第07讲 解直角三角形及其应用（知识详解+5典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年人教版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦解直角三角形及其应用核心知识点，先阐述定义、三边关系和边角关系等基础内容，再分类讲解已知两边或一边一锐角的解法，最后通过构造斜三角形及仰角俯角等实际问题应用，搭建从基础到实践的学习支架。 资料以“知识详解+典例分析+习题巩固”设计，典例含5大考点及变式，结合测量树高、航行方位等实例，培养几何直观、推理能力与模型意识。课中辅助教学，课后分层习题助力学生查漏补缺，提升应用能力。

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 第07讲解直角三角形及其应用（知识详解+5典例分析+习题巩固） 目标导航 知识详解 知识点01：解直角三角形 知识点02：解直角三角形的类型与解法 考点1：解直角三角形 考点2：构造直角三角形解斜三角形 典例分析 考点3：与仰角、俯角有关的问题 考点4与方位角有关的问题 (举三反三) 考点5：与坡角、坡度有关的问题 习题巩固 一、单选题(5) 二、填空题(5) 三、解答题(5) 知识详解 【知识点01】解直角三角形 1.解直角三角形的定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.。由直角三角形中的已知元素，求出其 余未知元素的过程，叫做解直角三角形 特别提醒：（①）在直角三角形冲，除直角外的五个元素，已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余 的三个未知元素（知二求白）， (2)一个直角三角形河解，则其面积可求但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积 2.解直角三角形的常用关系式 元素 关系 图示 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期昧 222 三边之间的关系 a+b=c(勾股定理 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° LA的对边 sinA=得边 =是， b LA的第边 边、角之间的关系 cos 解边 8, B ∠A的对边 an4=A阴彩量=局 【知识点2】解直角三角形的类型与解法 图形 已知条件 解法 RtA ABC 求∠A;∠B=90°-∠A; 两直角边 由tanA=寻， c=va2 +b2 由sinA=是，求∠A;∠B=90°-∠A; 两边 6 斜边、一直角边 b=Vc2 -a2 如c,a) B a C RtA ABC 一直 一锐角与邻边 ∠B=90°-∠A;a=b-tanA;c=b cosA A 角边 (如∠A,b) 和一 一边 一锐角与对边 锐角 ∠B=90°-∠A;b=anA;c=siA 和一 (如∠A,a) b 锐角 ∠B=90°-∠A;a=csinA;b=ccosA 一锐角与斜边 B ◇ 2 C 如∠A,c) 注意 解直角三角形时，求煤些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：（少尽量选择可以直接应用原始数据的关 系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的腰避免使用除法计算 典例分新 2 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】(25-26九年级上山东济宁阶段练习)如图，在ABC中，AB=5,BC=3,cosB=25,则∠C的度数 5 为() B A.75° B.60° C.45° D.30° 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键.过点A作AD⊥BC于点D,先 利用三角函数的定义和勾股定理求出BD和AD的长度，进而得到CD的长度，最后在RtA ADC中求出∠C的度数. 【详解】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D, AB-5.cosB=2 5 B D 在R1△ADB中，osB=BD-25 AB 5 BD=ABxcosB=5×25 ·AD=VAB2-BD2=V5-22=1, BC=3, CD=BC-BD=3-2=1, 在Rt ADC中，anC=P=, CD 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :∠C=45°， 故选：C. 【典例1-2】(25-26九年级上上海松江·期中)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,BC=5,cotA=2, 那么CD的长为。 D 【答案】2√5 【分析】本题主要考查了余切定义，勾股定理，灵活的使用余切定义是解题的关键，易错点在于搞混正切定义与余切 定义，余切定义：邻边比对边；正切定义：对边比邻边；先在Rt△ABC中根据余切的定义求出AC的长，在Rt△ACD 中找到AD与CD的比例关系，再利用勾股定理建立等式，据此求出CD的长即可. 【详解】解：在Rt△ABC中， cot= AC BC, 4C=2,4C=10. 在Rt△ACD中， COLA=AD CD =2,AD=2CD. CD2+AD2=AC2, CD2+(2CD)2=102, CD=25 故答案为25. 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。一 【典例1-3】(23-24九年级下·宁夏吴忠阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点， 连接BC,过点C的直线垂直于BE的延长线于点D,交BA的延长线于点P, (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)若tan∠P=3 PB=10,求PA的长 【答案】(1)见解析 (2PA= 2 【分析】本题考查切线的判定，弧与圆周角的关系，解直角三角形，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键. (1)连接0C,根据点C是AE的中点可得LABC=∠CBD,进而证OC∥BD,从而得证LPC0=∠D=90°即可； 2)设O的半径为r,根据已知表示出PAPO,很据anLP,得出smP,得出r5 ,即可求解 【详解】(1)证明：连接0C, BD⊥CD, D=90°， :点C是AE的中点， ∴.AC=CE, 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :∠ABC=∠CBD, 0B=0C, .∠0BC=∠OCB, ∠OCB=∠CBD, .OC∥BD, ∠PC0=∠D=90°， OC⊥PD, OC是半径， PC是⊙0的切线； (2)解：如图， 设O0的半径为r,则PB=PA+2r,P0=PA+OA=PA+r, PB=10, .PA=10-2r,P0=PA+r=10-r, :tan∠P=3 ’∠PC0=90°， 0C_3 PC4' 设0C=3k,PC=4k, .P0=5k, 6 ,,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .'sin P= 0C3 P05' 10-r5 解得：=5 PA=10-2x15=5 42 【变式1-1】(25-26九年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D, tan A= =2,CD=6,则BD的长为(). ▣ D A.7 B.8 C.9 D.12 【答案】C 【分折】本题考在解宜角三角形，板据同角的余角扫等，得到∠8CD=∠4，进而得到am∠BCD=mA=多，进而得到 BD 3 CD=2 进行求解即可. 【详解】解：：∠ACB=90°， .LACD+∠BCD=90°， :CD⊥AB, ∴.∠CDB=∠CDA=90°， .LA+LACD=90°， 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 LBCD=∠A, 3 .tan∠BCD=tanA= 在Rt△CDB中，tan∠BCD= BD 3 CD 2 CD=6, .BD=9: 故选C 【变式1-2】(25-26九年级上山东聊城期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，连接AD.若 CAD=LB,sinB=,D=2,则线段CD的长为二 B 【答案】 18/24 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设AC=3k,AB=5k,根据勾股定理求出BC=√AB2-AC2=4k,得 到m8C旅-结合楼感宋m2C0是货女2-子解将-号代入0=4-计家事时 【详解】解：在ABC中，LAC8=90°，simB=3, .设AC=3k,AB=5k, :BC=AB2-AC2=4k, :tan B=AC=3k 3 BC 4k4' 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 ∠CAD=∠B，,BD=2, ∴.CD=4k-2 an∠CAD=CD=4k-23 AC 3k4' 解得：一多 218 8 .CD=4k-2=4× 7 7 18 故答案为：气· 【变式1-3】(24-25九年级上吉林长春·期末)如图，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，C是BE的中点，连接DC,过 点D作DAI BE,且DA=!BE,连接AB. B (I)证明：四边形ABCD是菱形； (2)若AD=5,tanA 24'则BDE的面积为 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形 等知识，正确的添加辅助线是解答的关键， C1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=BC=CE=BE,进而可得4D=BC,证明四边形BCD是平行 四边形，然后根据菱形的判定定理可得结论； 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 (2)过D作DH⊥BE于H,先根据菱形的性质得到求得CD=BC=CE=AD=5,则LDCH=∠A,则 7 DH tan∠DCH=tan∠A= H，设DH=7x,CH24x,利用勾股定理求得x值，则DH=7x=6,然后 的面积公式求解即可， 【详解】(1)证明：：在Rt△BDE中，∠BDE=90°，C是BE的中点， :CD-BC-CE-BE, 2 08E, :AD BC, :DA∥BE, :.四边形ABCD是平行四边形， 又：CD=BC, 四边形ABCD是菱形. (2)解：过D作DH⊥BE于H, D BH C :四边形ABCD是菱形，AD=5, .∠DCH=∠A,CD=BC=CE=AD=5,则BE=10, :an∠DCH=tan∠A=24FCH 7 DH 设DH=7x,CH=24x, 10 第07讲 解直角三角形及其应用（知识详解+5典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形 知识点02：解直角三角形的类型与解法 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：构造直角三角形解斜三角形 考点3：与仰角、俯角有关的问题 考点4与方位角有关的问题 考点5：与坡角、坡度有关的问题 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 【知识点01】解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元 素，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 2. 解直角三角形的常用关系式 元素 关系 图示 三边之间的关系 a2＋b2＝c2(勾股定理) 两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° 边、角之间的关系 sinA＝＝， cos A＝＝， tan A＝＝ 【知识点02】解直角三角形的类型与解法 图形 已知条件 解法 Rt△ABC 两边 两直角边 由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝ 斜边、一直角边 (如c，a) 由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝ Rt△ABC 一边 和一 锐角 一直 角边 和一 锐角 一锐角与邻边 (如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝ 一锐角与对边 (如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝；c＝ 一锐角与斜边 (如∠A，c) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A 注意 解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知中，，，，，那么的长为 ． 【典例1-3】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，是的直径，为上的一点，点是的中点，连接 ，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【变式1-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【变式1-2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    【变式1-3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 【题型二】构造直角三角形解斜三角形 【典例2-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 【典例2-3】（25-26九年级上·北京平谷·期中）在中，，为锐角且，．求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图在中，，，，则的周长是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的余弦值． 【题型三】与仰角、俯角有关的问题 【典例3-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高 m． 【典例3-3】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离． 【变式3-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，他们通过测量的长度计算出这棵树的高度是米，则测量的的长度是 米． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【题型四】与方位角有关的问题 【典例4-1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【典例4-3】（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米． (1)求荷花池边的长．（结果保留整数） (2)小渝和小北同时从出发前往，小渝以50米/分的速度沿走，小北以40米/分的速度沿走，请通过计算说明谁先到达点． 参考数据：，，，，． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【变式4-3】（25-26九年级上·重庆万州·期中）为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 【题型五】与坡角、坡度有关的问题 【典例5-1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是 ． 【典例5-3】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为，它的坡角为．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡，求的度数和的长． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-2】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，已知斜坡的坡角为，米，米， 求楼和宣传牌的高度． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是 ． 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距 海里. 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ． 9．（25-26九年级上·上海·期中）在等腰三角形中，，，点为边的三等分点．将沿翻折，得到，直线与直线交于点，则 ． 10．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    三、解答题 11．（25-26九年级上·山东济南·期中）在中，已知，，，求的面积． 12．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，，，．求的长和的值． 13．（25-26九年级上·山东东营·期中）科技改变生活，手机导航极大地方便了我们的出行．如图，小明一家自驾到济南古镇游玩，到达地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，求，两地的距离．（结果保留根号） 14．（25-26九年级上·北京·单元测试）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $