第6章 统计学初步（知识清单）数学湘教版必修第一册

该高中数学“统计学初步”知识清单系统梳理了数据收集、抽样方法、统计图表、用样本估计总体四大核心内容，构建了从基础概念（总体、样本）到抽样方法（简单随机抽样、分层抽样），再到图表分析（频率分布直方图）和总体估计（集中趋势、离散程度）的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级+易错点专项”设计呈现知识体系，如用表格对比简单随机抽样与分层抽样的特点及适用范围，总结方差、平均数的变化规律，培养学生的数据意识和数学思维。特别设置8个易错点模块，每个模块含典例解析与针对训练，如“误把频率分布直方图的高当作频率”的专项突破，帮助学生精准避错，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

第6章 统计学初步（知识清单） 清单01 获取数据的途径及统计概念 知识点01 收集数据与统计中的几个基本概念 1、统计数据主要来自两条途径：间接来源和直接来源。 2、总体与个体 我们把调查对象的全体叫做 ，把总体中的成员叫作 。 3、样本 从总体中抽取出的一部分个体就称为总体的一个 ，样本也叫作观测数据，构成样本的个体数目叫作 ，简称为样本量。 从总体中抽取样本的工作称为抽样。抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。 4、普查与抽样调查 普查，又称全面调查，即对需要调查的对象进行 调查。 优点是所有资料较为全面可靠；缺点是调查花费的人力、物力、财力较多，且调查时间较长，全面调查只在样本少的情况下适合采用。 抽样调查是从调查对象的总体中，抽取 个体进行调查。 清单02 抽样 知识点01 简单随机抽样 1、一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。我们把简单随机抽样获得的样本成为 。 2.简单随机抽样的特点 ①它要求被抽取样本的总体的个数 ，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。 ②它是从总体中 抽取，这样便于在抽样实践中进行操作。 ③它是一种 抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。 ④它是一种 抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。 3、常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法 1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取 号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 2）随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 3）利用随机数法抽取个体时的注意事项 ① ：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点。 ② ：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）。 ③ ：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数。 知识点02 分层抽样 1、当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。 分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的。 2、分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)。 第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量/总体中的个体数。 第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比。 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本。 第五步，综合每层抽样，组成样本。 3、简单随机抽样与分层抽样的区别与联系 抽样类别 各自特点 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体数 抽样过程中每个个体被抽到的可能性 分层抽样 将总体分层，按各层的个体数比抽取，在各层抽样时，采用简单随机抽样 总体由 的几部分组成 清单03 统计图表 知识点01 数据分析的基本方法 1、借助于图形：分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息. 2、借助于表格：分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式. 知识点02频率分布直方图 1.频数分布表的制作步骤 （1）计算 ；（2）确定 和 ；（3）将数据 ；（4）列频率分布表 2.频率分布直方图 如果我们在直角坐标系中用横轴表示要统计的量，纵轴表示频率/组距。将各分组的端点画在横轴上用gi=fi/组距作为小矩形的高就得到由相连小矩形构成的图形这样的图形称为 。 每个小矩形的面积= 。频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 。 3.频率分布折线图 如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点用线段顺次连接各点就得到频率分布折线图。 清单04 用样本估计总体 知识点01 用样本估计总体的集中趋势 （1）众数：在样本数据中，出现次数 的那个数据。 （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则 的数据为中位数;若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的 作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为。 （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感。 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大。 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响。 对极端值不敏感。 众数 体现了样本数据的最大集中点。 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感。 （5）平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 知识点02 用样本估计总体的离散程度 总体离散程度的估计（方差、标准差）：用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为=。 （4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围。 （5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 ②设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. 知识点03 用频率分布直方图估计总体分布 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的 与小矩形的 的乘积之和近似代替。 (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 。 (3)众数：众数是 小矩形底边的中点所对应的数据。 知识点04 百分位数 1．第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按 排列原始数据．第2步，计算i＝ ；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 ． 上四分位数：25%分位数，下四分位数：75%分位数，中位数：50%。 【易错01：忽略随机数表重复数字导致错误】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（25-26高二上·广东江门·期中）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．455 D．447 【针对训练】 1．（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 【易错02：样本数据变化时，混淆了（标准）方差的变化规律】 【典例】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 【针对训练】 1．（24-25高一下·四川广元·期末）有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，.由这组数据得到一组新样本数据，，…，.其中，其平均数和方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是（   ） A． B． C．1 D．3 【易错03：误把频率分布直方图的高当作频率】 【典例】（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    2．（24-25高一上·江西抚州·月考）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【易错04：频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替】 【典例】（24-25高一下·四川乐山·期末）《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 (1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； (2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 【针对训练】 1．（2025高一·湖南·专题练习）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 2.（24-25高二上·浙江·开学考试）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．样本答卷成绩的中位数为70 C．样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D．在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 【易错05：忽略众数、中位数、平均数各自意义导致错误】 【典例】（24-25高一上·北京·开学考试）某水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0． 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 b c (1)____________，____________，____________； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？ 【针对训练】 1．（24-25高一上·湖南·课后作业）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10． (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表： \ 平均数 众数 中位数 甲厂 乙厂 丙厂 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 2．（24-25高一·湖南·课后作业）某公司的33名职工的季度奖金（单位：元）如下表所示： 人数 1 1 2 1 5 3 20 季度奖金 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 (1)求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数（精确到整数）； (2)假设将表中的5000元提升到20000元，5500元提升到30000元，求新的平均数，中位数、众数（精确到整数）； (3)你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况，结合此问题谈一谈你的看法. 【易错06：在选拔选手时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好】 【典例】（24-25上·黑龙江·高二校考期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个. (1)应从大三团队中抽取多少个团队？ (2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？ 【针对训练】 1.（24-25·湖南高一课时练习）甲乙在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示：    平均数 中位数 方差 极差 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 1 乙 5.4 (1)请补充填写上表； (2)根据你所学的统计学知识，从不同的角度对这次测试结果进行分析． 【易错07：忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错】 【典例】（2025·河南·统考模拟预测）样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【针对训练】 1.（24-25上·眉山·高二校联考阶段练习）假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （   ） A．5，6 B．6，4 C．6，5 D．6，6 2．（24-25·湖南·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63    38    25    42    56    48    53    39    28    47 45    52    59    48    51    62    48    50    52    38 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数； (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？ 【易错08：忽略百分位数由小到大依次排序导致错误】 【典例】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）数据的分位数是 ，分位数是 . 【针对训练】 1．（25-26高三上·湖北荆州·月考）样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为 ． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标，将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3，则这组数据的70%分位数为 。 1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（    ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．14 B．07 C．32 D．43 2．（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 3．（25-26高二上·湖北·月考）某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（   ） A．极差 B．方差 C．平均数 D．中位数 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数 6．（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 7．（25-26高二上·四川广元·期中）关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（    ） A．13 B．14 C．14.5 D．15.5 9．（25-26高二上·四川成都·期中）某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 10．（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 12．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某地区有大型商铺家，中型商铺家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为的样本，则应抽取中型商铺（    ） A．家 B．家 C．家 D．家 13．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 14．（23-24高一下·广东广州·期末）为了解某市家庭用水量的情况，该市统计局调查了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成9组，制成如下频率分布直方图，则（    ）（多选题）    A．调查的100户居民的月均用水量的极差是4.5 B．调查的100户居民中有24户的月均用水量介于3至4.5之间 C．估计该市居民用户的月均用水量不低于1.5的比率为73% D．估计该市居民用户月均用水量的中位数介于之间 15．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知样本数据，（）（），则（    ）（多选题） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 16．（24-25高一下·重庆·期中）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ）（多选题） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端小的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 17．（25-26高二上·浙江·期中）为了解学生周末的日均健身时长（单位分钟），随机抽取10位同学进行调查，得到数据如下：20，50，35，50，65，80，65，80，65，110，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．众数是65 B．平均数是62 C．上四分位数是80 D．方差是342.5 18．（25-26高三上·广西来宾·月考）某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是（    ）（多选题）    A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份 D．最低气温低于的月份有4个 19．（25-26高二上·上海杨浦·期中）某工厂利用随机数表对个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的行： 66674037  14640571   11056509   95866876   83203790   57160311 63149084   45217573若从表中第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是 ． 20．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为 21．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为?(3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 22．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数；(2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为 40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 统计学初步（知识清单） 清单01 获取数据的途径及统计概念 知识点01 收集数据与统计中的几个基本概念 1、统计数据主要来自两条途径：间接来源和直接来源。 2、总体与个体 我们把调查对象的全体叫做 总体 ，把总体中的成员叫作 个体 。 3、样本 从总体中抽取出的一部分个体就称为总体的一个 样本 ，样本也叫作观测数据，构成样本的个体数目叫作 样本容量 ，简称为样本量。 从总体中抽取样本的工作称为抽样。抽样的目的是根据样本提供的信息推断总体的特征。 4、普查与抽样调查 普查，又称全面调查，即对需要调查的对象进行 逐个 调查。 优点是所有资料较为全面可靠；缺点是调查花费的人力、物力、财力较多，且调查时间较长，全面调查只在样本少的情况下适合采用。 抽样调查是从调查对象的总体中，抽取 若干 个体进行调查。 清单02 抽样 知识点01 简单随机抽样 1、一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。我们把简单随机抽样获得的样本成为 简单随机样本 。 2.简单随机抽样的特点 ①它要求被抽取样本的总体的个数 有限 ，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。 ②它是从总体中 逐个v抽取，这样便于在抽样实践中进行操作。 ③它是一种 不放回 抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。 ④它是一种 等机会 抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。 3、常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法 1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取 一个 号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本. 2）随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 3）利用随机数法抽取个体时的注意事项 ① 定起点 ：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点。 ② 定方向 ：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）。 ③ 读数规则 ：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数。 知识点02 分层抽样 1、当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。 分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的。 2、分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)。 第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量/总体中的个体数。 第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比。 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本。 第五步，综合每层抽样，组成样本。 3、简单随机抽样与分层抽样的区别与联系 抽样类别 各自特点 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体数 较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性 相同 分层抽样 将总体分层，按各层的个体数比抽取，在各层抽样时，采用简单随机抽样 总体由 差异明显 的几部分组成 清单03 统计图表 知识点01 数据分析的基本方法 1、借助于图形：分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息. 2、借助于表格：分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式. 知识点02频率分布直方图 1.频数分布表的制作步骤 （1）计算 极差 ；（2）确定 组距 和 组数 ；（3）将数据 分组 ；（4）列频率分布表 2.频率分布直方图 如果我们在直角坐标系中用横轴表示要统计的量，纵轴表示频率/组距。将各分组的端点画在横轴上用gi=fi/组距作为小矩形的高就得到由相连小矩形构成的图形这样的图形称为 频率分布直方图 。 每个小矩形的面积= 频率 。频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1 。 3.频率分布折线图 如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点用线段顺次连接各点就得到频率分布折线图。 清单04 用样本估计总体 知识点01 用样本估计总体的集中趋势 （1）众数：在样本数据中，出现次数 最多 的那个数据。 （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则 最中间 的数据为中位数;若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的 平均数 作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为。 （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感。 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大。 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响。 对极端值不敏感。 众数 体现了样本数据的最大集中点。 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感。 （5）平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 知识点02 用样本估计总体的离散程度 总体离散程度的估计（方差、标准差）：用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为=。 （4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围。 （5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 ②设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. 知识点03 用频率分布直方图估计总体分布 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的 横坐标 与小矩形的 面积 的乘积之和近似代替。 (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 相等 。 (3)众数：众数是 最高 小矩形底边的中点所对应的数据。 知识点04 百分位数 1．第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按 从小到大 排列原始数据．第2步，计算i＝ n×p% ；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． 上四分位数：25%分位数，下四分位数：75%分位数，中位数：50%。 【易错01：忽略随机数表重复数字导致错误】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（25-26高二上·广东江门·期中）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．455 D．447 【答案】B 【详解】由题知，选取的前几个同学编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047， 剔除重复数据175和超过500的数据572、608， 所以符合条件的前5个数据是442，175，455，331，047，所以第5个是047.故选：B 【针对训练】 1．（25-26高二上·四川成都·月考）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【答案】C 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007.故选：C. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 【答案】B 【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047， 剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047. 故选：B. 【易错02：样本数据变化时，混淆了（标准）方差的变化规律】 【典例】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 【答案】C 【详解】因为数据的平均数为5， 所以，解得， 所以数据的平均数为； 因为数据的方差为16， 所以， 化简得，可以看出数据的方差为4.故选：C. 【针对训练】 1．（24-25高一下·四川广元·期末）有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，.由这组数据得到一组新样本数据，，…，.其中，其平均数和方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，可得，， 故B正确,A,C,D均错误.故选：B. 2．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可得：，，，，的方差是.故选：D. 【易错03：误把频率分布直方图的高当作频率】 【典例】（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得.故选：B. 【针对训练】 1．（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为 ．    【答案】5 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为.故答案为：5 2．（24-25高一上·江西抚州·月考）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【答案】 【详解】由图可得各分组频率之和为： 因各分组频率之和为1，则故答案为：0.14. 【易错04：频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替】 【典例】（24-25高一下·四川乐山·期末）《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 (1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； (2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 【答案】(1)，，直方图见解析(2)众数为，中位数为，平均数为 【详解】（1）第二组的频率为， ，， 补全频率分布直方图如下： （2）观众年龄的众数为， 设年龄的中位数为，， 中位数位于.则，解得， 年龄的平均数. 【针对训练】 1．（2025高一·湖南·专题练习）如图所示，三个频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，则下列判断错误的是（    ）    A．图（1）中，平均数=中位数>众数 B．图（2）中，众数<中位数<平均数 C．图（2）中，平均数<众数<中位数 D．图（3）中，中位数<平均数<众数 【答案】ACD 【详解】易知图（1）中，平均数中位数众数，故A错误； 图（2）中，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比， 平均数总是在“长尾巴”那边，即平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理可知，图（3）中，众数最大，平均数小于中位数，故D错误．故选：ACD． 2.（24-25高二上·浙江·开学考试）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为了提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛”，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均不低于50分）分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．样本答卷成绩的中位数为70 C．样本答卷成绩的平均分为80（同一组数据用该组区间的中点值为代表） D．在样本答卷成绩为、的两组市民中，用分层抽样的方法抽取6人，则样本答卷成绩在中的市民应抽4人 【答案】ABD 【详解】选项A：由频率之和为1，即：，可得，故A正确； 选项B：由于前两组频率之和恰好是0.5，所以中位数是70，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：由于成绩在、两组的人数分别为10人、5人，则在中应该抽取：人，故D正确；故选：ABD. 【易错05：忽略众数、中位数、平均数各自意义导致错误】 【典例】（24-25高一上·北京·开学考试）某水果公司以10元/的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0． 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 1 7 a 3 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 b c (1)____________，____________，____________； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？ 【答案】(1)6，4.7，4.75(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）， 4.7出现的次数最多，∴众数， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，第10箱质量为4.7，第11箱质量为4.8， ∴中位数， （2）若选平均数4.75，则这2000箱荔枝共损坏了， 若选择众数4.7，则这2000箱荔枝共损坏了， 若选择中位数4.75，这2000箱荔枝共损坏了； （3）若选平均数或中位数，则（元）， 若选众数，则（元）， 答：若选平均数或中位数，该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本， 若选众数，该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本 【针对训练】 1．（24-25高一上·湖南·课后作业）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10． (1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表： \ 平均数 众数 中位数 甲厂 乙厂 丙厂 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 【答案】(1)答案见解析(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数 (3)选丙厂的节能灯，答案见解析 【详解】（1）， ， 甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5． （2）甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数． （3）选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平． 2．（24-25高一·湖南·课后作业）某公司的33名职工的季度奖金（单位：元）如下表所示： 人数 1 1 2 1 5 3 20 季度奖金 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 (1)求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数（精确到整数）； (2)假设将表中的5000元提升到20000元，5500元提升到30000元，求新的平均数，中位数、众数（精确到整数）； (3)你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况，结合此问题谈一谈你的看法. 【答案】(1)2091元，1500元， 1500元(2)3288元，1500元， 1500元(3)答案见解析 【详解】（1）平均数是 （元）， 中位数是1500元，众数是1500元. （2）新的平均数是 （元），中位数是1500元，众数是1500元. （3）中位数或众数均能反映该公司员工的季度奖金情况. 因为公司中少数人的季度奖金与大多数人的季度奖金差别较大，导致平均数与中位数、众数偏差较大，所以平均数不能反映该公司员工的季度奖金情况. 【易错06：在选拔选手时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好】 【典例】（24-25上·黑龙江·高二校考期中）某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个. (1)应从大三团队中抽取多少个团队？ (2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？ 【答案】(1)6(2)，，，，甲组或乙组，理由见解析 【详解】（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的， 则应从大三中抽取 (个)团队． （2）甲组成绩的平均数， 乙组成绩的平均数， 甲组数据的方差   ， 乙组数据的方差 ， 选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定； 选乙组理由：，在比赛中，估计获胜的可能性大． 【针对训练】 1.（24-25·湖南高一课时练习）甲乙在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示：    平均数 中位数 方差 极差 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 1 乙 5.4 (1)请补充填写上表； (2)根据你所学的统计学知识，从不同的角度对这次测试结果进行分析． 【答案】(1)表格见解析(2)答案见解析 【详解】（1）由折线图可得射靶的成绩按升序排列： 对于甲（x）：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， 可得极差为，中位数，平均数，方差； 对于乙（y）：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10； 可得极差为，中位数，平均数.据此可得： 平均数 中位数 方差 极差 命中9环及以上次数 甲 7 7 4 1 乙 7 8 3 （2）①甲、乙平均数相同，，∴甲的成绩比乙稳定； ②∵甲、乙平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵甲、乙平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些； ④甲的成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有出现比甲少的情况发生，所以认为乙比甲更有潜力． 【易错07：忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错】 【典例】（2025·河南·统考模拟预测）样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 则其中位数为16.故选：B. 【针对训练】 1.（24-25上·眉山·高二校联考阶段练习）假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （   ） A．5，6 B．6，4 C．6，5 D．6，6 【答案】D 【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6， 6，8， 所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.故选：D 2．（24-25·湖南·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63    38    25    42    56    48    53    39    28    47 45    52    59    48    51    62    48    50    52    38 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数； (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？ 【答案】(1)平均数为，中位数为，众数为.(2)答案见解析. 【详解】（1）解：由题意，该组数据的平均数为， 这些数据从小到大排序为：， 所以数据的中位数为，其中众数为. （2）根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听个客户的电话. 【易错08：忽略百分位数由小到大依次排序导致错误】 【典例】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）数据的分位数是 ，分位数是 . 【答案】 ; . 【详解】数据 按从小到大排列为： 由于共有12个数据，所以， 故分位数是，分位数是，故答案为：. 【针对训练】 1．（25-26高三上·湖北荆州·月考）样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为 ． 【答案】/8.5 【详解】将数按从小到大排列：2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共个数，，第百分位数为第三个数与第四个数的平均数故答案为： 2．（2025·云南昆明·模拟预测）某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标，将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3，则这组数据的70%分位数为 。 【答案】6.1 【详解】将这组数据从小到大进行排列得到5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3， 又，则70%分位数是第五个数，即6.1.故答案为：6.1. 1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（    ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．14 B．07 C．32 D．43 【答案】B 【详解】依题意选出的个体编号依次为：，，，，……， 所以选出来的第4个个体的编号为.故选：B. 2．（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名.故选：B. 3．（25-26高二上·湖北·月考）某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5 【答案】B 【详解】不妨记剔除数据的平均数为，方差为，剩余四个得分的平均数为，方差为， 则，，， 由总体数据的方差的性质得，则.故选：B. 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（   ） A．极差 B．方差 C．平均数 D．中位数 【答案】D 【详解】去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，中位数不变，而极差，方差，平均数都有可能发生改变.故选：D 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数大于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数大于乙组数据中位数 【答案】C 【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7， 故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误； 甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B错误； 甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确； 乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D错误.故选：C. 6．（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 【答案】D 【详解】四分位数在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数一组数据中出现次数最多的数值；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。所以选择均值较理想. 故选：D 7．（25-26高二上·四川广元·期中）关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 【答案】D 【详解】因为数据：22，24，26，26，28，30，对于选项A：极差为，故A正确； 对于选项B：平均数为，故B正确； 对于选项C：众数为26，故C正确； 对于选项D：因为，所以分位数为第五个数28，故D错误；故选：D. 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（    ） A．13 B．14 C．14.5 D．15.5 【答案】C 【详解】将这组数据从小到大排列为：13，14，15，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为，故选：C. 9．（25-26高二上·四川成都·期中）某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】C 【详解】高三年级人数为：；抽样比为：； 因此，高三年级抽取人数为：.故选：C 10．（25-26高二上·广东·期中）某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为．故选：D． 11．（24-25高二下·上海·月考）从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确.故选：A 12．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某地区有大型商铺家，中型商铺家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为的样本，则应抽取中型商铺（    ） A．家 B．家 C．家 D．家 【答案】C 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为， 所以应抽取中型商铺（家）.故选：C. 13．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确；故选：D. 14．（23-24高一下·广东广州·期末）为了解某市家庭用水量的情况，该市统计局调查了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成9组，制成如下频率分布直方图，则（    ）（多选题）    A．调查的100户居民的月均用水量的极差是4.5 B．调查的100户居民中有24户的月均用水量介于3至4.5之间 C．估计该市居民用户的月均用水量不低于1.5的比率为73% D．估计该市居民用户月均用水量的中位数介于之间 【答案】CD 【详解】对于A，因为频率分布直方图丢失了原始数据，所以不能断定调查的100户居民的月均用水量的极差是4.5，故A错误； 对于B，用水量介于3至4.5之间的频率为：，则应有 户介于3至4.5之间，故B错误； 对于C，不低于1.5的比率为：，故C正确； 对于D，由图可得， 前3个矩形对应频率之和为：，前4个矩形对应频率之和为：，前5个矩形对应频率之和为： 则该市居民用户月均用水量的中位数介于之间，故D正确.故选：CD 15．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知样本数据，（）（），则（    ）（多选题） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】ACD 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故，则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确，故选：ACD． 16．（24-25高一下·重庆·期中）重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（ ）（多选题） A．这组数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．这组数据中可能有极端小的值 D．这组数据中的众数可能和中位数相同 【答案】ACD 【详解】一组数据的中位数比平均数大很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值， 即可能有异常值，故正确； 当数据近似对称时，平均数与中位数应接近相等，故错误； 一组数据的中位数比平均数大很多，众数可能和中位数相同，故正确.故选：. 17．（25-26高二上·浙江·期中）为了解学生周末的日均健身时长（单位分钟），随机抽取10位同学进行调查，得到数据如下：20，50，35，50，65，80，65，80，65，110，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．众数是65 B．平均数是62 C．上四分位数是80 D．方差是342.5 【答案】ABC 【详解】由题设，众数是65，平均数为， 方差为 ， 将数据从小到大排列为：20，35，50，50，65，65，65，80，80，110， 由于，则上四分位数是80.故选：ABC 18．（25-26高三上·广西来宾·月考）某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是（    ）（多选题）    A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份 D．最低气温低于的月份有4个 【答案】ABC 【详解】由该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得： 在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确； 在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确； 在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确； 在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：ABC 19．（25-26高二上·上海杨浦·期中）某工厂利用随机数表对个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的行： 66674037  14640571   11056509   95866876   83203790   57160311 63149084   45217573若从表中第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是 ． 【答案】 【详解】由随机数表法可知，前个样本的编号依次为：、、、， 故第个样本编号是.故答案为：. 20．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知数据的方差为3，则数据的方差为 【答案】 【详解】因为数据的方差为3，所以数据的方差为.故答案为： 21．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）衡阳县第一中学为预备2026年的全国高中数学联赛预赛，在该校先选取了前60名的学生（含60名），进行选拔，随后根据分数线选取参赛选手，该60名学生的成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是（本场选拔总分为100分）. (1)估计该一中学生选拔成绩的平均值（提示：同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)这次选拔测试成绩的第60百分位数可估计为?(3)若学校定75分为标准选拔分数线，则参赛人数大约为? 【答案】(1)(2)75(3)24 【详解】（1）由图可估计选拔成绩的平均值为， （2）成绩位于的频率为， 成绩位于的频率为， 因此第60百分位数位于，设为，则，故， （3）由（2）可知75分为第60百分位数，故能参赛的人约有个. 22．（25-26高二上·四川成都·月考）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数；(2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为(2)(3)（i）证明见解析（ii）， 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得，所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又，所以， 同理，所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则，所以， . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $