4.5.2用二分法求方程的近似解 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕“用二分法求方程的近似解”展开，核心知识点包括二分法的概念、理论依据及求解步骤。课堂导入通过复习零点存在定理巩固旧知，再引导学生阅读课本并思考方法、依据与步骤，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料亮点在于新知探究与分层训练结合，通过概念辨析例题、跟踪训练及随堂检测，覆盖二分法适用条件、区间确定等关键能力。注重通过步骤训练提升数学运算素养，结合函数值表格分析培养数据分析能力，体现用数学思维思考、用数学语言表达的学科特色，习题设计层次分明，便于学生自主学习和教师教学评估。

4.5.2用二分法求方程的近似解 1、 教学目标及重、难点 1. 教学内容：用二分法求方程的近似解. 2. 教学目标：①探索用二分法求方程近似解的思路.②能借助计算工具用二分法求方程的近似解.③了解用二分法求方程近似解具有一般性. 3.教学重点：掌握用二分法求方程近似解的一般步骤． 4.教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 5.核心素养：通过本节内容的学习，掌握求方程近似解的方法，提升数据分析素养和数学运算素养． 二、课程导入： 1. 复习引入：零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)＜0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 2. 阅读课本P144-145，思考：我们用什么方法求方程的近似解？这种方法的理论依据是什么？一般步骤是什么？ 三、新知探究 知识点（一）：二分法的概念 1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2. 二分法的依据：函数零点存在定理， 3. 适用范围：仅适用于函数的变号零点(函数图象通过零点时函数值的符号改变)． 知识点（二）：用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点x0所在的初始区间[a，b]，验证f (a) f (b)＜0． （2）求区间(a，b)的中点c． （3）计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f (a) f (c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f (c) f (b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注意： ①为了刻画与精确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a－b|＜ε可知，区间[a，b] 中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值. ②正确理解精确度ε的含义：例如精确度ε=0.01时，并不是要求零点x0保留到小数点后两位，而是零点所在的区间长度小于0.01. 例1. 已知函数y＝f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 【感悟提升】用二分法求函数零点应具备的条件： (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 【跟踪训练1】下列每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 例2.（1）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是(　　) A． B． C． D． （2）已知函数f (x)＝x－e-x的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 f(x) 0.6321 －0.1065 0.2776 0.0897 －0.0073 那么函数f (x)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为(　　) A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 （3）用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　) A．|x1－x2|＞ε B．|x1－x2|＜ε C．x1＜ε＜x2 D．x2＜ε＜x1 （4）已知函数，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练2】 1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　) A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝x3 C．f (x)＝|x| D．f (x)＝ln x 2．设函数f (x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中， 有f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的解所在的区间为(　　) A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 3. 在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似解(精确度为0.001)时，若我们选取初始区间是 [1.7，1.8]，为达到精确度要求，至少需要计算的次数是________． 四、随堂检测 1. 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　) 2. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是(　　) A． B． C． D． 3. 一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为(　　) A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 5. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为(　　) A． B． C． D． 6. 设，满足.若函数存在零点，则(　　) A． B． C． D． 7．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　) A．(0，0.5)，f (0.25) B．(0，1)，f (0.25) C．(0.5，1)，f (0.75) D．(0，0.5)，f (0.125) 8. 在用二分法求方程f (x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)． 五、课堂小结： 通过本节课的学习，你有什么收获？掌握了哪些新方法、新题型?你能自己归纳总结一下吗？ 6、 课后作业 1. 复盘课堂，整理笔记，梳理知识点. 2. 金版教程《课时作业》. 学科网（北京）股份有限公司 $