第6章 统计学初步（复习讲义）数学湘教版必修第一册

该高中数学统计学初步复习讲义以知识框架图统领，通过对比表格细化抽样方法差异，用步骤化流程图呈现频率分布直方图制作过程，系统梳理总体样本、抽样方法、数据特征等核心概念，清晰展现各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型分层进阶设计，如通过“分层抽样中总方差计算”例题培养逻辑推理素养，结合经济指标分析案例强化数据表达能力。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

第6章 统计学初步（复习讲义） 1、‌理解基本概念‌：掌握总体、个体、样本、样本容量等统计基本概念，区分普查与抽样调查的适用场景‌。 2、‌掌握抽样方法‌：理解并应用简单随机抽样、分层抽样等抽样方法，认识统计结论的随机性与客观性，理解抽样代表性的重要性，掌握用样本估计总体的核心思想‌ 3、‌数据整理与表示‌：学会制作和解读频数分布表、频率分布直方图、折线图等统计图表，并利用频率分布直方图计算样本众数、中位数、平均数等数字特征‌。 4、‌用样本估计总体‌：能计算样本均值、方差、百分位数等数字特征，并据此估计总体的相应特征‌。 5、‌综合应用能力‌：能将所学统计方法综合运用于实际问题中，进行数据分析和合理推断，结合案例（如经济指标分析）运用统计方法解决实际问题‌。 1、总体与个体 我们把调查对象的全体叫做总体，把总体中的成员叫作个体。 2、样本 从总体中抽取出的一部分个体就称为总体的一个样本，样本也叫作观测数据，构成样本的个体数目叫作样本容量，简称为样本量。 从总体中抽取样本的工作称为抽样。抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。 3、简单随机样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。我们把简单随机抽样获得的样本成为简单随机样本。 4、简单随机抽样的特点 ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。 ②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作。 ③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。 ④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。 5、常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法 1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 2）随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 3）利用随机数法抽取个体时的注意事项 ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点。 ②定方向：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）。 ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数。 6、分层抽样 当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。 7、分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)。 第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量/总体中的个体数。 第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比。 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本。 第五步，综合每层抽样，组成样本。 8、简单随机抽样与分层抽样的区别与联系 抽样类别 各自特点 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层抽样 将总体分层，按各层的个体数比抽取，在各层抽样时，采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 9、频率分布直方图 1）频数分布表的制作步骤 （1）计算极差；（2）确定组距和组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表 2）频率分布直方图 如果我们在直角坐标系中用横轴表示要统计的量，纵轴表示频率/组距。将各分组的端点画在横轴上用gi=fi/组距作为小矩形的高就得到由相连小矩形构成的图形这样的图形称为频率分布直方图。 每个小矩形的面积=频率。频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1。 3）频率分布折线图 如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点用线段顺次连接各点就得到频率分布折线图。 10、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据。 11、用样本估计总体的集中趋势 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。 （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数；若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为。 （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感。 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大。 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响。 对极端值不敏感。 众数 体现了样本数据的最大集中点。 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感。 （5）平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 12、总体离散程度的估计（方差、标准差）：用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为=。 （4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围。 （5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 ②设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. 13、百分位数 1．第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 上四分位数：25%分位数，下四分位数：75%分位数，中位数：50%。 题型一 抽样方法的选取 【例1】（24-25高一下·山东枣庄·期末）某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【变式1-1】（2025高一·湖南·专题练习）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【变式1-2】（24-25高一下·海南海口·期末）某中学有300名教师，其中初级教师60名，随机编号为1~60，中级教师150名，随机编号为61~210，高级教师90名，随机编号为211~300．从全校教师中抽取10人参加一个教学座谈会，对于下列两组样本：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，215，254，297，下列说法正确的是（   ） A．①②都可能是按比例分层随机抽样 B．①②都不是按比例分层随机抽样 C．仅①可能是按比例分层随机抽样 D．仅②可能是按比例分层随机抽样 【变式1-3】（24-25高二下·湖南长沙·期末）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是（    ）（多选题） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 题型二 抽签法、随机数法及其应用 【例1】（24-25高一下·湖南·月考）劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【变式1-1】（2025高三·湖南·专题练习）用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条制作)上；②将总体中的个体编号；③从容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀.这些步骤的先后顺序应为 .(填序号) 【变式1-2】（2025高三·湖南·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【变式1-3】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 题型三 分层抽样的计算 【例1】（25-26高二上·河北保定·期中）用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ） A．1440 B．1600 C．1800 D．2400 【变式1-1】（25-26高二上·广东江门·月考）某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 【变式1-2】（25-26高二上·四川泸州·期中）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取乙品种牛的头数为 ； 【变式1-3】（25-26高三上·上海·期中）某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 【变式1-4】（25-26高二上·四川成都·期中）某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量 . 题型四 频率分布直方图的基本计算 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【变式1-2】（24-25高二下·四川广安·月考）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则用电量低于150度的户数为（    ） A．30 B．18 C．36 D．24 【变式1-3】（25-26高二上·贵州六盘水·期中）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）（多选题）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级学生做作业的时间的40%分位数在2.5小时至3小时之间 题型五 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 【例1】（23-24高二上·四川绵阳·月考）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A．产品长度的众数是75 B． C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为73.2 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B．这100位教职工中年龄在的人数为55 C．这100位教职工年龄的众数估计值为45 D．这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 【变式1-2】（2025·辽宁·模拟预测）某寄宿制学校为调查该校学生一天内在食堂的消费情况，随机抽取了名学生的消费金额作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B．这名学生消费金额的众数为 C．这名学生消费金额的平均数为 D．为了解学生消费金额较低的原因，从消费金额低于元的学生中用分层随机抽样的方法随机抽取人座谈，则应抽取消费金额在区间内的学生人 【变式1-3】（2025·广西河池·三模）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ）（多选题） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 题型六 根据统计图解决实际问题 【例1】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ）（多选题） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 【变式1-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【变式1-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【变式1-3】（25-26高二上·四川南充·月考）为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（    ）（多选题） A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人 C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人 D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 【变式1-4】（2025·成都·二模）居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比，环比），下列结论正确的是（    ） A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格 题型七 众数、中位数、平均数的求解及应用 【例1】（25-26高二上·四川南充·月考）已知1，3，4，5，7，7，9，13的众数为a，中位数为b，则 . 【变式1-1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为 ． 【变式1-2】（2025高三·湖南·专题练习）2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 【变式1-3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【变式1-4】（25-26高二上·湖南永州·期中）高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A．多4.8厘米 B．多5.6厘米 C．多7.2厘米 D．多8.4厘米 题型八 统计图中集中趋势参数的计算 【例1】（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 【变式1-1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·河南·期中）已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A． B． C．2 D．1 题型九 方差、标准差的求解及应用 【例1】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（25-26高三上·江苏南通·期中）某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（    ）（多选题） A．原始数据的分位数为8.6 B．原始数据的均分等于有效数据的均分 C．若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D．原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 【变式1-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则 . 【变式1-3】（2025·浙江杭州·一模）设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26高二上·广东江门·月考）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则 ． 题型十 百分位数的求解 【例1】（25-26高二上·四川成都·期中）已知8个数据：1，2，2，3，4，4，4，4，则（    ）（多选题） A．该组数据的极差为3 B．该组数据的众数为4 C．该组数据的中位数为3 D．该组数据的第75百分位数（也称为第三四分位数或上四分位数）为4 【变式1-1】（25-26高三上·湖南·月考）10根圆钢的直径数据如下：20.10，20.10，20.09，20.08，20.10，20.11，20.12，20.08，20.09，20.09（单位：cm），则这批圆钢直径的（   ）（多选题） A．极差为0.04cm B．众数为20.09cm C．平均数为20.096cm D．分位数为20.10cm 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（   ）（多选题） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A．甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B．甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C．街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 【变式1-3】（25-26高三上·山西·期中）已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第75百分位数是 ． 题型十一 统计量的拓展运算 【例1】（25-26高二上·湖南·开学考试）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·广东·月考）已知样本数据，，则（    ）（多选题） A．若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ）（多选题） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·广东深圳·期末）有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（   ）（多选题） A． B． C． D． 题型十二 分层抽样中的平均数与方差运算 【例1】（25-26高二上·贵州·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【变式1-1】（25-26高三上·江西·开学考试）已知数据的平均数为，数据的平均数为，若数据与数据混合后的平均数为，则数据与数据混合后的平均数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 【变式1-3】（25-26高二上·广东中山·月考）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为 ；身高方差为 . 【变式1-4】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 题型十三 统计量的综合运用 【例1】（25-26高二上·青海海南·期中）甲、乙、丙、丁这四位同学每人各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，则根据四位同学的掷出点数统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（   ）（多选题） A．平均数为3，中位数为3 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，极差为4 【变式1-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；    乙地：5个数据的平均数为11，众数为12； 丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；    丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1. 则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·期中）立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A．该组数据的最小值可能为 B．该组数据的平均数不超过 C．该数据的第百分位数为 D．该组数据的方差超过 【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（   ）（多选题） A．仅出现一个分数是5 B．极差为4 C．众数为7 D．方差不超过3 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海静安·期末）自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（  ）    A．28，03，36，24，40 B．03，36，24，40，04 C．28，03，65，67，52 D．28， 03，40，01，11 2．（25-26高二上·四川成都·月考）某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 3．（24-25高三下·辽宁·期中）某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）样本数据，，，，的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·广东东莞·月考）某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（    ）    A．样本中对平台一满意的消费者人数约700 B．样本中对平台二满意的消费者人数为20 C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（   ） A．的值为 B．估计这组数据的众数为 C．估计这组数据的平均数为 D．估计成绩低于分的有人 7．（25-26高三上·重庆南岸·期中）立德中学高三某班有男生人，女生人.在某次数学定时练习中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，则该班本次数学成绩的平均分为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知样本数据为2，4，6，a，8，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26高二上·湖北十堰·期中）下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（   ）（多选题） A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 10．（2025·辽宁·三模）人工智能，英文缩写为AI，是一个以计算机科学为基础，由计算机、心理学、哲学等多学科交叉融合的交叉学科、新兴学科．据调查，截至2024年12月，有2.49亿人表示自己使用过生成式人工智能产品，占整体人口的．其中，利用生成式人工智能产品回答问题的用户最为广泛，占比达；将生成式人工智能产品作为办公助手的用户占比达．如果你是统计工作者，你可以使用以下哪些统计方法将上述数据直观地表示出来（   ）（多选题） A．频率直方图 B．柱形图 C．扇形图 D．茎叶图 11．（2025·重庆·三模）我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（    ）（多选题） A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 12．（25-26高二上·安徽·期中）在庆祝抗日战争胜利周年的演讲比赛中，共有位评委分别给出某选手的原始评分（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分.个有效评分与个原始评分相比，可能变化的数字特征是（    ）（多选题） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 13．（25-26高二上·浙江·期中）已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 14．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）数据的第百分位数为 ． 15．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 16．（25-26高二上·云南·期中）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本容量为4的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么 . 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程的两根，则这个样本的方差是 ． 19．（2026高三·湖南·专题练习）已知A，B两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2所示：    (1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平?请说明理由； (2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司? 20．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； (2)分别求图中的值与的值； 21．（24-25高一下·浙江宁波·期末）2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． (1)求的值；(2)求该样本的平均数和中位数． 22．（25-26高二上·湖北·期中）荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值；(2)样本数据的第59百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 能力提升进阶练 1．（2025·广东·模拟预测）已知一组数据的分位数为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 5．（25-26高三上·广东佛山·月考）设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 6．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 7.（2025·上海·模拟预测）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 8．（2025·福建福州·模拟预测）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ）（多选题） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 9．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（    ）（多选题） A．全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B．5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C．全年各月环比涨跌幅的平均值为 D．3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 10．（2025·全国·模拟预测）有一组样本数据，，，满足，则（   ）（多选题） A．该样本数据的中位数是 B．该样本数据的极差是 C．该样本数据去掉后方差变小 D．该样本数据去掉后平均数可能不变 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．该样本数据的第百分位数为 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 12．（25-26高三上·山东济南·期中）已知一组正实数样本数据，满足，则（    ）（多选题）    A．若，则样本数据的第60百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D．将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 13．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 14．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 统计学初步（复习讲义） 1、‌理解基本概念‌：掌握总体、个体、样本、样本容量等统计基本概念，区分普查与抽样调查的适用场景‌。 2、‌掌握抽样方法‌：理解并应用简单随机抽样、分层抽样等抽样方法，认识统计结论的随机性与客观性，理解抽样代表性的重要性，掌握用样本估计总体的核心思想‌ 3、‌数据整理与表示‌：学会制作和解读频数分布表、频率分布直方图、折线图等统计图表，并利用频率分布直方图计算样本众数、中位数、平均数等数字特征‌。 4、‌用样本估计总体‌：能计算样本均值、方差、百分位数等数字特征，并据此估计总体的相应特征‌。 5、‌综合应用能力‌：能将所学统计方法综合运用于实际问题中，进行数据分析和合理推断，结合案例（如经济指标分析）运用统计方法解决实际问题‌。 1、总体与个体 我们把调查对象的全体叫做总体，把总体中的成员叫作个体。 2、样本 从总体中抽取出的一部分个体就称为总体的一个样本，样本也叫作观测数据，构成样本的个体数目叫作样本容量，简称为样本量。 从总体中抽取样本的工作称为抽样。抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。 3、简单随机样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。我们把简单随机抽样获得的样本成为简单随机样本。 4、简单随机抽样的特点 ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。 ②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作。 ③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。 ④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。 5、常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法 1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 2）随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 3）利用随机数法抽取个体时的注意事项 ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点。 ②定方向：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）。 ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数。 6、分层抽样 当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。 7、分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)。 第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量/总体中的个体数。 第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比。 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本。 第五步，综合每层抽样，组成样本。 8、简单随机抽样与分层抽样的区别与联系 抽样类别 各自特点 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层抽样 将总体分层，按各层的个体数比抽取，在各层抽样时，采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 9、频率分布直方图 1）频数分布表的制作步骤 （1）计算极差；（2）确定组距和组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表 2）频率分布直方图 如果我们在直角坐标系中用横轴表示要统计的量，纵轴表示频率/组距。将各分组的端点画在横轴上用gi=fi/组距作为小矩形的高就得到由相连小矩形构成的图形这样的图形称为频率分布直方图。 每个小矩形的面积=频率。频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1。 3）频率分布折线图 如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点用线段顺次连接各点就得到频率分布折线图。 10、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据。 11、用样本估计总体的集中趋势 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。 （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数；若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为。 （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感。 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大。 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响。 对极端值不敏感。 众数 体现了样本数据的最大集中点。 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感。 （5）平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 12、总体离散程度的估计（方差、标准差）：用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为=。 （4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围。 （5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 ②设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. 13、百分位数 1．第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 上四分位数：25%分位数，下四分位数：75%分位数，中位数：50%。 题型一 抽样方法的选取 【例1】（24-25高一下·山东枣庄·期末）某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．简单随机抽样 【答案】C 【详解】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法．故选：C． 【变式1-1】（2025高一·湖南·专题练习）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误.对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误.故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·海南海口·期末）某中学有300名教师，其中初级教师60名，随机编号为1~60，中级教师150名，随机编号为61~210，高级教师90名，随机编号为211~300．从全校教师中抽取10人参加一个教学座谈会，对于下列两组样本：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，215，254，297，下列说法正确的是（   ） A．①②都可能是按比例分层随机抽样 B．①②都不是按比例分层随机抽样 C．仅①可能是按比例分层随机抽样 D．仅②可能是按比例分层随机抽样 【答案】A 【详解】由题知，①和②均是抽取初级教师2人，中级教师5人，高级教师3人， 又初级教师、中级教师、高级教师的人数比为， 所以①和②均是按比例分层随机抽样，故选：A. 【变式1-3】（24-25高二下·湖南长沙·期末）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是（    ）（多选题） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 【答案】ABD 【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法； 选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样； 选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样； 选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法.故选：ABD 题型二 抽签法、随机数法及其应用 【例1】（24-25高一下·湖南·月考）劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】662  276  656  502 【详解】根据随机数表读取规则可知，第一个数是662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502. 故答案是：662；276；656；502 【变式1-1】（2025高三·湖南·专题练习）用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条制作)上；②将总体中的个体编号；③从容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀.这些步骤的先后顺序应为 .(填序号) 【答案】②①④③ 【详解】用抽签法进行抽样的第一步要对总体中的个体进行编号，然后做号签，放入容器并搅拌均匀，最后逐个不放回地抽取号签，取出的号签所对应的个体作为样本，所以这些步骤的先后顺序为②①④③. 故答案为：②①④③. 【变式1-2】（2025高三·湖南·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 【答案】B 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50.故选：B. 题型三 分层抽样的计算 【例1】（25-26高二上·河北保定·期中）用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ） A．1440 B．1600 C．1800 D．2400 【答案】C 【详解】由题意可知样本中高二年级有人， 所以高二年级占全体样本，故该校共人.故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·广东江门·月考）某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 【答案】D 【详解】2500人中女生人数为， 则容量为50的样本中女生的人数为.故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·四川泸州·期中）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取乙品种牛的头数为 ； 【答案】18 【详解】由题意抽取乙品种牛的头数，故答案为：18. 【变式1-3】（25-26高三上·上海·期中）某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 【答案】 【详解】由分层抽样可知，应从青年员工中抽取的人数为（人），故答案为： 【变式1-4】（25-26高二上·四川成都·期中）某学校有青年教师60人，中年教师40人，老年教师20人，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为的样本，若青年教师抽了6人，则样本容量 . 【答案】12 【详解】由题意，得.故答案为：12 题型四 频率分布直方图的基本计算 【例1】（24-25高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【答案】 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为.故答案为： 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【答案】A 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得.故选：A 【变式1-2】（24-25高二下·四川广安·月考）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则用电量低于150度的户数为（    ） A．30 B．18 C．36 D．24 【答案】A 【详解】由频率分布直方图得：用电量低于150度的频率为， 所以用电量低于150度的户数为.故选：. 【变式1-3】（25-26高二上·贵州六盘水·期中）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）（多选题）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级学生做作业的时间的40%分位数在2.5小时至3小时之间 【答案】ABC 【详解】对于A，由频率分布直方图得，作业超过3小时的频率为， 根据频率估计概率，所以做作业的时间超过3小时的概率估计为35%，所以A正确； 对于B，由频率分布直方图得，作业超过2小时的频率为， 因为，所以有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，所以B正确； 对于C，由频率分布直方图得，做作业的时间的众数为，所以C正确； 对于D，由频率分布直方图得，前两个小矩形的面积和为， 前三个小矩形的面积和为， 所以做作业的时间的40%分位数在2小时至2.5小时之间，所以D错误. 故选：ABC. 题型五 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 【例1】（23-24高二上·四川绵阳·月考）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A．产品长度的众数是75 B． C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为73.2 【答案】AB 【详解】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，即产品长度的众数是75，故A项正确； 对于B项，由得，故B项正确； 对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误； 对于D项，，故D项错误.故选：AB. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B．这100位教职工中年龄在的人数为55 C．这100位教职工年龄的众数估计值为45 D．这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 【答案】AB 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1， 所以，解得，A正确. 对于B，这100位教职工中年龄在的人数为 ，B正确. 对于C，这100位教职工年龄的众数估计值为，C错误. 对于D，设这100位教职工年龄的中位数的估计值为，则 ，解得，D错误.故选：AB. 【变式1-2】（2025·辽宁·模拟预测）某寄宿制学校为调查该校学生一天内在食堂的消费情况，随机抽取了名学生的消费金额作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A． B．这名学生消费金额的众数为 C．这名学生消费金额的平均数为 D．为了解学生消费金额较低的原因，从消费金额低于元的学生中用分层随机抽样的方法随机抽取人座谈，则应抽取消费金额在区间内的学生人 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由于频率分布直方图中所有矩形的面积之和为， 则，得，A错； 对于B选项，消费金额在区间内的人数最多，所以众数为，B对； 对于C选项，平均数为，C对； 对于D选项，消费金额在区间内的人数为， 消费金额在区间内的人数为， 根据分层随机抽样的方法，从区间内抽取的人数为，D对.故选：BCD. 【变式1-3】（2025·广西河池·三模）阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（   ）（多选题） A． B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】ABD 【详解】对A：由，故A正确； 对B：阅读时间不超过40分钟的频率为，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确； 对C：由B的计算结果，40是该组数据的第百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误； 对D：估计样本的平均数为：，故D正确.故选：ABD 题型六 根据统计图解决实际问题 【例1】（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ）（多选题） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 【答案】ABD 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例最高，即A正确； 对于B，由折线图可知，参保费用随年龄增长而增长，即B正确； 对于C，由扇形图可知，30周岁以下参保人数占总参保人数的20%， 所以30周岁以下参保人数占总参保人数的80%，即C错误； 对于D，由扇形图可知，30～41周岁参保人数占比最多，即D正确.故选：ABD 【变式1-1】（25-26高二上·四川成都·期中）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的，而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误.故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确.故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·四川南充·月考）为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（    ）（多选题） A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人 C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人 D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】ABC 【详解】A选项，由扇形图可知，成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多人，A正确；B选项，由条形图可知，高一学生在前200名总，前100名和后100名学生人数相同， 故成绩前100名的学生中，高一人数为，B正确； C选项，成绩前50名的学生中，高一人数为， 故高三人数不超过人，C正确； D选项，成绩第51名到第100名的学生中，高一人数为， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D错误.故选：ABC 【变式1-4】（2025·成都·二模）居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比，环比），下列结论正确的是（    ） A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格 【答案】C 【详解】对于A，由题可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误； 对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为， 所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误； 对于C，2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为，即2024年10月份医疗保健类价格等于2024年9月份医疗保健类价格，又2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确； 对于D，2024年10月份居住类价格环比涨幅为，即2024年10月份居住类价格等于2024年9月份居住类价格，又2024年10月份居住类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误.故选：C. 题型七 众数、中位数、平均数的求解及应用 【例1】（25-26高二上·四川南充·月考）已知1，3，4，5，7，7，9，13的众数为a，中位数为b，则 . 【答案】8 【详解】由数据从小到大排列为1，3，4，5，7，7，9，13， 可知中位数是，众数是7，即，；所以.故答案为：. 【变式1-1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为 ． 【答案】9 【详解】修正后的10个数据的和为， 修正后的10个数据的平均数为.故答案为：9 【变式1-2】（2025高三·湖南·专题练习）2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 【答案】C 【分析】先求出中位数落在内，设中位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】，，故中位数落在内， 设中国动漫市场受众群体年龄的中位数为，则，解得.故选：C. 【变式1-3】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【答案】D 【详解】由题知：样本，，，，的平均数为12， 故++++；样本，，，的平均数为16，故+++； 所以样本，，，，，，，，的平均数为： ++++++++，故选:D. 【变式1-4】（25-26高二上·湖南永州·期中）高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A．多4.8厘米 B．多5.6厘米 C．多7.2厘米 D．多8.4厘米 【答案】A 【详解】设男生平均身高为，女生平均身高为，则， 总体平均身高为， 则男生的平均身高减全班的平均身高为， 故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米．故选： 题型八 统计图中集中趋势参数的计算 【例1】（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意有：， 所以， 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）一组正数的平均数为，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正数的平均数为， 所以，所以. 所以 ，当且仅当即时取等号.故选：C 【变式1-2】（25-26高三上·河南·期中）已知一组数据为2，4，6，5，m，4，3，则“”是“这组数据的中位数为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“”，则题中数据从小到大排列为或，中位数均为4，充分性成立，“这组数据的中位数为4”，若，仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件.故选：A 【变式1-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，所以，分别令，解得， 当时，，所以，解得； 当时，，所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）.综上，.故选：D 题型九 方差、标准差的求解及应用 【例1】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】,的平均数为1，方差为0，， ，， ，， 方差为 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三上·江苏南通·期中）某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（    ）（多选题） A．原始数据的分位数为8.6 B．原始数据的均分等于有效数据的均分 C．若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D．原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 【答案】BD 【详解】原始分数从小到大排序：，去掉的最低分为：，最高分为：； 对于A，数据共有个，所以，则原始数据的分位数为，故A错误； 对于B，原始数据平均分为， 有效数据平均分为，所以原始数据的均分等于有效数据的均分，故B正确； 对于C，原始数据的方差为， 剔除一个8.5分后得到新数据的平均数为，则方差为， 所以与不相等，故C不正确；对于D，原始数据的极差为：， 若剔除的数据不是或，则极差不变， 若剔除的数据是或，则极差会变小，故D正确；故选：BD 【变式1-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则 . 【答案】 【详解】由题可得平均数， 所以， 化简得，即，解得，（舍）.故答案为：. 【变式1-3】（2025·浙江杭州·一模）设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，是一个开口向上的关于的二次函数， 故函数在对称轴处取得最小值，即.故选：A. 【变式1-4】（25-26高二上·广东江门·月考）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则 ． 【答案】4 【详解】设七个数分别为，所以，， 当加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数为， 所以，这8个数的方差，解得， 所以，某七个数据的方差.故答案为： 题型十 百分位数的求解 【例1】（25-26高二上·四川成都·期中）已知8个数据：1，2，2，3，4，4，4，4，则（    ）（多选题） A．该组数据的极差为3 B．该组数据的众数为4 C．该组数据的中位数为3 D．该组数据的第75百分位数（也称为第三四分位数或上四分位数）为4 【答案】ABD 【详解】对于AB：极差，众数为，故A、B正确；对于C：中位数为，故C错误； 对于D：，所以该组数据的第75百分位数为第6个和第7个数据的平均数，即，故D正确；故选：ABD. 【变式1-1】（25-26高三上·湖南·月考）10根圆钢的直径数据如下：20.10，20.10，20.09，20.08，20.10，20.11，20.12，20.08，20.09，20.09（单位：cm），则这批圆钢直径的（   ）（多选题） A．极差为0.04cm B．众数为20.09cm C．平均数为20.096cm D．分位数为20.10cm 【答案】ACD 【详解】由题意，极差为cm，故A正确，众数为20.10cm和20.09cm，故B错误， 平均数为cm，故C正确， 将数据从小到大排列为：20.08，20.08，20.09，20.09，20.09，20.10，20.10，20.10，20.11，20.12， 因为，所以分位数为cm，故D正确.故选：ACD 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法错误的是（   ）（多选题） 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 A．甲、乙两个街道的测评分数的极差相等 B．甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等 C．街道乙的测评分数的第75百分位数为95 D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大 【答案】ABC 【详解】对于A，甲街道测评分数的极差为； 乙街道测评分数的极差为；两者不相等，故A错误； 对于B，甲街道测评分数的平均数； 乙街道测评分数的平均数为；两者不相等，故B错误； 对于C，而，则街道乙的测评分数的第75百分位数为96，故C错误. 对于D，甲街道测评分数的中位数为； 乙街道测评分数的中位数为；则乙的中位数较大，故D正确.故选：ABC. 【变式1-3】（25-26高三上·山西·期中）已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第75百分位数是 ． 