12.2.3三角形全等的判定 角边角 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第12章 全等三角形 12.2.3三角形全等的判定-角边角 1、通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（A.S.A.，A.A.S.）； 2、会用A.S.A.，A.A.S.判定两个三角形全等； 3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等的问题； 下面以幻灯片分页形式呈现12.2.3三角形全等的判定 - 角边角的内容，既包含定理探究，也有例题和练习，助力系统掌握该知识点，具体如下： 1. **第1页：课题导入——衔接旧知提疑问** - 旧知回顾：回顾SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）两种三角形全等判定方法，强化学生对全等判定逻辑的记忆。 - 问题引导：已知两个三角形的两个角和一条边对应相等，能判定它们全等吗？“两角一边”又分为“两角及其夹边”和“两角及一角的对边”两种情况，本节课先聚焦第一种情况展开探究。 - 课题明确：本节课核心——探索三角形全等的“角边角”判定方法。 2. **第2页：动手探究——验证角边角的有效性** - 操作任务：让学生画△ABC，要求∠A=60°，AB=4cm，∠B=45°，步骤为：先画AB=4cm；以A为顶点、AB为边画∠MAB=60°；以B为顶点、BA为边画∠NBA=45°，射线AM与BN交于点C。 - 对比操作：剪下所画三角形，与同桌的三角形重叠，观察是否完全重合。 - 初步结论：所有按该条件画出的三角形都能完全重合，说明两角及其夹边确定时，三角形的形状和大小唯一确定。 3. **第3页：核心定理——角边角（ASA）的定义与表示** - 定理内容：**两角及其夹边分别相等的两个三角形全等**，简写成“角边角”或“ASA”。 - 符号规范：如图，在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}∠A = ∠D\\AB = DE\\∠B = ∠E\end{array}\right.$，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 - 关键提醒：对应顶点字母需对应书写，“夹边”是指两个角公共的那条边，不可混淆边的位置。 4. **第4页：基础例题——直接应用ASA判定** - 例题1：如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，求证△ABC≌△DCB。 - 证明过程：在△ABC和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}∠ABC = ∠DCB（已知）\\BC = CB（公共边）\\∠ACB = ∠DBC（已知）\end{array}\right.$，∴△ABC≌△DCB（ASA）。 - 思路点拨：本题中BC是两个角的公共夹边，是证明全等的关键隐含条件，需注意准确标注。 5. **第5页：进阶例题——转化条件用ASA判定** - 例题2：如图，点B、F、C、E在同一直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，求证△ABC≌△DEF。 - 证明过程：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF；在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}∠B = ∠E（已知）\\BC = EF（已证）\\∠ACB = ∠DFE（已知）\end{array}\right.$，∴△ABC≌△DEF（ASA）。 - 思路总结：当夹边不直接相等时，可通过线段和差等等式性质转化条件，进而满足ASA判定要求。 6. **第6页：拓展关联——ASA与AAS的联系** - 问题推导：若已知两个三角形两角对应相等，根据三角形内角和为180°，可推出第三个角也对应相等。此时“两角及其中一角的对边对应相等”，可转化为“角边角”的形式。 - 补充结论：由此衍生出“AAS”判定方法，即两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 - 区别对比：ASA中的“边”是两角的夹边，书写时夹边相等写在两角相等中间；AAS中的“边”是一角的对边，书写时两角相等写在一起，边相等放最后。 7. **第7页：易错点辨析——规避常见错误** - 易错点1：混淆“夹边”与非夹边，如将两角和其中一角的对边当成ASA条件判定，导致逻辑错误。 - 易错点2：对应顶点书写混乱，如将△ABC和△DEF的对应角、对应边错位匹配，影响证明规范性。 - 易错点3：忽略隐含条件，如公共角、对顶角等可作为相等角的条件，证明时未提及导致条件缺失。 8. **第8页：课堂练习——分层巩固** - 基础题：已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证△ABC≌△ABD（提示：公共边AB为夹边，用ASA证明）。 - 提高题：如图，AB∥CD，AF=CE，∠B=∠D，求证△ABF≌△CDE（提示：先由平行得内错角相等，再用ASA判定）。 9. **第9页：课堂小结与课后作业** - 小结：掌握ASA判定定理的内容和符号表示；学会转化条件满足ASA要求；明确ASA与AAS的区别与联系。 - 作业：①如图，AD⊥BC，BE⊥AC，∠CAD=∠CBE，AC=BC，求证△ADC≌△BEC；②预习AAS判定方法的具体应用场景。 学习目标 温故知新 上节课，我们得到了全等三角形的一种判定方法，还记得吗？ S.A.S. 现在我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？ (角边角) (角角边) 可以分成两种情况：（1）两个角及这两角的夹边； （2）两个角及其中一角的对边. 情景导入 问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？ 探究新知 知识点一 角边角判定三角形全等 操作1：如图，用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？ 探究新知 相当于已知一角画三角形，我们可以画出无数个不同形状、大小的三角形. 探究新知 三角形能唯一确定. 探究新知 4 60° 45° F E D 4 45° 60° A B C 4 60° R Q P 操作2：如图，△ABC与△QPR、 △DEF能完全重合吗？动手试一试. （实验手册附录D） 45° 探究新知 操作3：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a, ∠A＝∠α, ∠B＝∠β， 1你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？你有什么发现？ 作法： 1．作AB＝a． 2．在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ，∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C． 3．分别连接AB、AC． △ABC就是所求作的三角形． α a 小组交流验证. β 探究新知 知识要点 “角边角”判定方法 文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“A.S.A.”）. 几何语言： ∠A=∠A′ （已知）， AB=A′ B′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知）， 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. A B C A ′ B ′ C ′ 探究新知 典例精析 例1、如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB = ∠DBC． 求证: △ABC ≌△DCB，AB = DC. 解：在△ABC 和△DCB 中， ∵∠ABC =∠DCB （已知）， BC = CB（公共边）， ∠ACB = ∠DBC（已知）， ∴△ABC≌△DCB（ A.S.A. ）. ∴AB = DC（全等三角形的对应边相等）. 探究新知 例2 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB． 求证：BE＝DF，DE＝CF． E A B C D F 证明：∵DE∥AC，DF∥AB（已知）， ∴∠EDC＝∠C，∠B＝∠FDC （两直线平行，同位角相等）. ∵D是线段BC的中点（已知）， ∴BD=DC（线段中点定义）. 在△EBD和△FDC中， ∴△EBD≌△FDC(ASA)， ∴BE＝DF，DE=CF（全等三角形对应边相等）. 探究新知 练一练 1.如图，∠C＝∠E，∠1＝∠2，BA＝DA，你能证明BC＝DE吗? A E D C B 1 2 证明:∵ ∠1＝∠2 （已知）， ∴ ∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC （等式性质）， ∴ ∠BAC＝∠DAE. 在△BAC和△DAE中， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴AC＝DE（全等三角形的对应边相等）． 探究新知 2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C (1)求证：△ABE≌△ACD A B C D E O 解：(1)证明 ：在△ADC和△AEB中 ∴△ACD≌△ABE（ASA） (2) ∵△ACD≌△ABE（已证） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴AB-AD=AC-AE（等式性质） ∴BD=CE (2) BD和CE相等吗? 探究新知 知识点二 角角边判定三角形全等 (角角边) 如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？ 思 考 分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等. 探究新知 已知：如图，∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,AC＝A′C′. 求证：　△ABC≌△A′B′C′. 证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°(三角形内角和等于180°)， ∴∠C＝∠C′（等量代换）． 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A＝∠A′， AC＝A′C′， ∠C＝∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.） 探究新知 知识要点 “角角边”判定方法 文字语言：有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“A.A.S.”）. 几何语言： ∠A=∠A′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知）， AC=A′ C′ （已知）， 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （A.A.S.）. A B C A ′ B ′ C ′ 探究新知 典例精析 例3 如图，点D在AB上，点E在AC上，AD=AE, ∠B=∠C, 求证：AB=AC. A B C D E 分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AB=AC. 证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A（公共角 ）， ∠C=∠B （已知 ）， AD=AE（已知）， ∴ △ACD≌△ABE（A.A.S.）， ∴AB=AC. 方法归纳：通常利用全等三角形的对应边相等来证明两条线段相等，这是一个重要的方法.类似的方法可以证明两个角相等. 探究新知 例4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD. A C D B 1 2 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠ B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2 （已知）， ∠ B=∠D（已证）， AC=AC （公共边）， ∴ △ABC≌△ADC（A.A.S.). ∴AB=AD. 探究新知 练一练 1、如图，在△ABC中，D 是边 BC 的中点，过点C 画直线 CE，使 CE// AB，交 AD 的延长线于点 E．求证: AD = ED. 证明: CE // AB (已知)， ∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (两直线平行，内错角相等). 在△ABD 与 △ECD 中， ∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (已证)， BD = CD (已知)， ∴△ABD≌△ECD ( A.A.S. ) ， ∴AD = ED (全等三角形的对应边相等). 探究新知 D A C B 证明：（已知） ∴________________（两直线平行，内错角相等） 又（已知） ∴_________________（等式的性质） 在和中 （________） （全等三角形的对应边相等）． ∠ADB=∠CBD ∠ABD=∠CDB ∠ADB=∠CBD BD=DB ∠ABD=∠CDB ASA 1.如图，已知．请将下列说明的理由补充完整． 课堂练习 1. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在 要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( ) A. 带①④去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 √ 返回 考试考法 22 （第2题） 2. ［2025武汉江夏区期中］如图，在 和中，点，， 在同 一直线上，已知 ， ，添加以下条件后，仍不能 判定 的是( ) A. B. C. D. √ 返回 考试考法 23 （第3题） 3. 如图，在中， ， ，于点，于点 ， ，，则 的长是( ) A. B. C. D. √ 考试考法 24 （第3题） 【点拨】 ， ， ， ， ， ， . 在和 中， 考试考法 25 ， ， ， . （第3题） 返回 考试考法 4.如图，已知，由尺规作图痕迹可知 ， 全等的理由为_____. （第4题） 返回 考试考法 27 5.如图，点，，，在同一条直线上， ， ，.若 ， ，则 的度数为_____ . 110 （第5题） 考试考法 28 （第5题） 【点拨】， .在 和 中， ， ， . 返回 考试考法 29 角边角 判定定理 角边角 应用角边角、角角边判定三角形全等 应用 角角边 应用角边角、角角边解决问题 课堂小结 谢谢观看！ $