 3.（2025·成都·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·成都·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 考点二 整式的相关运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变。 4. 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号。 5.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 6.幂的运算 （m，n都是整数） 1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，即； 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即； 3）积的乘方：积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即； 4）同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（a≠0）； 7.整式的乘法 1）单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。 2）单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 即。 3）多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即。 4）乘法公式：平方差公式： ；完全平方公式：。 完全平方公式常用的变式：①；②； ③；④；⑤。 8.整式的除法 单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即。 1．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·成都·模拟预测）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 4.（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 考点三 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。 2.因式分解的基本方法： 1）提公因式法： 2）公因式法： 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 3.因式分解的一般步骤： 1．（2023·四川成都·中考真题）因式分解：x2﹣3x= ． 2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 3．（2025·成都·二模）若，，则的值是 ． 4．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 考点四 探究与表达规律 1.抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。 2.化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。 3.要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。 4.寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 1.（2025·成都·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·校考二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 3．（2025·成都·模拟预测）如图， 图1 中有1 个正三角形， 图2 中有4个正三角形， 图3中有7个正三角形，依次规律， 图n中有 个正三角形 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 代数式及求值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若，则 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）若，则 ． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）已知，，则代数式的值为 ． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）若，则 ． ►题型02 整式的相关概念 要解决这类只含特定字母的整式开放性问题，核心思路是明确单项式/多项式的相关概念，再结合要求构造项. 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 【变式】3．单项式的系数是a，次数是b，则 ． ►题型03 与单（多）项式有关的规律探索问题 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出系数和次数的规律是解决此类问题的关键。 2) 把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 命题点二 整式的相关运算 ►题型01 整式基本运算（整式加减乘除、幂运算等） 在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 【典例】2．（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2023·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． ►题型02 整式运算的几何意义 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图①，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． ►题型03 乘法公式再运用 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都庄·模拟预测）对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【变式】2．（2025·成都·校考模拟预测）已知 ，则 ． 【变式】3．（2025·四川成都·校考二模）若，则 ． 命题点三 因式分解 ►题型01 因式分解 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 【典例】1．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）因式分解： ． ►题型02 因式分解的运用 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例】1．（2025·成都校考·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排 名男学生，此次团体操表演最少需要 名学生． 【典例】2．（2025·成都·校考模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）若，则的值为 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，则 ． 命题点四 探究与表达规律 ►题型01 探究与表达规律-代数型 数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 【典例】1．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）阅读：已知对于任意正整数n，都有，求的值．小郭通过思考发现可以这样解答：．若对于任意正整数n，都有．则（ ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） ►题型02 探究与表达规律-图形型 图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，每一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有个黑点，第②个图形中有个黑点，第③个图形中有个黑点，按此规律，则第⑦个图形中黑点的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）千灯启明，山海璀璨，元宵佳节之际，某艺术灯会上有一组如图所示的花灯，第个图案中有个花灯，第个图案中有个花灯，第个图案中有个花灯，，依此规律，第个图案中有 个花灯．（用含的代数式表示） 【变式】3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 突破一 代数式求值（整体法、降次法、消元法） 【典例】（2025·成都·模拟预测）若，则 ． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）已知，则的值是 ． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为 ． 突破二 因式分解与整式乘法综合运用 【典例】（2025·成都·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 突破三 探究与表达规律（与跨学科融合） 【典例】（2025·成都·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将个大写英文字母，，，...，依次对应，，，...，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是 ．（填写由个大写字母组成的密码） 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    突破四 探究与表达规律（数字规律与乘法公式、新定义综合压轴） 【典例】（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【变式】1．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 1．（2026·成都·模拟预测）下列计算中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·校考三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 6.（2025·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 7．（2025·成都·校考一模）若，，则 ． 8．（2025·成都·二模）请你添加常数项，并因式分解： ． 9．（2025·成都·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 10．（2025·成都·一模）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L． 11．（2025·成都·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 12．（2026·成都·模拟预测）某数学兴趣小组一起研究了一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数的个位数为8，那么就称这个数为“吉祥数”．求证：对任意的“吉祥数”，一定是20的倍数． 1．（2025·四川成都·一模）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 4．（2025·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 5．（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 6.（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 7．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 8．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ． 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 6.（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 9．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 11．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 12．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 代数式的相关概念 题型01 代数式及求值 题型02 整式的相关概念 题型03 与单（多）项式有关的规律探索问题 命题点二 整式的相关运算 题型01 整式基本运算（整式加减乘除、幂运算等） 题型02 整式运算的几何意义 题型03 乘法公式再运用 命题点三 因式分解 题型01 因式分解 题型02 因式分解的运用 命题点四 探究与表达规律 题型01 探究与表达规律-代数型 题型02 探究与表达规律-图形型 05·重难突破·思维进阶难 26 突破一 代数式求值（整体法、降次法、消元法） 突破二 因式分解与整式乘法综合运用 突破三 探究与表达规律（与跨学科融合） 突破四 探究与表达规律（数字规律与乘法公式、新定义综合压轴） 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的相关运算 成都卷 T3 成都卷 T3 成都卷 T3 掌握整式的加减、乘除运算法则，能进行简单的整式运算；掌握幂的运算法则并正确运算；掌握整式混合运算顺序，能进行简单混合运算。 因式分解 成都卷 T19 （完全平方） 成都卷 T9 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）进行因式分解。 探究与表达规律 成都卷 T23 （数字规律与探究-新定义） 成都卷 T21 （数字规律与探究-新定义） 都卷 T23 （数字规律与探究-新定义） 通过观察、归纳、类比等活动，发展抽象思维和推理能力，强调从特殊到一般的规律探索过程。‌ 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查整式的相关运算、探究与表达数字规律（含新定义）、因式分解也时有考查，题型一般以选填题为主，分值在8-12分左右。整式的相关运算主要考查幂运算、乘法公式等，难度较低，基本上年年都考；因式分解考查比较基础，出题频次也不算太高，但也需要重视分解一定要完全；而探究与表达数字规律（含新定义）是成都中考近几年最重要的一个变化，近三年都有在B卷中考查过，而且三年中有两年是出现在B卷填空的最后一道压轴题，其重要性不言而喻。 考点一 代数式的相关概念 1、用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、代数式求值： 1）直接代入法：把已知字母的值直接代入计算；2）整体代入法：利用提公因式法、平方差公式完全平方公式等对所求代数式进行恒等变形，把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值。 3、单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 4、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 1．（2025·成都·校考一模）若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：若表示任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为，故答案为：． 2．（2025·成都·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，， ，故答案为：． 3.（2025·成都·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是，∴它的系数为，故选：C． 4．（2025·成都·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误；故选：B． 考点二 整式的相关运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变。 4. 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号。 5.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 6.幂的运算 （m，n都是整数） 1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，即； 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即； 3）积的乘方：积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即； 4）同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（a≠0）； 7.整式的乘法 1）单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。 2）单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 即。 3）多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即。 4）乘法公式：平方差公式： ；完全平方公式：。 完全平方公式常用的变式：①；②； ③；④；⑤。 8.整式的除法 单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即。 1．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意；故选：C． 3．（2025·成都·模拟预测）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，．故选：． 4.（2025·成都·模拟预测）已知，则 ． 【答案】2 【详解】解：；； ∵，∴，即， 解得，∴，故答案为：2． 考点三 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。 2.因式分解的基本方法： 1）提公因式法： 2）公因式法： 平方差公式逆用： 完全平方公式逆用： 3.因式分解的一般步骤： 1．（2023·四川成都·中考真题）因式分解：x2﹣3x= ． 【答案】x（x﹣3） 【详解】提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：原式，故答案为： 3．（2025·成都·二模）若，，则的值是 ． 【答案】15 【详解】解：，，，故答案为． 4．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：，∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 考点四 探究与表达规律 1.抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。 2.化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。 3.要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。 4.寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 1.（2025·成都·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在甲烷的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为4个，， 在乙烷的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为6个，， 在丙烷的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为8个，， 在丁烷的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为10个，， ∴碳原子个数为，氢原子的个数为个，故选：B． 2．（2025·成都·校考二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 【答案】61 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍，……， 第个图案用了， 第个图案用了，当时，解得， ∴第11个图案用的木棍根数是根，故答案为：61． 3．（2025·成都·模拟预测）如图， 图1 中有1 个正三角形， 图2 中有4个正三角形， 图3中有7个正三角形，依次规律， 图n中有 个正三角形 【答案】 【详解】解：图1 中有1 个正三角形，图2 中有个正三角形，图3中有个正三角形，…… 则图中正三角形的个数为，故答案为：． 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 代数式及求值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵，∴， ∴；故答案为：3． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考二模）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】11 【详解】解：∵，， ∴ ，故答案为：11． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）若，则 ． 【答案】13 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：13． ►题型02 整式的相关概念 要解决这类只含特定字母的整式开放性问题，核心思路是明确单项式/多项式的相关概念，再结合要求构造项. 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【答案】D 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 的次数是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意；故选：D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为，故，故答案为：5． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：A．所含字母相同且相同字母的指数也相同，故A符合题意； B．所含相同字母的指数不同，故B不符合题意； C．所含相同字母的指数不同，故C不符合题意； D．所含相同字母的指数不同，故D不符合题意； 故选：A． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 【答案】 【详解】解：只含有字母x、y的三次多项式为：，故答案为：(答案不唯一)． 【变式】3．单项式的系数是a，次数是b，则 ． 【答案】 【详解】解：单项式的系数是a，次数是b， ，，故答案为： ►题型03 与单（多）项式有关的规律探索问题 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出系数和次数的规律是解决此类问题的关键。 2) 把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为，第个单项式为．故选：B． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为，故选：B． 【变式】2．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为， 第4个代数式为，第5个代数式为，……， 以此类推，可知，第n个代数式是，故选：A． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 【答案】 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 命题点二 整式的相关运算 ►题型01 整式基本运算（整式加减乘除、幂运算等） 在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）计算的结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 【典例】2．（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D． 【变式】1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：,故选：D． 【变式】2．（2023·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意，故选：C． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式，故选：D． ►题型02 整式运算的几何意义 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：图①，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：，因此图①符合题意； 图②，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：，因此图②符合题意； 图③，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：，因此图③符合题意； 图④，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有，即，因此图④符合题意； 四个表示都是相符合的，故答案为：①②③④． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【详解】解：由题可得阴影部分面积为：，故选：C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图①，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图①阴影部分的面积，图②阴影部分面积， ，故选：C． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 【答案】 【详解】解：图：四个全等的四边形的面积为， 图：四个全等的四边形的面积为， 则可以验证的乘法公式是，故答案为：． ►题型03 乘法公式再运用 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，故选：B． 【典例】2．（2025·成都庄·模拟预测）对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【详解】解： 故多项式能被整除．故选：A． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴这个直角三角形的斜边长，故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考模拟预测）已知 ，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，故，∴， 故，∴，∴．故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·校考二模）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，故答案为：． 命题点三 因式分解 ►题型01 因式分解 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 【典例】1．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式．故答案为：． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵，∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式，故答案为：． ►题型02 因式分解的运用 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例】1．（2025·成都校考·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排 名男学生，此次团体操表演最少需要 名学生． 【答案】 426 206 【详解】解：设矩形方阵为行列， ∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师， ∴师生总数满足，整理得， ∵、都是正整数，， ∵男生总数为，当男生人数最多时，需要最大， 此时，，解得，，∴， ∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生； 当，，解得，，∴， ∴此次团体操表演最少需要206名学生；故答案为：426；206． 【典例】2．（2025·成都·校考模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵，，，故答案为：2． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4． 【变式】2．（2025·成都·二模）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，故答案为：． 命题点四 探究与表达规律 ►题型01 探究与表达规律-代数型 数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 【典例】1．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【答案】 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2025个数共有组， ∴奇数有个．故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【答案】48 【详解】解：如图， 根据题意得：，∴， ∵，即∴， ∵，即∴， ∵，即，∴，∴，∴．故答案为：48 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）阅读：已知对于任意正整数n，都有，求的值．小郭通过思考发现可以这样解答：．若对于任意正整数n，都有．则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于任意正整数n，都有， 当时， ， ，原式 ．故选：D ． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【详解】当时，当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个；…； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个．故答案为：3；． ►题型02 探究与表达规律-图形型 图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，…… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，，∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28．故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，每一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有个黑点，第②个图形中有个黑点，第③个图形中有个黑点，按此规律，则第⑦个图形中黑点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设第个图形有个黑点为正整数． 观察图形，可知：，，，，， ∴（为正整数），∴，故选：D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）千灯启明，山海璀璨，元宵佳节之际，某艺术灯会上有一组如图所示的花灯，第个图案中有个花灯，第个图案中有个花灯，第个图案中有个花灯，，依此规律，第个图案中有 个花灯．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：第个图案中有花灯（个）， 第个图案中有花灯（个）， 第个图案中有花灯（个），， 第个图案中有（个），故答案为：． 【变式】3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形；； 第n个图形中有个三角形．故答案为： 突破一 代数式求值（整体法、降次法、消元法） 【典例】（2025·成都·模拟预测）若，则 ． 【答案】10 【详解】由题意可得：， ∴原式．故答案为：10． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）已知，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴；故答案为：0． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：，根据题意可得，∴， ∴故答案为：． 突破二 因式分解与整式乘法综合运用 【典例】（2025·成都·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数，∴． ①当时，，∴，∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6，此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，，∴， ，∴，∴，∴． ③当时，，∴，∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则 ． 【答案】20或28 【详解】解：，，且恒成立，，， 消去得，即， ,都是整数，，或，，解得或， 当时，；当时，， 故或．故答案为：20或28． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【详解】解：由，得， 则, ∵，， 、b、c不全为零，、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而，恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数，即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 【答案】 140 158404 【详解】解：设，，n为大于0的自然数，则， ∴要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，设， ∵n为大于0的自然数，∴是一个奇数，∴k为奇数，∴ ∴当时，（第1个“双方数”）； 当时，（第2个“双方数”）； 当时，（第3个“双方数”）. ∴前3个“双方数”的和为， 根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时． 故答案为140，158404． 突破三 探究与表达规律（与跨学科融合） 【典例】（2025·成都·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 【答案】 【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为 故第8个分子式为故答案为∶． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，醚类的化学式中，氧原子(O)的数目为1，且位于中间，左右两侧所含原子种类相同和数量相等，且氧原子每侧的氢原子(H)的数目比该侧的碳原子(C)数目的2倍多1，故当碳原子(C)的总数目为 (n为正整数)时，醚类的化学式可以表示为.故选：D. 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将个大写英文字母，，，...，依次对应，，，...，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是 ．（填写由个大写字母组成的密码） 【答案】 【详解】解：对应序号，为奇数，密码对应的序号为，对应， 对应序号，为偶数，密码对应的序号为，对应， 对应序号，为奇数，密码对应的序号为，对应， 所以，将明码“”译成密码是，故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用 根小棒．    【答案】 【详解】解：∵第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒，，∴第个图形用了根小棒， 当时，，∴第个图形要用根小棒，故答案为：． 突破四 探究与表达规律（数字规律与乘法公式、新定义综合压轴） 【典例】（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【变式】1．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推，当n为偶数时，， 故当时，，故答案为：9，144． 【变式】2．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【详解】解：；由题意， 当时，，当时，， 当时，，……，当时，， 又，∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 1．（2026·成都·模拟预测）下列计算中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、，故原选项错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意；故选：B． 2．（2025·成都·校考三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张，故选：B． 3．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，故选：A． 4．（2025·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意，故选：D． 5．（2025·成都·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以．故选：B． 6.（2025·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵代数式可以写成的形式， ∴，解得，或，故答案为：10或． 7．（2025·成都·校考一模）若，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，故答案为：． 8．（2025·成都·二模）请你添加常数项，并因式分解： ． 【答案】 1（答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】．故答案为：1；． 9．（2025·成都·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数． ∴，，，∴．故答案为： ． 10．（2025·成都·一模）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L． 【答案】 【详解】解：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的， 第4次倒出水量是升的，…，第n次倒出水量是升的，则第n次倒出水后，倒出的水量为： ；故答案为：． 11．（2025·成都·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵，即，∴，，解得，， 将，，代入原式． 12．（2026·成都·模拟预测）某数学兴趣小组一起研究了一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数的个位数为8，那么就称这个数为“吉祥数”．求证：对任意的“吉祥数”，一定是20的倍数． 【答案】见解析 【详解】证明：设“吉祥数”的十位数字为，则， ， 对任意的“吉祥数”，一定是的倍数． 1．（2025·四川成都·一模）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：仅当时，取“”， ，，， ，，， ，解得：， 又，， ，即，解得：，综上，符合题意的选项为B．故选：B． 2．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环，，∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即．故选：A． 3．（2025·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 【答案】38 【详解】奇合数有：， 以上分别为：， 可以知道：为两个奇数之积，一定是奇合数， 所以大于等于 40 的偶数都能写成两个奇合数之和， 而， 均不为两个奇合数之和，所以 38 即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数； 故最大的一个非“佳偶数”是最大的一个是 38 ．故答案为：38． 4．（2025·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 【答案】 【详解】解由题意得：， ，时，，，解得， 当时，可求得，则这列数为：， 可看出分子为，分母为，第个数为：，． 故答案为：，． 5．（2025·四川成都·二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，，五种取法，则； 当时，~有种：，， ~有2种：，， ~有2种，， ~有1种共七种取法，则； 当时，~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，， ~有种：，共九种取法，则； 当时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，共（种）取法．故答案为：，． 6.（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵， ∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， 所以经过3次操作后游戏结束； （2）因为，所以，，，， ，，，，……， 由此看出从开始3个一循环，∵， 所以与相同，也就是．故答案为：3； 7．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数，则， 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合，此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是，故答案为：117，665． 8．（2025·四川成都·二模）问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入 次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为 ． 【答案】 5 255 【详解】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确． 由题意，当时，输入1次一定能猜中数字： 当时，输入2次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 以此类推，当时，输入8次一定能猜中数字． 故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255，故答案为：5，255． 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意；故选：D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形；．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形，故选：C． 3．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意；故选：． 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．故选：B． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：.故选：C 6.（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 7．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：，则．故答案为：． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：，…… 观察发现，第个式子为，故答案为： 10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值，∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即．故答案为：58． 12．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数”故答案为：不是 建模推理：（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，，故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵，∴， ∴能被11整除，∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $