11.5因式分解 课件2025--2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解，涵盖定义、提公因式法及平方差、完全平方公式法。通过“温故知新”回顾整式乘法公式，逆向引导学生发现因式分解与整式乘法的互逆关系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究式导入培养抽象能力，通过“三定”法确定公因式、“一提二套三查”步骤强化推理意识，结合草坪面积计算等实际问题提升应用意识。典例与分层练习结合，助学生规范解题，也为教师提供清晰教学流程与丰富教学资源。

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.5因式分解 1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系； 2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式； 3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式． # 幻灯片分页内容：11.5 因式分解 ## 第1页：课题引入——从乘法逆运算初识因式分解 - 复习回顾： 1. 整式乘法示例：\(m(a + b) = ma + mb\)（单项式×多项式）；\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)（平方差公式）； 2. 逆向思考：已知\(ma + mb\)，如何反推得到\(m(a + b)\)？已知\(a^2 - b^2\)，如何反推得到\((a + b)(a - b)\)？ - 情境问题： 一个长方形的面积是\(x^2 + 3x\)，已知它的长是\(x + 3\)，求它的宽。列式为\((x^2 + 3x)÷(x + 3)\)，若能将\(x^2 + 3x\)转化为两个整式的积，可快速求解，这就是我们今天要学的因式分解。 - 课题：11.5 因式分解（第一课时：因式分解的概念与提公因式法） ## 第2页：核心概念——因式分解的定义与辨析 - 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 - 关键词解析： 1. 对象：多项式（如\(x^2 - 4\)、\(2x + 6\)等）； 2. 结果：几个整式的积（如\((x + 2)(x - 2)\)、\(2(x + 3)\)）； 3. 本质：整式乘法的逆运算（乘法：整式积→多项式；因式分解：多项式→整式积）。 - 概念辨析（判断是否为因式分解）： 1. 是因式分解：\(x^2 + 2x = x(x + 2)\)（多项式→整式积）； 2. 不是因式分解：\(x(x + 1) = x^2 + x\)（整式积→多项式，是乘法）；\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) + 0\)（结果含加法，不是纯积）。 ## 第3页：第一方法——提公因式法（提取公因式） - 公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 示例：\(ma + mb + mc\)中，公因式是\(m\)；\(6x^2 + 12x\)中，公因式是\(6x\)。 - 提公因式法法则： 如果多项式的各项有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，即\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)。 - 找公因式的步骤： 1. 找系数的最大公约数（如\(6x^2 + 12x\)，系数6和12的最大公约数是6）； 2. 找相同字母的最低次幂（如\(6x^2 + 12x\)，相同字母\(x\)的最低次幂是\(x^1 = x\)）； 3. 公因式=系数最大公约数×相同字母最低次幂（如上述公因式为\(6x\)）。 ## 第4页：基础例题——直接提公因式 - 解题思路：先找准公因式，再用多项式各项除以公因式，得到另一个因式，最后写成公因式与另一个因式的积。 - 基础例题解析： 1. 例1：分解因式\(3x + 6\) 解：公因式是3，原式\(=3(x + 2)\)（验证：\(3×x + 3×2 = 3x + 6\)，正确）； 2. 例2：分解因式\(a^2b - ab^2\) 解：公因式是\(ab\)，原式\(=ab(a - b)\)（验证：\(ab×a - ab×b = a^2b - ab^2\)，正确）； 3. 例3：分解因式\(-4x^2 + 8x\) 解：公因式是\(-4x\)（提取负号使括号内首项为正），原式\(=-4x(x - 2)\)（验证：\(-4x×x + (-4x)×(-2) = -4x^2 + 8x\)，正确）。 ## 第5页：进阶例题——提公因式法的拓展应用 - 解题关键：公因式可为多项式（整体思想），或需先化简再提公因式。 - 进阶例题解析： 1. 例1：分解因式\((a + b)x + (a + b)y\) 解：公因式是\((a + b)\)（整体看作公因式），原式\(=(a + b)(x + y)\)； 2. 例2：分解因式\(2a(x - y) - 3b(x - y)\) 解：公因式是\((x - y)\)，原式\(=(x - y)(2a - 3b)\)； 3. 例3：分解因式\(3x^2 - 6xy + 3x\) 解：公因式是\(3x\)，注意第三项除以公因式得1，不能漏写，原式\(=3x(x - 2y + 1)\)（验证：\(3x×x - 3x×2y + 3x×1 = 3x^2 - 6xy + 3x\)，正确）。 ## 第6页：第二方法——公式法（平方差公式逆用） - 公式推导：由平方差公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)，逆用可得因式分解公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)。 - 公式特征： 1. 多项式是二项式，且两项符号相反； 2. 两项均为完全平方数（或完全平方整式）。 - 例题解析： 1. 例1：分解因式\(x^2 - 9\) 解：原式\(=x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)； 2. 例2：分解因式\(4a^2 - 16b^2\) 解：先提公因式4，再用平方差公式，原式\(=4(a^2 - 4b^2) = 4(a + 2b)(a - 2b)\)； 3. 例3：分解因式\((x + y)^2 - (x - y)^2\) 解：把\((x + y)\)和\((x - y)\)看作整体，原式\(=[(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = (2x)(2y) = 4xy\)。 ## 第7页：易错点辨析——因式分解常见误区 - 易错点1：因式分解不彻底 错误：\(x^3 - x = x(x^2 - 1)\)（\(x^2 - 1\)还能继续分解）； 纠正：先提公因式，再用公式，原式\(=x(x^2 - 1) = x(x + 1)(x - 1)\)。 - 易错点2：漏写公因式或项 错误：\(2x^2 + 4x = 2x(x)\)（漏写常数项2）； 纠正：原式\(=2x(x + 2)\)。 - 易错点3：平方差公式应用条件混淆 错误：\(x^2 + 4 = (x + 2)(x - 2)\)（两项符号相同，不符合平方差公式）； 纠正：\(x^2 + 4\)不能用平方差公式分解，保持原式不变（在有理数范围内）。 ## 第8页：课堂小结与课后作业 - 课堂小结： 1. 一个核心概念：因式分解是整式乘法的逆运算，结果为整式积； 2. 两种基本方法： - 提公因式法：找公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂）→提取→验证； - 公式法（平方差）：二项式、异号、完全平方→逆用\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)； 3. 一个关键原则：因式分解要彻底，直到不能再分解为止。 - 课后作业： 1. 分解因式：①\(15x^3 - 10x^2\)；②\(a^2 - 16\)；③\(3(x - 2) - x(2 - x)\)； 2. 已知\(a + b = 5\)，\(a - b = 3\)，求\(a^2 - b^2\)的值（用因式分解简便计算）； 3. 思考：完全平方公式\((a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2\)逆用后，可用于哪些多项式的因式分解？ 学习目标 温故知新 运用前面所学的知识填空： （1）m(a+b+c)= （2）(a+b)(a-b)= （3）(a+b)2= ma+mb+mc a2-b2 a2+2ab+b2 情景导入 知识点一 因式分解 试 一 试 观察上面三个等式，填空： （1）ma+mb+mc=( )( ) （2）a2-b2=( )( ) （3）a2+2ab+b2=( )2 m a+b+c a+b a-b a+b 探究新知 （1）m(a+b+c)= （2）(a+b)(a-b)= （3）(a+b)2= ma+mb+mc a2-b2 a2+2ab+b2 （1）ma+mb+mc=( )( ) （2）a2-b2=( )( ) （3）a2+2ab+b2=( )2 m a+b+c a-b a+b a+b 这两组等式，有什么联系和区别？ 整式乘法运算 把一个多项式化为几个整式的积的形式 探究新知 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 探究新知 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 探究新知 典例精析 【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A．a(x-y)=ax-ay B．x3-x=x(x+1)(x-1) C．(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D．x2+2x+1=x(x+2)+1 【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误； x3-x=x(x+1)(x-1)，故B答案正确； C选项右边为多项式，故C选项错误； x2+2x+1=(x+1)2，因式分解错误，故D选项错误， 故选：B． 探究新知 练一练 1．观察下列从左到右的变形： （1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)； （2）ma-mb+c=m(a-b)+c； （3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2； （4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2； 其中是因式分解的有 （填序号）． 探究新知 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解） （1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)不是因式分解，不符合题意； （2）ma-mb+c=m(a-b)+c不是因式分解，不符合题意； （3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2是因式分解，符合题意； （4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：（3）. 探究新知 知识点二 提公因式法 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 探究新知 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 知识要点 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 探究新知 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 探究新知 典例精析 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 探究新知 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 探究新知 练一练 1、把下列多项式分解因式： （1）-5a2+25a （2）3a2-9ab （1）-5a2+25a =-5a(a-5) （2）3a2-9ab =3a(a-3b) -5a 3a 提公因式法 找公因式时应分三步: (1)找各项系数的最大公约数; (2)找相同的字母; (3)找相同字母的最低指数次幂. 探究新知 知识点三 运用平方差公式因式分解 想一想： 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 探究新知 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 探究新知 典例精析 例3 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式 整体思想 a b 探究新知 练一练 1、分解因式： …………一提（公因式） ……二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤 探究新知 知识点四 运用完全平方公式因式分解 完全平方公式: 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 探究新知 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 3 a2 2 a b b2 ± . + . （ a ± b )² = 3 x 2 m 3 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 探究新知 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. a2 2 a b b2 ± . + . 探究新知 典例精析 例4 分解因式： （1）16x2+24x+9； 分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； (首)²+2·首·尾+(尾)² （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- (x -2y)2. 探究新知 例5 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 探究新知 练一练 1、 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确. 课堂练习 2、把下列多项式分解因式： （1）x2+4xy+4y2 （1）x2+4xy+4y2 =(x+2y)2 =x2+2·x·2y+(2y)2 （2） 4x3y-4x2y2+xy3 （1） 4x3y-4x2y2+xy3 =xy(4x2-4xy+y2) =xy(2x-y)2 xy 公式法 课堂练习 1.把下列多项式分解因式： （1）3x+3y （2）-24m2x-16n2x （3）x2-1 （4）(xy)2-1 =3(x+y) =-8x(3m2+2n2) =(x+1)(x-1) =(xy+1)(xy-1) 课堂练习 （5）a4x2-a4y2 （6）3x2+6xy+3y2 （7）(x-y)2+4xy （8）4a2-3b(4a-3b) =a4(x2-y2) =a4(x+y)(x-y) =3(x2+2xy+y2) =3(x+y)2 =x2-2xy+y2+4xy =x2+2xy+y2 =(x+y)2 =4a2-12ab+9b2 =(2a-3b)2 课堂练习 2.先因式分解，再求值： 2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2 解： 2x(a-2)-y(2-a) =2x(a-2)+y(a-2) =(2x+y)(a-2) 当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5 课堂练习 3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？ 解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米的正方形的面积减去四个边长为b米的小正方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米). 答：草坪的面积是32平方米. 课堂练习 4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是（    ） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4 【详解】解：A.x2+2x+1=(x+1)2是完全平方公式因式分解，不合题意； B.x2+2x-1不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.x2-2x+4+2x=x2+4x，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D.x2-2x-4+2x=x2-4=(x+2)(x-2) ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 课堂练习 5．若实数x，y满足(x+y+3)(x+y-1)=0，则+y的值为 ． 【详解】解：∵(x+y+3)(x+y-1)=0， ∴x+y+3=0或x+y-1=0， 解得：x+y=-3或x+y=1， 故答案为：-3或1． 课堂练习 6．因式分解： (1)x2-1; (2)a3-2a2+a 【详解】（1）解：x2-1 =(x+1)(x-1)． （2）解：a3-2a2+a =a(a2-2a+1) =a(a-1)2 课堂练习 7．已知：a+b=1,ab= (1)求ab2+a2b的值． (2)求a2+b2的值． 【详解】（1）∵a+b=1,ab= ， ∴ab2+a2b=ab(a+b) =； （2）∵(a+b)2=a2+2ab+b2， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2×()=． 课堂练习 1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为 因式分解的是( ) A. B. C. D. 2. 把多项式 分解因式，应提的公因式是 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 考试考法 36 3. 长宽分别为， 的长方形周长为16，面积为12，则 的值为( ) A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 4. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为 ，那么 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 √ √ 返回 考试考法 37 5. 已知， ，则代数式 的值为( ) A. B. 30 C. D. 6. 一个多项式，把它用提公因式法因式分解 后有一个因式为 ，请你写出一个符合条件的多项式： _____________________. （答案不唯一） 7.计算 所得的结果是_______. √ 返回 考试考法 38 因式 分解 定义 am+bm+mc=m(a+b+c) 方法 提公因式法 公式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习） 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 课堂小结 公式法因式分解 公式 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 课堂小结 谢谢观看！ $