精品解析：广东省中山市迪茵公学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（港澳班）

2023-2024学年广东省中山迪茵公学高二上学期数学期中考试(港澳班) 一、单选题 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 3. 已知向量，，且，那么等于（ ） A. B. 11 C. D. 4. 将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是 A. x+y-1=0 B. x+y+3=0 C. x-y+1=0 D. x-y+3=0 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或1 6. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 14 7. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 9. 在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法不正确的是（    ） A. 若两个不同平面的法向量分别是，且， 则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：______． 14. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________. 15. 直线与圆相交所截得弦长为______. 16. 若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 17. 过点作圆的切线，则切线方程是______________． 18. 如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 三、解答题 19. 已知向量，，，求 （1） （2） （3）与夹角的余弦值 20. 已知. （1）求点到直线的距离； （2）求的外接圆的方程. 21. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 22. 直线，圆. （1）证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； （3）设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省中山迪茵公学高二上学期数学期中考试(港澳班) 一、单选题 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用过两点的直线的斜率公式计算即可. 【详解】因为点，，所以根据斜率公式得直线的斜率为. 故选：A. 2. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与两圆半径和与差的绝对值进行大小比较，可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则， 因此，圆与圆相交. 故选：C. 3. 已知向量，，且，那么等于（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由可得，从而解出，得到的坐标，再由公式求模长. 【详解】因为向量，，且， 所以，即，解得， 所以，所以 故选：D 4. 将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是 A. x+y-1=0 B. x+y+3=0 C. x-y+1=0 D. x-y+3=0 【答案】C 【解析】 【详解】直线过圆心(1,2)，选项C符合题意． 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行得系数间的关系，解之即可. 【详解】若直线与直线平行， 则，且， 解得. 故选：A. 6. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义求解． 【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为， 故选：C 7. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量求法即可求解. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 8. 设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用勾股定理即可求解． 【详解】由圆的方程可得，故， 为原点，在圆上，与圆相切， 则. 故选:A． 9. 在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 10. 关于空间向量，以下说法不正确的是（    ） A. 若两个不同平面的法向量分别是，且， 则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量法判断面面关系和线面关系判断AC，根据共面向量的定义即可判断BD. 【详解】对于A，由于，且， 故，进而，故A正确， 对于B，由得， 故， 进而，故向量共面，进而P，A，B，C四点共面，故B正确， 对于C，由，所以，故或，C错误， 对于D，若这两个向量不共线，则空间中三个不共线的向量可以构成空间中的一组基底向量， 这与条件矛盾，故两个向量共线，D正确. 故选：C 11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点坐标，由到圆心距离减去圆半径可得． 【详解】设点A关于直线的对称点，的中点为 故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为. 故选：B． 12. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，在求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即，令，解得， 所以直线恒过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 13. 写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由，任取一个值，求出相应的值，写出标准方程即可． 【详解】由题意，即，又，例如，则， 标准方程可为． 故答案为：．（答案不唯一） 14. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可. 【详解】联立，解得，即交点坐标为. 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 所以所求的直线方程是：，即. 故答案为：. 15. 直线与圆相交所截得弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中求解可得所求． 【详解】由题意得圆的方程即为， 所以圆心为，半径， 故圆心到直线的距离， 因此所求弦长为． 故答案为． 【点睛】当直线和圆相交求弦长时，一般用几何法求解，即先求出圆心到直线的距离（弦心距），然后在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中求解．另外，也可利用代数法求直线和圆相交时的弦长，属于基础题． 16. 若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答. 【详解】圆的圆心，半径， 点C到直线的距离， 所以圆C上点P到直线l距离的最大值为. 故答案为：7 17. 过点作圆的切线，则切线方程是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】斜率不存在时直接验证，斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】由已知圆的圆心为，半径为1 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为1，符合； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到其距离为，解得， 即直线方程为 综合得切线方程是或 故答案为：或 18. 如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】取得中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面. 所以平面，又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形，则，，，， 所以，， 所以 ， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力． 三、解答题 19. 已知向量，，，求 （1） （2） （3）与夹角的余弦值 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算的坐标表示分析运算； （2）根据数量积的坐标运算求解； （3）根据向量夹角的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 由题意可得：， 所以. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以与夹角的余弦值. 20. 已知. （1）求点到直线的距离； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果； （2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果. 【小问1详解】 直线的方程为， 化简可得， 所以点到直线的距离. 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 将的坐标代入，得 ，即 解得； 故所求圆的方程为. 21. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 直三棱柱中，平面，又，所以两两互相垂直， 以A为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， ， 即. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可得证； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由点D是线段BC的中点，可得， 则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 又平面的一个法向量可取， 所以. 所以平面和平面夹角的余弦值为. 22. 直线，圆. （1）证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； （3）设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. 【答案】（1） 由题意知可化为， 故解得直线恒过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线化为，令即可求解； （2）当与垂直时，直线被圆截得的弦最短，根据即可求解； （3）方法1（几何法）：当时，有最大值，此时面积有最大值； 方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到直线的距离的方程，利用二次函数的最值问题即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 所以圆的圆心为，半径， 如图所示： ， 当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直， ， ，即. 【小问3详解】 方法1（几何法） ，且为钝角， 当时有最大值，即面积有最大值， 此时同（2），即. 方法2 设圆心到直线的距离为，则， ， 当时有最大值，此时同（2）， 或者由，，解得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $