第01讲 实数及其运算（4命题点+10题型+3突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“实数及其运算”中考核心模块，覆盖实数分类、概念性质、平方根立方根、科学记数法与混合运算等高频考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-分层训练”系统架构知识网络。通过考点梳理（如无理数三类形式）、方法指导（6种大小比较法）、真题精讲（2023-2025成都中考题），帮助学生突破重点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”设计，如结合《九章算术》算筹记数考查非负性运用，融入新定义题型培养数学思维与创新意识。分层练习含基础巩固、能力提升、全国新趋势三级，配合限时训练保障效率。教师可依考情预测（10-14分，选填+计算）把控节奏，有效提升学生应试能力与数学语言表达能力。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 实数的分类 题型01 正负数的意义 题型02 实数的分类 命题点二 实数的有关概念与性质 题型01 实数的概念 题型02 实数的性质 命题点三 （算术）平方根、立方根 题型01 （算术）平方根与立方根的相关计算与应用 题型02 无理数的估算 题型03 实数的大小比较 命题点四 科学记数法与实数的有关运算 题型01 科学记数法 题型02 实数的混合运算 题型03 实数运算的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 非负性的运用 突破二 实数运算与数学文化 突破三 实数运算与新定义 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的概念与大小比较 成都卷 T1 （绝对值） 成都卷 T1 （比大小） 了解实数的相关概念；了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 / / 成都卷 T2 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 成都卷 T1 成都卷T14（1） 成都卷 T9 成都卷T14（1） 成都卷T14（1） 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。能运用绝对值和平方、算术平方根的非负性解决相关问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查实数的混合运算、实数的概念与大小比较、科学记数法也时有考查，题型一般以选填题和计算题为主，分值在10-14分左右。实数概念主要考查数轴、相反数、绝对值、大小比较等；科学记数法则考查大数（含有单位万或亿）的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算主要考查绝对值、根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数。正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。0既不是正数，也不是负数。 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量。在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）。有理数和无理数统称为实数。 无限不循环小数叫做无理数。 要注意理解“无限不循环”，无理数归纳起来有三类： 1）开方开不尽的数，如，等； 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； 3）有特定结构的数（看似有规律，实则没有循环节），如0.101 001 000 1…等。 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1．（2025·成都·校考二模）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·成都·一模）下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（   ） A． B． C．4 D．0 3．（2025·成都·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 考点二 实数的有关概念与性质 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 性质：数轴上所有的点与全体实数一一对应。 2、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。 性质：若a、b互为相反数，则a+b=0。 3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。 性质：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。 4、倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。 性质：若a、b互为倒数，则ab=1。 1．（2024·四川成都·中考真题）﹣5的绝对值是（ ） A．5 B．﹣5 C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384的相反数是（    ） A．384 B． C． D． 3．（2025·四川成都·校考二模）的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 4．（2025·成都·模拟预测）有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 （算术）平方根、立方根 1、算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 记为，a叫做被开方数。 2、平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。 3、立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根 （或三次方根）。 4、实数的大小比较 （1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 （2）法则比较法：两个负数比较大小，绝对值大的那个数反而小。 （3）作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b ；②a-b=0 a=b ；③a-b<0 a<b 。 （4）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b ；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a<b 。 （5）倒数比较法：若>，ab>0，则 a<b 。 （6）作商比较法：1）正实数a，b，>1 a>b ，<1 a>b ；2）负实数a，b，>1 a<b ，<1 a>b 。 1．（2025·成都·模拟预测）49的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 ． 2．（2025·成都·模拟预测）的平方根是（   ） A． B．2 C． D．不存在 3．（2023·四川成都·中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D． 4．（2025·成都·校考一模）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 考点四 科学记数法与实数的有关运算 1、科学记数法 1）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 2）近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 3）有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 2、实数的运算 1）乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂。 2）运算顺序：1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 3）熟记30°、45°、60°的三角函数值。 1．（2023·四川成都·中考真题）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． 4．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 1、用正负数表示“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 2、用正负数表示允许偏差，M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2024·四川成都·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． ►题型02 实数的分类 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式。 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数 【变式】2．已知从小到大排列的一组数据：，，a，，其中a为负整数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 命题点二 实数的有关概念与性质 ►题型01 实数的概念 理解并掌握数轴、绝对值、相反数、倒数的相关概念是解决该类问题的关键所在。 【典例】1．（2025·四川成都·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·四川成都·三模）下列说法正确的是（   ） A．“342万”科学记数为 B．3的绝对值为 C．3的倒数是 D．3的相反数是 【变式】1．的相反数是 ； ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个值即可）． ►题型02 实数的性质 1、若a、b互为相反数，则 a+b=0 。 2、若a、b互为倒数，则 ab=1 。 3、相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 【典例】1．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【变式】1．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x．(1)求点A，B之间的距离；(2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示）②求的最小值；(3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 命题点三 （算术）平方根、立方根 ►题型01 （算术）平方根与立方根的相关计算与应用 注意：求的平方根，要先把去根号，再求平方根。 【典例】1．（2025·成都·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 【典例】2．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式】2．（2025·四川成都·二模）的平方根是 ． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 ►题型02 无理数的估算 无理数的估计大多采用两端逼近法。 【典例】1．是从小到大排列的三个实数，若，则的最大整数值为 ． 【变式】1．估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知n是无理数，且，写出一个满足条件的n的值： ． 【变式】3．（2025·成都·一模）实数的小数部分是（    ） A．-3 B．3- C．3 D．4- ►题型03 实数的大小比较 实数的大小比较主要方法：1）数轴比较法；2）法则比较法；3）作差比较法；4）平方比较法；5）倒数比较法；6）作商比较法。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）2，，0，四个数中，最大的是（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式】2．我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）比较大小 （填“”，“”或“”） 命题点四 科学记数法与实数的有关运算 ►题型01 科学记数法 1）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）“神威·太湖之光”是首台运行速度超过每秒亿亿（1亿亿）次的超级计算机，工作可进行（　　）万次运算． A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·一模）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射取得圆满成功．26日，载人飞船与空间站组合体成功实现自主快速交会对接后，神舟十八号航天员在当天05时04分，顺利入驻中国空间站；其轨道高度最高约为450千米用科学记数法表示为．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是一个5位数 D．是一个6位数 ►题型02 实数的混合运算 实数混合运算顺序： 1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 【典例】1.（2023·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【变式】1．（2025·成都·一模）计算： 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）计算： 【变式】3．计算：． ►题型03 实数运算的实际应用 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 某同学体重千克，身高米，该同学指数在（ ）范围内． A．肥胖 B．过重 C．正常 D．过轻 【变式】1．（2025·成都·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【变式】3．如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 突破一 非负性的运用 【典例】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则 ． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若实数，，满足： ，则的值为 ． 突破二 实数运算与数学文化 【典例】（2025·成都·校考一模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（白色表示正，灰色表示负），图1表示的计算过程，则图2表示的过程用算式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2026·江西·模拟预测）新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为 ． 突破三 实数运算与新定义 【典例】（2025·湖南·模拟预测）若，则称b是以10为底a的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：．对数在化学中的一个应用为的计算，，表示氢离子的浓度（单位为：），若某种溶液中氢离子的浓度为，则该溶液的约为 ．（参考数据：） 【变式】1．（2025·福建南平·模拟预测）定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 1．（2025·成都·校考三模）的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 2．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·绵阳市·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·成都·二模）下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·成都·模拟预测）现规定对正整数进行一种运算：，则的结果为（   ） A．19 B．40 C．43 D．以上都不正确 8．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 9．（2025·成都·模拟预测）2025的相反数是 ， 的倒数是 ． 10．（2025·四川成都·校考二模）估算： ．（结果精确到1） 11．（2025·成都·一模）计算：= 12．（2025·成都·校考二模）计算：． 1．（2025·成都·一模）《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（    ） A．粟 B．粟 C．粟 D．粟 2．（2025·成都·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 3．（2025·成都·校考一模）若与互为相反数，则的值为 ． 4．（2025·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 5．（2025·成都·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则 ；若，则 ． 7．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 8．（2025·成都·九年级期中）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 1．（2025·四川甘孜州·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 4．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）宿迁市年第一季度总量突破一千亿大关，约为亿元．数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 8．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 10．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 实数的分类 题型01 正负数的意义 题型02 实数的分类 命题点二 实数的有关概念与性质 题型01 实数的概念 题型02 实数的性质 命题点三 （算术）平方根、立方根 题型01 （算术）平方根与立方根的相关计算与应用 题型02 无理数的估算 题型03 实数的大小比较 命题点四 科学记数法与实数的有关运算 题型01 科学记数法 题型02 实数的混合运算 题型03 实数运算的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 非负性的运用 突破二 实数运算与数学文化 突破三 实数运算与新定义 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的概念与大小比较 成都卷 T1 （绝对值） 成都卷 T1 （比大小） 了解实数的相关概念；了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 科学记数法 / / 成都卷 T2 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 成都卷 T1 成都卷T14（1） 成都卷 T9 成都卷T14（1） 成都卷T14（1） 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。能运用绝对值和平方、算术平方根的非负性解决相关问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查实数的混合运算、实数的概念与大小比较、科学记数法也时有考查，题型一般以选填题和计算题为主，分值在10-14分左右。实数概念主要考查数轴、相反数、绝对值、大小比较等；科学记数法则考查大数（含有单位万或亿）的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算主要考查绝对值、根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数。正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。0既不是正数，也不是负数。 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量。在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）。有理数和无理数统称为实数。 无限不循环小数叫做无理数。 要注意理解“无限不循环”，无理数归纳起来有三类： 1）开方开不尽的数，如，等； 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； 3）有特定结构的数（看似有规律，实则没有循环节），如0.101 001 000 1…等。 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1．（2025·成都·校考二模）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷， ∴钠离子中的原子核带个电荷，表示为：； 核外电子带个电荷，表示为：，故选：B． 2．（2025·成都·一模）下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（   ） A． B． C．4 D．0 【答案】B 【详解】解：A．是分数又是负数，故A选项不符合； B．是整数又是负数，故B选项符合； C．4是整数又是正数，故C选项不符合； D．0是整数不是负数，故D选项不符合．故选：B． 3．（2025·成都·模拟预测）实数，，0，，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】有理数有， 0，，，，，有6个，∴； 无理数有，，有2个即，．故选：C． 考点二 实数的有关概念与性质 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 性质：数轴上所有的点与全体实数一一对应。 2、相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。 性质：若a、b互为相反数，则a+b=0。 3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。 性质：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。 4、倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。 性质：若a、b互为倒数，则ab=1。 1．（2024·四川成都·中考真题）﹣5的绝对值是（ ） A．5 B．﹣5 C． D． 【答案】A 【详解】解：|﹣5|=5．故选A． 2．（2025·四川成都·模拟预测）2025年是农历乙巳蛇年，农历共有384天．其中384的相反数是（    ） A．384 B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 相反数的定义是只有符号不同的数，∴ 384的相反数为故选：B． 3．（2025·四川成都·校考二模）的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，所以的倒数是1．故选：C． 4．（2025·成都·模拟预测）有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得，，，∴，， ∴，，选项A、B、C错误，选项D正确，故选：D． 考点三 （算术）平方根、立方根 1、算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 记为，a叫做被开方数。 2、平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。 3、立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根 （或三次方根）。 4、实数的大小比较 （1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 （2）法则比较法：两个负数比较大小，绝对值大的那个数反而小。 （3）作差比较法：若a，b是任意两个实数，则：①a-b>0 a>b ；②a-b=0 a=b ；③a-b<0 a<b 。 （4）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b ；②对任意负实数a，b，若a2>b2 a<b 。 （5）倒数比较法：若>，ab>0，则 a<b 。 （6）作商比较法：1）正实数a，b，>1 a>b ，<1 a>b ；2）负实数a，b，>1 a<b ，<1 a>b 。 1．（2025·成都·模拟预测）49的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 7 【详解】解：49的平方根为，算术平方根为， 的立方根为， 故答案为：，7，． 2．（2025·成都·模拟预测）的平方根是（   ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】C 【详解】解：∵，且4的平方根为， ∴的平方根是．故选：C． 3．（2023·四川成都·中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得， ∴最大的数是：3；故选：A． 4．（2025·成都·校考一模）比较大小关系： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：． 考点四 科学记数法与实数的有关运算 1、科学记数法 1）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 2）近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 3）有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 2、实数的运算 1）乘方：n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂。 2）运算顺序：1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 3）熟记30°、45°、60°的三角函数值。 1．（2023·四川成都·中考真题）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：亿．故选：D． 2．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：；故选B． 3．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【答案】（1）5； 【详解】解：（1） ； 4．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【答案】（1）3； 【详解】解：（1） ； 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 1、用正负数表示“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 2、用正负数表示允许偏差，M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵薯片包装上注明净含量为， ∴薯片的净含量范围为：净含量，故D不符合标准，故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：收入元记作元，支出元记作元．故选：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：结合已知可得表示超过标准长度或者低于标准长度， 所以筷子的合格范围是．在这个范围内的是，故选：C． 【变式】3．（2024·四川成都·模拟预测）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为， ∴应把14次记为，故选：A． ►题型02 实数的分类 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式。 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，，是正数，排除，不符合题意； B选项，，是负数，符合，符合题意； C选项， ，是正数，排除，不符合题意； D选项，，是正数，排除，不符合题意； 故选：B． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数 【答案】D 【详解】解：A． ，是有理数，该项错误，不符合题意； B． 是无理数，该项错误，不符合题意； C． 是分数，属于有理数，该项错误，不符合题意； D． ，是整数，属于有理数，该项正确，符合题意．故选D． 【变式】2．已知从小到大排列的一组数据：，，a，，其中a为负整数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从小到大排列的一组数据：，，a，，其中a为负整数，的值为故选：． 命题点二 实数的有关概念与性质 ►题型01 实数的概念 理解并掌握数轴、绝对值、相反数、倒数的相关概念是解决该类问题的关键所在。 【典例】1．（2025·四川成都·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知：， ∴，则A、B、D错误，C正确，故选：C． 【典例】2．（2025·四川成都·三模）下列说法正确的是（   ） A．“342万”科学记数为 B．3的绝对值为 C．3的倒数是 D．3的相反数是 【答案】D 【详解】解：A、万，科学记数法应为，而选项中写为错误，不符合题意； B、绝对值非负，的绝对值为，而选项写为错误，不符合题意； C、倒数是指乘积为的数，的倒数为，而选项写为错误，不符合题意； D、的相反数是正确，符合题意；故选：D． 【变式】1．的相反数是 ； ． 【答案】 【详解】解：的相反数为； ．故答案为：，1 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，∴ ， ∴ 相反数为 ．故选：D． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由数轴可知，，∴无理数可以是，故答案为：． ►题型02 实数的性质 1、若a、b互为相反数，则 a+b=0 。 2、若a、b互为倒数，则 ab=1 。 3、相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 【典例】1．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：，，故答案为：． 【变式】1．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【详解】解：由，得，∴，∴，故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；    C. 2，不符合题意；    D. 4，符合题意；故选：D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，．解得，故选：B． 【变式】3．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x．(1)求点A，B之间的距离；(2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示）②求的最小值；(3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6(2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 命题点三 （算术）平方根、立方根 ►题型01 （算术）平方根与立方根的相关计算与应用 注意：求的平方根，要先把去根号，再求平方根。 【典例】1．（2025·成都·一模）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 【详解】解：∵，∴的平方根是； ∵，的立方根为，则的立方根为．故答案为：；． 【典例】2．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2，划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7．因此，．故答案为 ：72． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【详解】解：∵，∴2025的算术平方根是45；故选：C． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）的平方根是 ． 【答案】 【详解】解∶的平方根是，故答案为∶． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有，解得．故选：B． ►题型02 无理数的估算 无理数的估计大多采用两端逼近法。 【典例】1．是从小到大排列的三个实数，若，则的最大整数值为 ． 【答案】9 【详解】，，即， 又，的最大整数值为9，故答案为：9． 【变式】1．估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解：∵一个正方形的面积为7，∴正方形的边长为：， ∵，估计它的边长大小为：，故选：B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知n是无理数，且，写出一个满足条件的n的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵n是无理数，且，∴， ∴满足条件的n的值是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）． 【变式】3．（2025·成都·一模）实数的小数部分是（    ） A．-3 B．3- C．3 D．4- 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴的小数数部分是-3．故选：A． ►题型03 实数的大小比较 实数的大小比较主要方法：1）数轴比较法；2）法则比较法；3）作差比较法；4）平方比较法；5）倒数比较法；6）作商比较法。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴最小的数是，故选：B． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 【答案】A 【详解】解：∵ 沸点值：液态氧 ，液态氢 ，液态氮 ，液态氦 ， 且均为负数，∴ 比较绝对值：，，，， ∵ ，∴ ，∴ 沸点最高的是液态氧，故选：A． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）2，，0，四个数中，最大的是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴最大的数是，故选B． 【变式】2．我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴，即， ∵，即，∴，∴，故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】∵，∴，，∴∴．故答案为：． 命题点四 科学记数法与实数的有关运算 ►题型01 科学记数法 1）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）“神威·太湖之光”是首台运行速度超过每秒亿亿（1亿亿）次的超级计算机，工作可进行（　　）万次运算． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可得：亿亿次， ∴工作进行：次，∴万次，故选：A． 【典例】2．（2025·成都·一模）某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形广场的边长扩大为原来的2倍，∴正方形广场的面积扩大为原来的4倍， ∴扩建后的广场面积为． 【变式】1．2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万．故选：C． 【变式】2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿，故选：C 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射取得圆满成功．26日，载人飞船与空间站组合体成功实现自主快速交会对接后，神舟十八号航天员在当天05时04分，顺利入驻中国空间站；其轨道高度最高约为450千米用科学记数法表示为．下列说法正确的是（   ） A． B． C．是一个5位数 D．是一个6位数 【答案】D 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、是一个6位数，原说法错误，不符合题意； D、是一个6位数，原说法正确，符合题意；故选：D． ►题型02 实数的混合运算 实数混合运算顺序： 1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 2）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律。 【典例】1.（2023·四川成都·中考真题）（1）计算：． 【答案】（1）3； 【详解】解：（1） ； 【变式】1．（2025·成都·一模）计算： 【答案】2 【详解】解： 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）计算： 【答案】0 【详解】解： ． 【变式】3．计算：． 【答案】 【详解】解： ， ， ►题型03 实数运算的实际应用 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 某同学体重千克，身高米，该同学指数在（ ）范围内． A．肥胖 B．过重 C．正常 D．过轻 【答案】A 【详解】解：根据计算公式：体重身高的平方，∴， 参照表二：，∴该同学指数在肥胖范围内，故选：A． 【变式】1．（2025·成都·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【详解】用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当时，用电量在第三档，故（3）正确；故选：D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三，∴ ∵七七数之剩二．∴ ∵最小正整数解记为a．∴，∵，∴，故答案为：． 【变式】3．如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【答案】(1)2月14日可表示为月日；(2)见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴2月14日可表示为月日； （2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数， ∵，∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）． 突破一 非负性的运用 【典例】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵，∴，，解得，， ∴，故答案为：1． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，由非负性可得，，， 只有当且时等式才成立， ∴，，∴，，∴．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）若实数，，满足： ，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，，，且， ，，，，，， ．故答案为：4 突破二 实数运算与数学文化 【典例】（2025·成都·校考一模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【详解】解：个位上的数上有斜线，这个数是负数， 是横式，不能表示百位数，表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为．故选B． 【变式】1．（2025·成都·校考二模）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（白色表示正，灰色表示负），图1表示的计算过程，则图2表示的过程用算式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得图2表示的过程是在计算，故选：A． 【变式】2．（2026·江西·模拟预测）新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为 ． 【答案】50506 【详解】解：由题意可知，算盘的一颗上珠表示5，一颗下珠表示1，空档表示0， 故题图（3）中算盘表示的数为50506．故答案为：50506． 突破三 实数运算与新定义 【典例】（2025·湖南·模拟预测）若，则称b是以10为底a的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：．对数在化学中的一个应用为的计算，，表示氢离子的浓度（单位为：），若某种溶液中氢离子的浓度为，则该溶液的约为 ．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：因为氢离子浓度为，所以， 因为，所以， 因为，所以，故答案为：7.2． 【变式】1．（2025·福建南平·模拟预测）定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：根据题意得，，，．故选：A ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除，∴是9的倍数，即，∴，故选：A． 1．（2025·成都·校考三模）的绝对值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选：A． 2．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：1200亿．故选：C． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是D足球；故选D． 4．（2025·四川成都·二模）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是有理数，不是无理数，故A不符合； 是分数，是有理数，不是无理数，故B不符合； 是无理数，故C符合； 是无限循环小数，是有理数，不是无理数，故D不符合．故选：C ． 5．（2025·绵阳市·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数轴可知，且，，故A错误； ，故B错误； ，即，故C错误； ，故D正确．故选：D． 6．（2025·成都·二模）下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意．故选：C． 7．（2025·成都·模拟预测）现规定对正整数进行一种运算：，则的结果为（   ） A．19 B．40 C．43 D．以上都不正确 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴，∴，故选：A． 8．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（ ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 【答案】B 【详解】解：∵身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常， ∴这类男性的实际体重为公斤至公斤， 按照算法③身高公尺的成年男性理想体重为：（公斤）， ∴，， ∴对比表二归类，该男子可能属于正常或过重，故选：B． 9．（2025·成都·模拟预测）2025的相反数是 ， 的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：2025的相反数是，的倒数是，故答案为：，． 10．（2025·四川成都·校考二模）估算： ．（结果精确到1） 【答案】5 【详解】解：∵， ∴，且，∴；故答案为：5． 11．（2025·成都·一模）计算：= 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（2025·成都·校考二模）计算：． 【答案】 【详解】解： 1．（2025·成都·一模）《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（    ） A．粟 B．粟 C．粟 D．粟 【答案】B 【详解】解：由题意可得：8合为．故选B． 2．（2025·成都·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 【答案】D 【详解】解：负数区间处理： 区间：包含4个点，每个点，和为． 区间到：共201个区间，每个区间5个点，y值从到．和为． 正数区间处理：区间到：共203个区间，每个区间5个点，y值从0到202． 和为． 最后一个点：，直接加203． 总和计算：．故选：D． 3．（2025·成都·校考一模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，，∴，， ∴，故答案为：． 4．（2025·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3， ∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 5．（2025·成都·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【详解】解：由规律可得：， 令，，，∴， ∵x的值为8∴，∴，∴，故答案为：5． 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则 ；若，则 ． 【答案】 8 【详解】解：∵，∴3为弱率，4为强率， ， ∵，∴属于强率； ∵是强率，按照规则要与上一次的弱率3进行计算．∴， ∵，也是强率；∴ ， ，故同样是强率．， ∴，同样是强率．， ，依旧是强率．， ，依旧是强率，， ，为弱率，∵是弱率，按照规则要与上一次的强率计算．∴， ，为弱率， 综上，通过“调日法”依次计算得出，，，，，，，； 故答案为：，8． 7．（2025·四川成都·二模）对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数p为“归一数”。则以内的质数归一数有 ；若，则 . 【答案】 2和3 14或8 【详解】解：以内的质数有：、、、， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 所以，以内的质数归一数有和； 由题设可知必为奇数，则为偶数，则有正整数使 或， 或，符合题意，或；故答案为：和；或． 8．（2025·成都·九年级期中）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析(2)(3)1 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ，……， 以此类推可知，， ∴. 故答案为：. （3）解：∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 综上所述 ∴.故答案为：1. 1．（2025·四川甘孜州·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．  故选：D． 2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且，∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是，故选：A． 4．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作．故选：A． 5．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，∴经历了个半衰期后的质量为．故选：D． 6．（2025·江苏宿迁·中考真题）宿迁市年第一季度总量突破一千亿大关，约为亿元．数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿，故选：． 7．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，∵是无理数，故答案为：C． 8．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为．故答案为： 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 10．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【详解】解： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $