第6章 统计学初步（单元测试·提升卷）数学湘教版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第6章 统计学初步·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（    ） A．[5，9] B．{5，9} C．{5，6，7，8，9} D．{4，9} 2．（2025·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 3．（25-26高三上·浙江·月考）已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 4．（25-26高二上·浙江衢州·期中）一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（    ） A．2 B．4 C．8 D．无法确定 5．（25-26高二上·四川·期中）某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则下列错误的是（    ）    A．a = 0.0175 B．跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为150 C．中位数是210 D．平均数是218 6．（25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？（　　） I．该组数据的平均数是一个整数．II．该组数据的中位数不小于3．III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）给定一组数据：，，，…，．下列说法正确的是（    ）． A．这组数据的极差为 B．这组数据的中位数小于 C．这组数据的平均数 D．这组数据的方差为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·四川成都·期中）下列结论中正确的是（ ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数和方差都变小 C．一个样本的方差，则这组数据的总和等于100 D．数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 10．（2025·辽宁丹东·模拟预测）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，为非零常数，记，，…，的平均数，极差，方差，标准差分别为，，，，则下列说法正确的是（   ） A．的平均数为 B．的极差为 C．的方差为 D．的标准差为 11．（25-26高二上·湖北荆州·月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为1，方差大于0； 丙地：平均数为2，方差为3；丁地：平均数为2，众数为2 则一定符合该标准的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二下·江苏镇江·期中）某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为 . 13．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 14．（24-25高一下·湖南·期末）统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据的平均值为，另一组数据的平均值为，则协方差.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 135 124 118 107 95 87 74 63 53 44 物理成绩 97 78 82 83 77 65 67 52 44 45 已知，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍． (1)求该分布的下四分位数和分布域． (2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示： 种类 每本书的售价 书的数目 旅游书 92$ 102 小说 h$ 54 漫画 k$ 54 已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案． 16．（15分）（2025·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： (1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； (2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） (3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 17．（15分）（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由．（参考数据：） 18．（17分）（24-25高二下·浙江温州·月考）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：），数据范围在之间（模拟数据排序如下）． ， ． (1)计算这组数据的极差，众数；(2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b，通过计算发现，平均值210和上四分位数都不变，求的值； (3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为类企业有80家，其算力均值为类企业有40家，其算力均值为150．根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由． 19．（17分）（24-25高三下·云南·月考）已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为. (1)试证明：； (2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第6章 统计学初步·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B B C A D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】8.3 13．【答案】63 14．【答案】474 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)下四分位数为，分布域为；(2)不同意，理由见解析. 【详解】（1）由图知，下四分位数为，上四分位数为，则四分位数的间距为， 而分布域端点值分别为，则分布域为， 由该分布的分布域是四分位数间距的4倍，则，可得， 所以下四分位数为，分布域为；（6分） （2）由已知原本书总价为，新增本后共本， 由平均售价至少，故总售价至少， 新增书的总价至少为， 新增书的总价， 所以，且，则，所以， 由个数的中位数是第的位置，而原本书的中位数是第的位置，售价为， 由上分析，新增的本书售价均大于等于， 所以新增的本书都在原来第的位置之后，且新增之后第的位置是在原来第的位置之后加个数的位置， 所以第的位置上的书售价必大于等于，因此，不同意该经理的结论.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)(2)(3)满足，说明见解析 【详解】（1）由频率分布直方图可知，身高在的频率为， ，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为人.（4分） （2）这66名高一年级学生身高平均数为， 因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，所以估计校高一年级全体学生身高的平均数为.（10分） （3）由（2）知，所以约为， 数据落在内的频率为， 因为，所以数据落在内的频率不小于， 所以这66个身高数据满足“常态”.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6(2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【详解】（1）平均数, 方差（6分） （2）（ⅰ）由可得，故是无效数据，（9分） （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时，故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个（15分） 18．（17分） 【答案】(1)极差为，众数为220；(2)68；(3)答案见解析，理由见解析. 【详解】（1）观察已知数据，得极差为，众数为220.（4分） （2）增加前，由，得上四分位数为244，增加后，，， 而，记第24，25个数为，则， 当时，，则， 当时，，则，因此，所以.（10分） （3）由（2）知，样本数据的平均数为， 按分层抽样算力的平均值为， 认为符合分层抽样调查，因为分层抽样均值210，等于实验平均值210. 认为不符合分层抽样调查，因为实验具有随机性，不能说明.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2)46.4 【详解】（1）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，. 记总样本的平均数为，样本方差为， ， 由，得，（4分） 所以 .（8分） （2）设在男生、女生中分别抽取m名和n名， 则，解得，，记抽取的总样本的平均数为，（10分） 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得：，所以，抽取的总样本的平均数为166cm；（12分） 男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为， 样本方差为，记总样本的样本方差为，则， 所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为46.4.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第6章 统计学初步·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（    ） A．[5，9] B．{5，9} C．{5，6，7，8，9} D．{4，9} 2．（2025·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 3．（25-26高三上·浙江·月考）已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 4．（25-26高二上·浙江衢州·期中）一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（    ） A．2 B．4 C．8 D．无法确定 5．（25-26高二上·四川·期中）某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则下列错误的是（    ）    A．a = 0.0175 B．跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为150 C．中位数是210 D．平均数是218 6．（25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？（　　） I．该组数据的平均数是一个整数．II．该组数据的中位数不小于3．III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）给定一组数据：，，，…，．下列说法正确的是（    ）． A．这组数据的极差为 B．这组数据的中位数小于 C．这组数据的平均数 D．这组数据的方差为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·四川成都·期中）下列结论中正确的是（ ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数和方差都变小 C．一个样本的方差，则这组数据的总和等于100 D．数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 10．（2025·辽宁丹东·模拟预测）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，为非零常数，记，，…，的平均数，极差，方差，标准差分别为，，，，则下列说法正确的是（   ） A．的平均数为 B．的极差为 C．的方差为 D．的标准差为 11．（25-26高二上·湖北荆州·月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为1，方差大于0； 丙地：平均数为2，方差为3；丁地：平均数为2，众数为2 则一定符合该标准的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二下·江苏镇江·期中）某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为 . 13．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 14．（24-25高一下·湖南·期末）统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据的平均值为，另一组数据的平均值为，则协方差.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 135 124 118 107 95 87 74 63 53 44 物理成绩 97 78 82 83 77 65 67 52 44 45 已知，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍． (1)求该分布的下四分位数和分布域． (2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示： 种类 每本书的售价 书的数目 旅游书 92$ 102 小说 h$ 54 漫画 k$ 54 已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案． 16．（15分）（2025·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： (1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； (2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） (3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 17．（15分）（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由．（参考数据：） 18．（17分）（24-25高二下·浙江温州·月考）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：），数据范围在之间（模拟数据排序如下）． ， ． (1)计算这组数据的极差，众数；(2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b，通过计算发现，平均值210和上四分位数都不变，求的值； (3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为类企业有80家，其算力均值为类企业有40家，其算力均值为150．根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由． 19．（17分）（24-25高三下·云南·月考）已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为. (1)试证明：； (2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第6章 统计学初步·提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（    ） A．[5，9] B．{5，9} C．{5，6，7，8，9} D．{4，9} 【答案】A 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为4，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得,不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得，不符合题意； 综上所述，的取值范围是．故选：A. 2．（2025·湖北孝感·三模）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（    ） A．2023年第四季度的销售额为280万元 B．2023年上半年的总销售额为500万元 C．2023年2月份的销售额为60万元 D．2023年12个月的月销售额的众数为50万元 【答案】A 【详解】由第二季度的销售额为260万元，第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26%，得全年总销售额为1000万元，对于A，2023年第四季度的销售额为(万元)，A正确； 对于B，2023年上半年的总销售额为(万元)，B错误； 对于C，2023年2月份的销售额为(万元)，C错误； 对于D，2023年12个月的月销售额(单位：万元)分别是50，50，60，60，90，110，80，100， 120，120，100，60，众数是60，D错误.故选：A 3．（25-26高三上·浙江·月考）已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】由题，得，因为， 所以或或，所以当该组数据为：，中位数为2， 当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2，故选：B. 4．（25-26高二上·浙江衢州·期中）一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（    ） A．2 B．4 C．8 D．无法确定 【答案】B 【详解】数据共有8个，则，所以第75百分位数为第6位和第7位的平均值， 不带x将数据从小到大排序为，第6位为6， 若，则第7位为6，因为第6位和第7位的平均值为6， 所以只能x为第6位，且为6， 若，则第6位为6，第7位为x，因为第6位和第7位的平均值为6， 则不符合题意，综上，，则， 所以方差.故选：B 5．（25-26高二上·四川·期中）某校为了解高二学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则下列错误的是（    ）    A．a = 0.0175 B．跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为150 C．中位数是210 D．平均数是218 【答案】C 【详解】对于选项，根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积之和为，即，解得，故正确. 对于选项，跳远距离在区间[ 200，260 ]的频率为， 又抽调了200名学生进行立定跳远测试，跳远距离在区间[ 200，260 ]的人数为，故正确. 对于选项，第一组的频率为；第二组的频率为；第三组的频率为；第四组的频率为；第五组的频率为， ，中位数在区间内， 设中位数为，则，解得，故错误. 对于选项，同一组的数据用该组区间的中点值代表，,故正确.故选：C. 6．（25-26高三上·广东佛山·月考）考虑一组数据，其中是一个正整数．下列哪项（些）描述必为正确？（　　） I．该组数据的平均数是一个整数．II．该组数据的中位数不小于3．III．该组数据的众数与上四分位数相等． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【详解】对于，取，则平均数为，不是整数，故错误， 对于，将数据从小到大排列，分情况讨论如下， 当时，数据为，中位数是3， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 当时，数据为，中位数是， 可得该组数据的中位数不小于3，故正确， 对于，取，数据为，因为，则上四分位数是4， 而众数是2，且，故错误，可得A正确.故选：A 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 【答案】D 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足，此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由，故D正确.故选：D. 8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）给定一组数据：，，，…，．下列说法正确的是（    ）． A．这组数据的极差为 B．这组数据的中位数小于 C．这组数据的平均数 D．这组数据的方差为 【答案】D 【详解】对于A，因这组数据间的大小关系不清楚，故无法确定极差，故A错误； 对于B，若这组数据，，，…，是从大到小排列，则这组数据的中位数必不小于故B错误； 对于C，若这组数据为，则这组数据的平均数为， 而，此时有，故C错误； 对于D，这组数据的方差为 ，故D正确.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·四川成都·期中）下列结论中正确的是（ ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数和方差都变小 C．一个样本的方差，则这组数据的总和等于100 D．数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 【答案】AC 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，若与中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边，所以数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以A正确； 对于B，若一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，根据平均数和方程的性质， 则这组数据的平均数也减去a，方差不改变，所以B错误； 对于C，因为样本的方差， 可得这个样本有20个数据，平均数是5，所以这组样本数据的总和为，所以C正确； 对于D，数据，，，…，的方差为，由方程的性质，可得数据，，，…，的方差为，所以D不正确．故选：AC. 10．（2025·辽宁丹东·模拟预测）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，为非零常数，记，，…，的平均数，极差，方差，标准差分别为，，，，则下列说法正确的是（   ） A．的平均数为 B．的极差为 C．的方差为 D．的标准差为 【答案】AC 【详解】选项 A：新数据的平均数 ，因此，A 正确； 选项 B：当 时，，与极差非负矛盾，因此，B 错误； 选项 C：新数据的方差，因此，C 正确； 选项 D：当 时，，与标准差非负矛盾，因此，D 错误.故选：AC 11．（25-26高二上·湖北荆州·月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为1，方差大于0； 丙地：平均数为2，方差为3；丁地：平均数为2，众数为2 则一定符合该标准的是（    ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】AC 【详解】由题意知，该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天， 且每天新增疑似病例不超过7人， 对于A，若数据中位数为2，极差为5，即新增病例最多的人数与最少的人数的差为5， 由于中位数为2， 所以每天新增疑似病例没有超过7人的可能，所以A符合标准； 对于B，例如：若10天的数据为，此时满足平均数为1，方差大于0， 其中有一天的新增病例超过7人， 所以平均数为1，方差大于0，无法确定新增病例是否不超过7人，所以B不符合标准； 对于C，假设某一天新增病例超过7人，由方差的公式，可得方差， 因为方差为3，故假设不成立，所以连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，所以C符合标准； 对于D，例如：若10天的数据为，可得平均数为2，众数为2， 其中有一天新增病例超过7人， 所以由平均数为2，众数为2，不能判断新增疑似病例不超过7人，所以D不符合标准.故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二下·江苏镇江·期中）某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为 . 【答案】8.3 【详解】依题意，，， 所以此选手最终得分为.故答案为：8.3 13．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 【答案】63 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： .故答案为：63. 14．（24-25高一下·湖南·期末）统计学中，协方差用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据的平均值为，另一组数据的平均值为，则协方差.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x、物理成绩y如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 135 124 118 107 95 87 74 63 53 44 物理成绩 97 78 82 83 77 65 67 52 44 45 已知，则 . 【答案】474 【详解】由已知得， ， 则 . 故答案为：474. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高三上·广东佛山·月考）某书店内有2017本书．下面的框线图显示店内书的售价的分布．已知这些书的总售价是，而该分布的分布域是四分位数间距的4倍． (1)求该分布的下四分位数和分布域． (2)现书店的经理增加210本新书，如下表所示： 种类 每本书的售价 书的数目 旅游书 92$ 102 小说 h$ 54 漫画 k$ 54 已知增加210本新书后店内所有书的平均售价至少是，且．该经理宣称增加210本新书后，书的售价的中位数小于105$．你是否同意？试解释你的答案． 【答案】(1)下四分位数为，分布域为；(2)不同意，理由见解析. 【详解】（1）由图知，下四分位数为，上四分位数为，则四分位数的间距为， 而分布域端点值分别为，则分布域为， 由该分布的分布域是四分位数间距的4倍，则，可得， 所以下四分位数为，分布域为；（6分） （2）由已知原本书总价为，新增本后共本， 由平均售价至少，故总售价至少， 新增书的总价至少为， 新增书的总价， 所以，且，则，所以， 由个数的中位数是第的位置，而原本书的中位数是第的位置，售价为， 由上分析，新增的本书售价均大于等于， 所以新增的本书都在原来第的位置之后，且新增之后第的位置是在原来第的位置之后加个数的位置， 所以第的位置上的书售价必大于等于，因此，不同意该经理的结论.（13分） 16．（15分）（2025·上海嘉定·一模）A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下： (1)求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数； (2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm） (3)若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由. 【答案】(1)(2)(3)满足，说明见解析 【详解】（1）由频率分布直方图可知，身高在的频率为， ，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为人.（4分） （2）这66名高一年级学生身高平均数为， 因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的， 所以估计校高一年级全体学生身高的平均数为.（10分） （3）由（2）知，所以约为， 数据落在内的频率为， 因为，所以数据落在内的频率不小于， 所以这66个身高数据满足“常态”.（15分） 17．（15分）（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6(2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【详解】（1）平均数, 方差（6分） （2）（ⅰ）由可得，故是无效数据，（9分） （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时，故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个（15分） 18．（17分）（24-25高二下·浙江温州·月考）人工智能算力是驱动时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据（单位：），数据范围在之间（模拟数据排序如下）． ， ． (1)计算这组数据的极差，众数； (2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b，通过计算发现，平均值210和上四分位数都不变，求的值； (3)经过调研发现，该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为类企业有80家，其算力均值为类企业有40家，其算力均值为150．根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室调查分析是否符合分层随机抽样调查，并说明理由． 【答案】(1)极差为，众数为220；(2)68；(3)答案见解析，理由见解析. 【详解】（1）观察已知数据，得极差为，众数为220.（4分） （2）增加前，由，得上四分位数为244，增加后，，， 而，记第24，25个数为，则， 当时，，则， 当时，，则，因此，所以.（10分） （3）由（2）知，样本数据的平均数为， 按分层抽样算力的平均值为， 认为符合分层抽样调查，因为分层抽样均值210，等于实验平均值210. 认为不符合分层抽样调查，因为实验具有随机性，不能说明.（17分） 19．（17分）（24-25高三下·云南·月考）已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为. (1)试证明：； (2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)46.4 【详解】（1）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，. 记总样本的平均数为，样本方差为， ， 由，得，（4分） 所以 .（8分） （2）设在男生、女生中分别抽取m名和n名， 则，解得，，记抽取的总样本的平均数为，（10分） 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得：，所以，抽取的总样本的平均数为166cm；（6分） 男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为， 样本方差为，记总样本的样本方差为，则， 所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为46.4.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $