高一数学上学期第三次月考卷（沪教版必修第一册1.1～5.3，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 强化卷·参考答案 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 或 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13 14 15 16 A C D C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】(1)1，(2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 18．【答案】(1)，(2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 19．【答案】(1)，(2)见解析. 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据偶函数满足的关系式可得代入求解. （2）奇函数，求出时的解析式，当时，根据代入求解析式. 【详解】（1）因为函数是偶函数 所以 （2）可能为奇函数 因为是奇函数，所以，即 当时，根据奇函数的表达式得 综上： 20．【答案】(1)40，(2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 21．【答案】(1)具有，理由见解析；(2)；(3). 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）利用解方程去判断是否存在，即可说明理由； （2）利用方程解的存在性，再去讨论区间的端点范围即可； （3）利用分类讨论去排除的可能性，从而去讨论时方程解的存在性,即可作出判断. 【详解】（1）假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以存在，使得，且 ， 解得，因为，所以， 又因为，所以， 所以正整数m的最小值为； （3）作出函数图象： 当时，， 当时，存在，使得， 则必有，此时，而此时，必有， 则不可能成立，所以， 当时，假设存在，使得， 此时由可得：，解得， 此时存在，使得成立，故的最大值为. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册1.1~5.3。 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1．函数的定义域为 . 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2．已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】利用待定系数法求出的解析式，进而求出. 【详解】设，则，得， ，故. 故答案为：. 3．若函数则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】由，代入对应的解析式即可. 【详解】由，则. 故答案为： 4．化简： （用分数指数幂表示，其中） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂与根式的相互转化及同底的指数幂的运算性质计算即可得解. 【详解】. 故答案为： 5．函数的图象恒过定点 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】对于函数，令可得，此时， 故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 6．方程的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数函数单调性的应用 【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原方程解集为即可. 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为， 所以， 则， 由对数函数性质得 在上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为. 故答案为： 7．已知，，则的最小值是 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 8．函数的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 9．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 10．已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、函数与方程的综合应用 【分析】根据分段函数图像结合已知得出的范围，在根据，得出的关系，即得出，再根据二次函数在区间上的值域得出答案. 【详解】作出函数的图像如下： 若且， 则当，得， 则，， 且，即， 则， 令，， 则且， 即， 故答案为：. 11．已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围. 【详解】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 12．设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分类讨论与时的两种情况，利用函数图像，即可求解. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：当直线与相切时，只有一个交点，故， 故，解得， 当时，在单调递减，在单调递减，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：直线与始终有交点， 综上可得：或 故答案为：或. 二、选择题：本题共4小题，第13题、第14题每小题4分，第15题、第16题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，则，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14．下列哪一组中的函数与是同一个函数（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数的概念逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，从而判断是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故A不符合； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故B不符合； 对于C，的定义域均为，又，故函数与是同一个函数，故C符合； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故D不符合. 故选：C. 15．已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】依题意可得关于的方程的两根为、且，利用韦达定理求出参数的值，再根据偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为、且， 所以，解得； 故， 令，即，解得， 所以的定义域为. 故选：D. 16．已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由集合的表示可知，计算和的区间长度差得到区间长度较长，最后由解得最终结果. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又， 解得. 故选：C. 三、解答题：本题共5小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 18．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 19．已知定义域为的函数，当时，． (1)若函数是偶函数，求； (2)是否可能是奇函数？若可能，求的表达式；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析. 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据偶函数满足的关系式可得代入求解. （2）奇函数，求出时的解析式，当时，根据代入求解析式. 【详解】（1）因为函数是偶函数 所以 （2）可能为奇函数 因为是奇函数，所以，即 当时，根据奇函数的表达式得 综上： 20．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 21．已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）利用解方程去判断是否存在，即可说明理由； （2）利用方程解的存在性，再去讨论区间的端点范围即可； （3）利用分类讨论去排除的可能性，从而去讨论时方程解的存在性,即可作出判断. 【详解】（1）假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以存在，使得，且 ， 解得，因为，所以， 又因为，所以， 所以正整数m的最小值为； （3）作出函数图象： 当时，， 当时，存在，使得， 则必有，此时，而此时，必有， 则不可能成立，所以， 当时，假设存在，使得， 此时由可得：，解得， 此时存在，使得成立，故的最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册1.1~5.3。 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1．函数的定义域为 . 2．已知幂函数的图象过点，则 ． 3．若函数则 ． 4．化简： （用分数指数幂表示，其中） 5．函数的图象恒过定点 . 6．方程的解集为 . 7．已知，，则的最小值是 8．函数的值域是 ． 9．已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 10．已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ． 11．已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是 ． 12．设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 二、选择题：本题共4小题，第13题、第14题每小题4分，第15题、第16题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列哪一组中的函数与是同一个函数（   ） A．， B． C． D． 15．已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（    ） A．取遍任意大于的实数 B． C． D． 三、解答题：本题共5小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 19．已知定义域为的函数，当时，． (1)若函数是偶函数，求； (2)是否可能是奇函数？若可能，求的表达式；若不可能，请说明理由． 20．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 21．已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． / 学科网（北京）股份有限公司 $