12.4.2线段垂直平分线 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第12章 全等三角形 12.4.2线段垂直平分线 1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算. 2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力. 学习目标 温故知新 C A B P M N 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？ PA与PB完全重合 下面依旧以适配课堂教学的幻灯片形式，系统呈现12.4.2线段垂直平分线的内容，包含定义、性质、判定、作图及应用等核心模块，贴合八年级几何的学习节奏： 1. **第1页：课题导入——生活情境引新知** - 情境提问：村里要建一个文化广场，要求广场到村东头A点和村西头B点的距离相等，这个广场该建在村子的哪些位置呢？大家能初步确定一个大致范围吗？ - 旧知关联：回忆之前学过的“垂直”和“线段中点”的概念，思考同时满足这两个条件的直线和A、B两点的距离有什么关系。 - 课题明确：本节课将学习能解决这类问题的关键知识——线段垂直平分线，探究它的定义、性质和应用。 2. **第2页：核心定义——线段垂直平分线的概念** - 文字定义：**经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线**，简称中垂线。 - 图形与符号表示：如图，若直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，则MN是AB的垂直平分线。符号表示为：∵OA=OB，MN⊥AB，∴MN是AB的垂直平分线。 - 易错提醒：强调线段垂直平分线是**直线**，不是线段或射线，它可以向两端无限延伸。 3. **第3页：性质探究——垂直平分线上点的特征** - 动手操作：画线段AB，作出它的垂直平分线MN，在MN上任意取P、Q、R三个点，分别连接PA、PB，QA、QB，RA、RB，用刻度尺测量这些线段的长度。 - 猜想结论：测量后会发现PA=PB、QA=QB、RA=RB，由此猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 - 严谨证明：已知直线MN是AB的垂直平分线，O为中点，点P在MN上。求证PA=PB。证明：∵MN⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°；又OA=OB，OP=OP，∴△POA≌△POB（SAS），故PA=PB。 4. **第4页：判定定理——反过来也成立吗** - 逆向思考：若平面上有一点P，满足PA=PB，那么点P一定在线段AB的垂直平分线上吗？ - 定理证明：已知PA=PB，求证点P在线段AB的垂直平分线上。作PC⊥AB于点C，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），得AC=BC，故PC垂直平分AB，即点P在AB的垂直平分线上。 - 定理表述：**到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上**。符号表示：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 5. **第5页：尺规作图——作线段的垂直平分线** - 作图步骤：1. 分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB的长度为半径画弧，两条弧会在线段AB的两侧各交于一点C和D；2. 用直尺连接C、D两点，直线CD就是线段AB的垂直平分线。 - 原理说明：作图时半径大于$\frac{1}{2}$AB是为了保证两弧能相交；交点C、D到A、B的距离都等于半径，故C、D均在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，所以CD即为所求。 - 动手练习：让学生自主画一条3cm的线段，按步骤作出它的垂直平分线，验证是否符合定义。 6. **第6页：基础例题——性质的直接应用** - 例题1：在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，已知BC=6，△BCD的周长为15，求AC的长。 - 解答过程：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD（垂直平分线性质）；△BCD的周长=BD+CD+BC=15，代入AD=BD得AD+CD+BC=15，即AC+BC=15；∵BC=6，∴AC=15 - 6=9。 - 思路点拨：利用垂直平分线的性质实现线段的等量代换，将三角形周长转化为已知线段与所求线段的关系。 7. **第7页：进阶例题——综合判定与实际应用** - 例题2：解决导入问题，已知A、B两个村庄，求作一点O，使OA=OB。 - 解答：作线段AB的垂直平分线，这条直线上的任意一点都满足OA=OB，这就是广场的可选位置范围。 - 拓展例题：在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD，求证点D在AC的垂直平分线上。证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C；又AD=BD，∴∠B=∠BAD，故∠BAD=∠C，进而AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上。 8. **第8页：易错点与拓展知识点** - 易错点1：混淆线段垂直平分线的“性质”和“判定”，性质是由“线”推“点到点的距离”，判定是由“点到点的距离”推“点在线上”。 - 易错点2：尺规作图时半径过小导致两弧无交点，需牢记半径要大于线段长度的一半。 - 拓展知识点：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离相等。 9. **第9页：课堂练习与课后作业** - 基础题：已知线段CD的垂直平分线经过点E，CE=5，求DE的长度；用尺规作出△ABC各边的垂直平分线，找到它的外心。 - 提高题：在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于F，交BC于G，若△ABG的周长为12，AB=5，求BC的长。 - 作业：①证明三角形三条边的垂直平分线交于一点；②结合今天的知识，思考如何确定到三个不在同一直线上的村庄距离相等的广场位置。 情景导入 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？ 公 路 A B 探究新知 知识点一 线段垂直平分线的性质 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 探究新知 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明： ∵MN ⊥AB（已知）, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC, ∠ACP=∠BCP, PC=PC, M N P A C B 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ 探究新知 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识归纳 M N P A C B 几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC）， ∴PA=PB. 探究新知 典例精析 【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧， 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线． • • A B C D 两弧相交于点C和D； 探究新知 练一练 1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小. 解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°， ∠EBD=∠A=50°， ∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°. 探究新知 知识点二 线段垂直平分线的判定定理 探索 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一直线是一线段的垂直平分线 该直线上的点到线段两端的距离相等 点到线段两端的距离相等 该点在线段的垂直平分线上 逆命题是否是一个真命题？ 探究新知 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上. 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB． 探究新知 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， 故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）. ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 探究新知 知识要点 线段垂直平分线的判定 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 探究新知 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 做一做 怎样证明这个结论呢? 探究新知 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上 探究新知 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B C A P l n m 探究新知 典例精析 【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB. A B l 提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点. P 探究新知 练一练 1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE. 求证：AB＋CD＝AD ＋BC. D A C B E 证明：∵BDAC ，AE＝EC， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，AB＝BC， ∴AB＋CD＝AD＋BC. 课堂练习 2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 . A B C D 证明：∵BD＋DC＝BC 而 BD＋AD＝BC， ∴ AD＝DC， ∴ 点D在AC的垂直平分线上. 课堂练习 3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上. 证明：∵∠C=90°，∠A =30° ∴∠ABC=60°， ∵BD是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的垂直平分线上. 课堂练习 1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 P A B C D B 由垂直平分线的性质可知， PA=PB=5 课堂练习 2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . 10cm A B C D E ∵DE是AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长为18 ∴AC+BC=18 ∴AC=10 课堂练习 1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处 各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到 三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( ) A. 三边的垂直平分线的交点上 B. 三条角平分线的交点上 C. 三条高所在直线的交点上 D. 三条中线的交点上 √ 返回 考试考法 23 （第2题） 2. 如图，中边 的垂直平分线分别 交,于,,连结,, 的周长为,则 的周长是( ) A. B. C. D. √ 返回 考试考法 24 （第3题） 3. ［2025淮安期中］如图，在锐角 中， ，和 分别垂直平分边 ，，则 的度数为( ) A. B. C. D. √ 考试考法 25 4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，， 是上的一点，是上一点，且，若 ， 则 的长是___. 2 （第4题） 返回 考试考法 26 （第5题） 5. 风筝又称“纸鸢”，距今已 有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的 简化图，已知， ， ， ，则制作这个风筝 需要的布料至少为_______ . 2 700 返回 考试考法 27 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 谢谢观看！ $