第06讲 探索三角形相似的条件+相似三角形的性质（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年苏科版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦三角形相似的判定与性质核心知识点，以平行线分线段成比例为基础，系统梳理利用角、边角、三边关系判定三角形相似的方法，衔接相似三角形周长、面积、对应线段的性质及重心应用，构建完整知识脉络。 资料以“举三反三”设计典例分析，如平行线分线段成比例考点配多个例题与变式，培养推理意识和几何直观。习题含选择、填空、解答题分层训练，课中辅助教师突破难点，课后助力学生巩固，体现数学语言表达与应用意识。

第06讲 探索三角形相似的条件+相似三角形的性质（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：平行线分线段成比例 知识点02：利用角的关系判定两个三角形相似 知识点03：利用边角关系判定两个三角形相似 知识点04：利用三边关系判定两个三角形相似 知识点05：三角形的重心 知识点06：相似三角形的性质 知识点07：相似三角形对应线段的性质 典例分析 （举三反三） 考点1：平行线分线段成比例的应用 考点2：相似三角形的判定 考点3：相似三角形中等积式的证明 考点4：相似三角形中的运动问题 习题巩固 一、单选题（4） 二、填空题（4） 三、解答题（4） 【知识点01】平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 如图6.4-1 所示， ∵ l3∥l4∥l5，∴＝，＝，＝ . 可简记为：＝，＝，＝. 2. 平行线法 平行于三角形一边的直线与其他两边(所在直线)相交，所截得的三角形与原三角形相似. 符号语言： 如图6.4-2 所示， ∵ DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 【知识点02】利用角的关系判定两个三角形相似 1. 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 符号语言 如图6.4-4 所示，在△ABC和 △DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 3. 常见的相似三角形的类型 (1)平行线型：如图6.4-5 ①， 若DE∥BC， 则△ADE∽△ABC. (2)斜交型：如图6.4-5 ②， 若∠AED＝∠B， 则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图6.4-5 ③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. (4)“K”型：如图6.4-5 ④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似. (5)旋转型：如图6.4-5 ⑤， 若∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC，则△ADE∽△ABC. 【知识点03】利用边角关系判定两个三角形相似 1. 相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2. 符号语言 如图6.4-7 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵＝，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF. 【知识点04】利用三边关系判定两个三角形相似 1. 相似三角形的判定定理 三边成比例的两个三角形相似. 2. 符号语言 如图6.4-9 所示，在△ABC和△DEF中， ∵＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 【知识点05】三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2. 符号语言 如图6.4-12， 在△ABC中，AD、BE、CF分别是△ABC的三条中线，且它们相交于点G，则点G是 △ABC的重心．反之，也成立． 3. 特别解读 根据三角形相似的性质能得出： 三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2 的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点的对边中点的距离的2 倍. 【知识点06】相似三角形的性质 1. 定理 相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2. 符号语言 如图6.5-1，若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则＝k，＝k2 . 【知识点07】相似三角形对应线段的性质 1. 定理 相似三角形对应线段的比等于相似比. 2. 符号语言 (1)相似三角形对应高的比等于相似比(k). 如图6.5-3，如果△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别为对应边BC、B′C′上的高，则＝k. (2)相似三角形对应边上中线的比等于相似比(k). 如图6.5-4，如果△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别为对应边BC、B′C′上的中线，则＝k. (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比(k). 如图6.5-4，如果△ABC∽△A′B′C′，BE、B′E′分别为对应角∠ABC、∠A′B′C′的平分线，则＝k. 【题型一】平行线分线段成比例的应用 【典例1-1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，且，则的值为    【典例1-3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，，，若，则 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求与的函数表达式，并求的最大值． 【题型二】相似三角形的判定 【典例2-1】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【典例2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，弦平分． (1)过点作的切线，交于点（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【题型三】相似三角形中等积式证明 【典例3-1】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：． 【典例3-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的内心，的延长线交边于点，交的外接圆于点，连接，求证： (1) (2) 【典例3-3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，点是的中点，点是的中点，，垂足为，，垂足为． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：经过的中点． 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知AB是的直径，交AB于点D，E为射线AB上一点，连接CE并延长交于点F，射线AF交射线CH于点G． (1)如图1，若点E在线段DB（不包含端点）上，求证： (2)如图2，若点E在线段AD（不包含端点）上，求证： (3)如图3，若点E在点B的右侧部分运动，连接HF交射线AB于点M，试探究AO、MH、EF、ME之间的数量关系，并给予证明． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点H落在边上，点A的对应点为点G，交于点P． (1)求证：； (2)如图2，连接，当为的中点，，时，求的长； (3)若，．当最大时，直接写出的长． 【题型四】相似三角形中的运动问题 【典例4-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【典例4-2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【变式4-1】（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在中，于点．点从点出发，沿的路径匀速运动，运动到点停止，过点作于点，设点运动的路程为的面积为，则与的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，是上一点，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，当直线截存在与相似的三角形时， ．    【变式4-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，若，则的长度是（   ） A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是，，，若按图中标注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段处，连接交于点F．若，，下列结论：①点E，C，D，A在同一个圆上；②，③；④．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，若，，，则的长是 ． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则 ． 7．（22-23九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．    8．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，的半径为2．当圆心与点重合时，与直线的位置关系为 ；若圆心从点开始沿轴移动，当 时，与直线相切．    三、解答题 9．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当________时与相似； (2)当的面积等于时，求t的值． 11．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图．在中．，． (1)用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交、于点，（不写作法，保留作图痕迹，可描黑）； (2)证明：． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连接，，． (1)求证：； (2)已知，， ①求的半径长． ②若点G是的中点，求与的面积之比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第06讲探索三角形相似的条件+相似三角形的性质（知识详解+4典 例分析+习题巩固) 目标导航 知识详解 知识点01：平行线分线段成比例 知识点02：利用角的关系判定两个三角形相似 知识点03：利用边角关系判定两个三角形相似 知识点04：利用三边关系判定两个三角形相似 知识点05：三角形的重心 知识点06：相似三角形的性质 知识点07：相似三角形对应线段的性质 典例分析 考点1：平行线分线段成比例的应用 考点2：相似三角形的判定 (举三反三) 考点3：相似三角形中等积式的证明 考点4：相似三角形中的运动问题 习题巩固 一、单选题(4) 二、填空题(4) 三、解答题(4) 知识详解 【知识点01】平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言：如图6.4-1所示， 1v,∴品器，是-器，器=器· 345 可简记为：卡=卡，专=查，至=零。 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 A/ 图6.4-1 2. 平行线法平行于三角形一边的直线与其他两边（所在直线）相交，所截得的三角形与原三角形相似 符号语言： 如图6.4-2所示， DEIBC, ∴△ADE∽△ABC. D B “A”型 X”型 “A”型 图6.4-2 【知识点2】利用角的关系判定两个三角形相似 1.相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似 2.符号语言 如图6.4-4所示，在△4BC和 △DEF中，.∠A=∠D,∠B=∠E,..△ABC△DEF 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 E 图6.4-4 3.常见的相似三角形的类型 ()平行线型：如图6.4-5①，若DEBC,则△4DE~△4BC (2)斜交型：如图6.4-5②，若∠AED=∠B,则△4ED~△4BC. 0 (3)“子母”型：如图6.4-5③，若∠ACD=∠B,则△ACD~△ABC. ③ (4)“K”型：如图6.45④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，则△ACB~△DEC,整体像一个横放的字母K,所 以称为“K”型相似 (⑤旋转型：如图6.4-5⑤，若∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC,则△4DE一△4BC. E B D A ④ ⑤ 【知识点3】利用边角关系判定两个三角形相似 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 1.相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.符号语言 如图6.4-7所示， 在△ABC和△DEF中， 是-噩，且∠B=∠E, .△ABC∽△DEF A D 图6.4-7 【知识点04】利用三边关系判定两个三角形相似 1.相似三角形的判定定理 三边成比例的两个三角形相似 2.符号语言如图6.4-9所示，在△4BC和△DEF中， 提-噩-踹， ∴.△ABC∽△DEF 图6.4-9 【知识点5】三角形的重心 1.定义 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心 2.符号语言如图6.412，在△4BC中，AD、BE、CF分别是△4BC的三条中线，且它们相交于点G,则点G是 △4BC的重心.反之，也成立. 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。。 F G B D 图6.4-12 3. 特别解读 根据三角形相似的性质能得出： 三角形的重心将三角形的每条中线都分成1：2的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点的对边 中点的距离的2倍. 【知识点06】相似三角形的性质 1.定理相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 2.符号语言 如图651，若△1BC-△1BC,相似比为，则能品2=，大， 图6.5-1 【知识点7】相似三角形对应线段的性质 1.定理相似三角形对应线段的比等于相似比. 2. 符号语言 (1)相似三角形对应高的比等于相似比().如图6.5-3，如果△ABC一△4'B'C',AD、AD'分别为对应边BC、B'C'上的高， 侧铝=太 B D B'D 图6.5-3 5 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)相似三角形对应边上中线的比等于相似比().如图6.5-4，如果△4BC一△4'B'C',AD、A'D'分别为对应边BC、B' C上的中线，则号=k 图6.5-4 (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比().如图6.5-4，如果△ABC一△4'B'C',BE、B'E分别为对应角∠ABC、 ∠ABC的平分线，则器=k 图6.5-4 典例分新 【题型一】平行线分线段成比例的应用 【典例1-1】(24-25九年级上江苏南京·期末)如图，若AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是() AB BC AD BC CD BC CD AD A. B. EF BE DE CE C. EF BE D EF AF 【答案】B 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。。 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性， 【详解】解：解：由图，根据对应性，可得D-BC DF CE 故选：B 【典例12】226九年级上苏器州期中如图，在ABC中，D∥4C,且装宁，网物的值为 AB D B E 【答案】3 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键.平分线分线段成比例定理是两条直 线被一组平行线（至少三条）所截，所得的对应线段成比例，直接利用此定理求解即可. 【详解】解：在ABC中，ED∥AC,且BE=, BD BE 1 AD EC2 BD 1 AB3 故答案为： 3 【典例1-3】(23-24九年级上江苏南京期末)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,B,F,D在一条直线上. AB=10,CD=15. 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 E D F ()求 DF的值， 2)求EF的长. 【华米1u (2)6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例： 由4B∥CD利用平行线分线段成比例，可得出能-，由AB∥EP,再利用平行线分线段成比创，即可求 架的原， (2)由CD∥EF,利用平行线分线段成比例，可得出F=8F CD=BD结合CD=I5,5=即可求出EF的长. 【详解】(1)：AB∥CD, AE=AB=10=2 DE DC 153' 又：AB∥EF, BFAE2 DF DE3 (2)CD∥EF, EF BF CD BD 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 又：CD=15, BF_2 DF 3 ·EF=CD.BF 2 =15× BD 2436 【变式1-1】(25-26九年级上江苏无锡·月考)如图，a∥b∥e,m分别交a、b、c于点A、B、C,n分别交a、 b、C于点D、E、F,若AB=6,BC=4,EF=3,则线段DE的长为() 77 E B A.4.5 B.5.5 C.7.5 D.10.5 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键. 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可. 【详解】解：a∥b∥c, AB DE BC EF 又：AB=6,BC=4,EF=3, 6 DE 43’ .DE=4.5, 故选：A. 变式1-2】2526九年级上江苏无锡期中)如图，1∥6∥4，仁-，若DE=9cm,则DP cm 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【答案】15 分所】根据平行线分线段成比定理晒春-A化-求得BP=6cm,则可得DP=DF+EF=Sm,本题主爽 考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键. 【详解】解：：（∥∥1， DE AB 3 ÷EF=BC=2' .DE =9cm 93 EF2 解得EF=6cm, .DF DE EF=9+6=15cm 故答案为：15. 【变式1-3】(24-25九年级上江苏泰州阶段练习)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,P为BC边上 的动点（与B、C不重合），PD∥AB,交AC于点D,连接AP,设CP=x,△ADP的面积为S. B (I)用含x的代数式表示AD的长； 10