【答案】 【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列，则， 所以这组数据的第75百分位数是这组数据的第8个数，即为10.故答案为：10 题型十一 统计量的拓展运算 【例1】（25-26高二上·湖南·开学考试）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，化简得，故A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质得，故B错误， 对于C，由题意得， 由均值的性质得，得到，则，故C正确， 对于D，由方差的性质得，则， 由题意得 ，故D正确.故选：ACD 【变式1-1】（25-26高三上·广东·月考）已知样本数据，，则（    ）（多选题） A．若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为， 则，由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确； 对于B，由平均数的性质可得样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确. 对于D，根据方差的性质，样本数据的方差为，故D错误；故选：AC. 【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可得，，，，.故选：AD 【变式1-3】（24-25高一下·广东深圳·期末）有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，设，，…，已经从小到大排列好了， 则，，…，是从小到大排列的或从大到小排列的， 若是偶数，则，而无论如何最中间两个数总是， ， 若是奇数，则， 而无论如何最中间的数总是，所以， 所以，对于B，由方差的性质可得，，故B正确； 对于C，当时，， 当时，，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确.故选：ABD. 题型十二 分层抽样中的平均数与方差运算 【例1】（25-26高二上·贵州·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】(1)，平均数74，中位数为75(2)总平均数，总方差 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得，样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为，的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. （2）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以总平均数， 总方差. 【变式1-1】（25-26高三上·江西·开学考试）已知数据的平均数为，数据的平均数为，若数据与数据混合后的平均数为，则数据与数据混合后的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设数据的平均数为，则，整理得， 故数据与数据混合后的平均数为.故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 【答案】1.92 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质， 可得总体的方差为：.故答案为：1.92 【变式1-3】（25-26高二上·广东中山·月考）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为 ；身高方差为 . 【答案】 166 38 【详解】总体样本均值为：； 总体样本方差为：.故答案为：166；38 【变式1-4】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 【答案】 【详解】该市学生的男女生人数比为，设男生人数为，女生人数为， 男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，故个男生睡眠时长为小时； 女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，故个女生睡眠时长为小时， 则该市学生每天睡眠时长的平均数为（小时）； 由题干可得，，，，，， 代入公式得，.故答案：；. 题型十三 统计量的综合运用 【例1】（25-26高二上·青海海南·期中）甲、乙、丙、丁这四位同学每人各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，则根据四位同学的掷出点数统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（   ）（多选题） A．平均数为3，中位数为3 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，极差为4 【答案】ABD 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点数6，故A正确；对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差， 所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故C错误； 对于D，当掷骰子出现的结果为2，2，3，5，6，满足中位数为3，极差为4，故D正确.故选：ABD. 【变式1-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；    乙地：5个数据的平均数为11，众数为12； 丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；    丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1. 则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【详解】设甲地5天的日平均气温从低到高为：， 因为极差为3，所以，取 此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，故甲地不一定符合进入春季的标志； 设乙地5天的日平均气温从低到高为：， 其中互不相等，由5个数据的平均数为11， 所以， 取，此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，故乙地不一定符合进入春季的标志； 设丙地5天的日平均气温从低到高为：， 由5个数据的平均数为12，则，取， 此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况，故丙地不一定符合进入春季的标志； 设丁地5天的日平均气温为：，由5个数据的平均数为11，所以， 所以若方差小于1则： 则 由为正整数，且所以 设时，任何一个都不可能为，所以当时， 不满足，所以， 故丁地符合气象意义上进入春季，故选：D. 【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·期中）立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A．该组数据的最小值可能为 B．该组数据的平均数不超过 C．该数据的第百分位数为 D．该组数据的方差超过 【答案】BCD 【详解】由题意设该组数据从小到大为、、、、， 由题意可得，，，可得，A错； 这组数据为、、、、，则， 这组数据的平均数为，B对； 对于C选项，因为，所以该数据的第百分位数为，C对； 对于D选项，当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当，此时这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 因此，这组数据的方差大于，D对.故选：BCD. 【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（   ）（多选题） A．仅出现一个分数是5 B．极差为4 C．众数为7 D．方差不超过3 【答案】ACD 【详解】因为平均数为，所以六个数据的总和为， 六个有效得分的中位数如果超过，则六个数据从小到大排列后的第三、第四个数据只能为或或或，以下分四种情况讨论： （1）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 所以这组数据只能为； （2）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 因为后两个数据不小于，因此不存在第三、第四个分数为的有效得分； （3）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； （4）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； 综上所述，要使得中位数超过，则这六个有效得分只能是，中位数为 因此，只要不是这组数据，即可保证中位数不超过， 这组数据中有个，极差为，众数为， 方差为， 所以仅出现一个分数是5的数据中位数不会超过8，A正确； 极差为4的数据可以是，中位数，B错误； 众数是7的数据中位数不会超过8，C正确； 方差不超过的数据中位数不会超过8，D正确；故选：ACD. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海静安·期末）自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（  ）    A．28，03，36，24，40 B．03，36，24，40，04 C．28，03，65，67，52 D．28， 03，40，01，11 【答案】D 【详解】从随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字为：28,03,65（舍去），67（舍去），52（舍去），40,44（舍去），01,85（舍去），11. 所以选出的5个问题编号依次为：28,03,40,01,11.故选：D 2．（25-26高二上·四川成都·月考）某学校有教师300人，男学生1200人，女学生900人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知抽取的男生比女生多6人，则n的值为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【答案】C 【详解】根据分层抽样方法中所抽取的比例相等， 所以，解得.故选：C. 3．（24-25高三下·辽宁·期中）某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 【答案】C 【详解】因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10．故选：C 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）样本数据，，，，的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是.故选：B 5．（24-25高三下·广东东莞·月考）某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（    ）    A．样本中对平台一满意的消费者人数约700 B．样本中对平台二满意的消费者人数为20 C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 【答案】C 【详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误； 对于B：样本中对平台二满意的人数为，故选项B错误； 对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确： 对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误．故选：C. 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（   ） A．的值为 B．估计这组数据的众数为 C．估计这组数据的平均数为 D．估计成绩低于分的有人 【答案】C 【详解】对于A选项，根据频率分布直方图可知：，即，故A正确；对于B选项，由图易得在区间的人数最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C选项，由图可估计平均数为，故C错误； 对于D选项，因为，故估计成绩低于分的有人，即D正确.故选：C. 7．（25-26高三上·重庆南岸·期中）立德中学高三某班有男生人，女生人.在某次数学定时练习中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，则该班本次数学成绩的平均分为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，该班本次数学成绩的平均分为分.故选：C. 8．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知样本数据为2，4，6，a，8，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】删除前平均数为：； 删除后平均数为：；所以.故选：C 8．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确；故选：C． 9．（25-26高二上·湖北十堰·期中）下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（   ）（多选题） A．从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样） B．一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书 C．根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生 D．利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生 【答案】BD 【详解】简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的； 对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样； 对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样； 对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样； 对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，不是简单随机抽样.故选：BD. 10．（2025·辽宁·三模）人工智能，英文缩写为AI，是一个以计算机科学为基础，由计算机、心理学、哲学等多学科交叉融合的交叉学科、新兴学科．据调查，截至2024年12月，有2.49亿人表示自己使用过生成式人工智能产品，占整体人口的．其中，利用生成式人工智能产品回答问题的用户最为广泛，占比达；将生成式人工智能产品作为办公助手的用户占比达．如果你是统计工作者，你可以使用以下哪些统计方法将上述数据直观地表示出来（   ）（多选题） A．频率直方图 B．柱形图 C．扇形图 D．茎叶图 【答案】BC 【详解】A.频率直方图：用于连续数据的分组频数分布，(如年龄、身高)，与本题分类数据无关，故排除. B.柱形图：可比较不同用途的用户占比(如两类别并排比较)，适用，故B符合题意. C.扇形图：可直观展示各用途占整体的比例（77.6%和45.5%)，适用，故C符合题意. D.茎叶图：用于展示数据的具体数值分布(如:试成绩)，与比例无关，故排除.故选：BC. 11．（2025·重庆·三模）我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（    ）（多选题） A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 【答案】AB 【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为， 1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确； 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确， 由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误.故选：. 12．（25-26高二上·安徽·期中）在庆祝抗日战争胜利周年的演讲比赛中，共有位评委分别给出某选手的原始评分（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分.个有效评分与个原始评分相比，可能变化的数字特征是（    ）（多选题） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】BCD 【详解】设位评委评分按从小到大排列为， 去掉一个最高分和最低分后，剩余， 原始中位数为，去掉最低分和最高分后，中位数仍为，则中位数不变； 原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，则平均数可能改变； 原始方差为， 新数据的方差为， 方差受极端值影响较大，所以与不一定相同，则方差可能改变； 原极差为，新极差为， 因为，则，又因为，由不等式的性质可得，则极差可能改变.故选：BCD. 13．（25-26高二上·浙江·期中）已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 【答案】19 【详解】因为数据的平均数为4，方差为2， 所以的平均数为，方差为， 所以平均数与方差的和为19.故答案为：19. 14．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）数据的第百分位数为 ． 【答案】3 【详解】将这组数据按照升序排列为．百分数位置， ，向上取整为6，第6项为3，这组数据的第百分位数为3．故答案为：3． 15．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 【答案】 【详解】样本量为.故答案为：. 16．（25-26高二上·云南·期中）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本容量为4的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么 . 【答案】20 【详解】因为用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中逐个抽取，个体在第一次就被抽取的可能性为，因此，所以.故答案为：20 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    【答案】 105 103.5 【详解】由题图知，底部周长的众数是； 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数在内，设为，则， 解得； 平均数是． 故答案为：；；. 18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若某次调查样本数据为1，a，5，y，7，且a，y是方程的两根，则这个样本的方差是 ． 【答案】4 【详解】由是方程的两根，不妨令，，样本平均数为， 所以这个样本的方差为.故答案为：4 19．（2026高三·湖南·专题练习）已知A，B两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2所示：    (1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平?请说明理由； (2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司? 【答案】(1)中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由见解析(2)应该选B公司 【详解】（1）A公司员工月均工资的平均数为 （万元）. 由题图1可知A公司员工月均工资在0.6万元以下的比例为， 所以A公司员工月均工资的中位数约为0.6万元. 用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由如下： 因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大， 该公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数并不能较好的反映普通员工的收入水平， 而中位数不受少数极端数据的影响，可以较好的反映普通员工的收入水平. （2）B公司员工月均工资的平均数为 （万元）， 由题图2知，B公司员工月均工资在0.6万元以下的频率为， 在0.8万元以下的频率为. 设B公司员工月均工资的中位数为x万元，则，得. 小明应选择B公司应聘，理由如下： B公司员工工资数据较为集中，月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平， B公司员工月均工资平均数为0.69，中位数为0.7，均大于A公司员工月均工资的中位数， 所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘. 20．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． (1)求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； (2)分别求图中的值与的值； 【答案】(1)0.01；85%(2)，． 【详解】（1）由题意·，，                        所以及格率为. （2）由题意可知：，得， 平均分，解得，． 21．（24-25高一下·浙江宁波·期末）2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． (1)求的值；(2)求该样本的平均数和中位数． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）由题意知：，所以. （2）由题意知：， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为，所以， 由中位数的定义可得，解得，即中位数为． 22．（25-26高二上·湖北·期中）荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值；(2)样本数据的第59百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】(1)(2)78分；(3)60；36 【详解】（1）根据题意可知，，解得； （2）因为，， 所以样本数据的第59百分位数在内，可得， 所以样本数据的第59百分位数为78分； （3）样本数据落在的个数为，落在的个数为， 总方差． 能力提升进阶练 1．（2025·广东·模拟预测）已知一组数据的分位数为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若，则其分位数为； 若，则分位数为；若，则分位数为3； 若，则分位数为； 若，则分位数为，综上，.故选：C. 2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， .故选：B 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 【答案】B 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为：  .故选：B 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【详解】由，则， 设的平均数为，所以. 所以 ， 而， 因为互不相等，所以.故选：C. 5．（25-26高三上·广东佛山·月考）设、及分别为某组数的平均数、分布域（极差）及方差，而、及分别为这组数的平均数、分布域（极差）及方差．下列何者必为正确？（　　） I． II． III． A．只有I及II B．只有I及III C．只有II及III D．I、II及III 【答案】A 【详解】假设，则中，最小，最大， 则， ， ，I对；，II对； ，III错，故选：A 6．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 【答案】D 【详解】选项A：第一车间职工喜爱的体育活动情况不等同于该企业情况，所以选项A说法正确； 选项B：喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，说明有些职工年龄比50大，所以选项B说法正确；选项C：样本均值：，所以选项C说法正确； 选项D：样本方差，所以选项D说法错误.故选：D. 7.（2025·上海·模拟预测）标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（    ）. A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼 B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼 D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼 【答案】D 【详解】理论计算公式为，其中为估算的种群数值，为第一次捕获并标记的个体， 为一段时间后，在原来的捕获点再次捕获的个体数，为二次捕获的个体中有标记的数量， 转换后得，假设池塘中的鱼分为大鱼和小鱼，大鱼是指用大网和小网均能捕获的鱼，小鱼指仅能用小网能捕获的鱼，A选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数，为池塘中实际的鱼条数，则， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故， 第二次捕获的大鱼条中，理论上含标记的大鱼有， 第二次捕获的小鱼条中，理论中含标记的小鱼有，故， 故总的标记条数为，所以，又，故， 结论：若两次捕鱼都用小网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； B选项，第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用小网眼的渔网捕鱼，，其中为捕获并标记的大鱼，为捕获并标记的小鱼， 设为池塘中实际的大鱼数，为池塘中实际的小鱼数， 标记后全部放回池塘后，池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，被标记的小鱼占全部小鱼比例为， 假设每条鱼被捕获的概率相等，故，其中为池塘中实际的鱼条数， 第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； C选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为， 第二次用小网眼渔网捕鱼，捕获的鱼中既有大鱼也有小鱼，， 由于第一次用大网眼渔网捕鱼，标记的均为大鱼，故第二次捕获的鱼中，只有大鱼也有可能被标记， 理论上，，其中， 因为每条鱼捕获的概率相等，所以第二次用小网眼渔网捕获的鱼中， 大鱼和小鱼的比例与池塘中的大鱼和小鱼的比例相等，即， 所以， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量与实际种群数量大致相等； D选项，第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 第一次用大网眼的渔网捕鱼，，标记后将鱼全部放回到池塘后， 池塘中被标记的大鱼占全部大鱼比例为，第二次用大网眼渔网捕鱼，捕获的全部是大鱼，即， 理论上，，故，又，故， 结论：第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼， 采用标志重捕法估算出的种群数量约等于种群中大鱼数量，与实际种群数量相比小，误差大；故选：D 8．（2025·福建福州·模拟预测）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ）（多选题） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BD 【详解】将四地这7周各周内碳排放量超过的天数由小到大依次记为，，，，，，，分别对应第周． 对于甲地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 3 众数为二，可使，，显然可以是6或7， 此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定甲地为低碳生态区； 对于乙地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 1 我们可以使，，，，尽可能小， 通过判断是否有可能来判断乙地是否能被判定为低碳生态区． 则，，可计算均值，化简得， 满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，因此可以判定乙地为低碳生态区； 对于丙地，根据题意，我们无法直接判断对应的值， 但类似的，我们可以使，，，，，的和尽可能小， 通过判断是否有可能来判断丙地是否能被判定为低碳生态区． 则可以使，，，，，可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 0 1 2 3 4 4 均值，解得， 即此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定丙地为低碳生态区； 对于乙地，假设，则方差，不合题意， 故，即满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天， 因此可以判定丁地为低碳生态区； 综上所述，四地中能判定为低碳生态区的是乙地和丁地．故选：BD 9．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图是某地2024年各月同比和环比涨跌幅情况，则下列叙述正确的有（    ）（多选题） A．全年各月同比涨跌幅的极差小于各月环比涨跌幅的极差 B．5月份到7月份的各月同比涨幅越来越大 C．全年各月环比涨跌幅的平均值为 D．3月份到12月份各月同比涨跌幅的分位数为 【答案】AB 【详解】对于A，全年CPI各月同比涨跌幅的极差为， 环比涨跌幅的极差为，所以A正确； 对于B，由5月份到7月份的CPI同比涨幅分别为，涨幅越来越大，所以B正确； 对于C，全年CPI各月环比涨跌幅的平均值为，所以C错误； 对于D，由3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的数据按从小到大的顺序排列可得，，， 因为，所以分位数为第8个数据， 即3月份到12月份CPI各月同比涨跌幅的分位数为，所以D错误.故选：AB. 10．（2025·全国·模拟预测）有一组样本数据，，，满足，则（   ）（多选题） A．该样本数据的中位数是 B．该样本数据的极差是 C．该样本数据去掉后方差变小 D．该样本数据去掉后平均数可能不变 【答案】ABD 【详解】对于AB，因为， 故这组数据的中位数是中间两个数的平均数，即. 极差是最大的数与最小的数之差，即，故A，B正确； 对于CD，这组样本数据去掉后方差可能变大、变小或不变， 如，，，的值无限接近于，. 则原数据的方差为. 而去掉后的数据方差为，在这种情况下方差变大，故C错误； 若恰好等于数据的平均数，则去掉后平均数不变，故D正确.故选：ABD 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．该样本数据的第百分位数为 B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D．若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 【答案】BC 【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错； 对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对； 对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，由不等式的基本性质可得， 即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差； 综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对； 对于D选项，由，则， 所以、、、的方差为，D错.故选：BC. 12．（25-26高三上·山东济南·期中）已知一组正实数样本数据，满足，则（    ）（多选题）    A．若，则样本数据的第60百分位数为 B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D．将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 【答案】BC 【详解】选项A：因为，为整数， 所以第60百分位数为，故A错误； 选项B：极差为最大值与最小值之差， 若去掉样本为中间数据，则最大值与最小值不变，此时极差不变，故B正确； 选项C：右边“拖尾”，则最高峰偏左，中位数靠近高峰处， 右边“拖尾”，说明数据中存在较大的值，这些较大值会拉高平均值，使平均值靠右， 所以样本数据的平均数大于中位数，故C正确； 选项D：设原数据平均数为，方差为，则， 新数据为，则平均数为，新方差， 所以新样本数据的方差变为原数据方差的9倍，故D错误.故选：BC 13．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 所以，平均数为. 由图可知，众数为. 因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 第%分位数落在第组，设为，则，解得. “人工智能科普达人”的成绩至少为分. （3）的频率为，的频率为， 所以的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为， 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有，解得， ，解得，所以内的平均成绩为，方差为. 14．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为(2)(3)（i）证明见解析（ii）， 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则，所以， . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $