高一数学上学期第三次月考卷（沪教版必修第一册1.1～5.3，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册1.1~5.3。 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1．已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 2．若幂函数在上是增函数，则实数 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 3．已知函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 4．化简 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用指数运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 5．已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 【答案】9 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图象经过点， 所以解得， 所以， 因为该函数图象经过点，所以解得， 故答案为:9. 6．方程的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数函数单调性的应用 【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原方程解集为即可. 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为， 所以， 则， 由对数函数性质得 在上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为. 故答案为： 7．若，则取得最小值时， . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据对数运算的性质计算出与的关系式，再利用乘“1”法与基本不等式计算即可. 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 8．已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由题意在R上恒成立，求得，再结合指数函数、分式型函数的性质求的值域. 【详解】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 9．若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数，结合指数函数单调性列式求解. 【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 10．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】表示出二次函数的对称轴，然后列出不等式即可求解. 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 11．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 ． 【答案】50 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】结合“有序好数对”的定义，确定的关系：和，结合所给集合找出符合条件的数组即可. 【详解】由三个非零且互不相等的实数，满足，且满足， 可得，消去，并整理得， 所以（舍去）或，此时有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，则有， 故这样的数对共50组． 故答案为：50. 12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、函数新定义 【分析】不等式可化为，分三类情况讨论解集，由不等式的解集为，求的取值范围. 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 二、选择题：本题共4小题，第13题、第14题每小题4分，第15题、第16题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是区级三好学生， 但是同学甲是区级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的充分非必要条件. 故选：B 14．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】由函数的定义域和解析式逐一判断即可. 【详解】A：定义域为，的定义域为，故A错误； B：定义域为，的定义域为，故B错误； C：两函数的定义域都为，又，所以两个函数表示同一函数，故C正确； D：当时，无意义，而,故D错误； 故选：C 15．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 16．我们把形如的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、函数新定义 【分析】根据题意，求得“囧点”坐标，当“囧圆”与在x轴上方曲线相切时，可得圆心到函数图象的最小距离，进而可求得“囧圆”的面积，当“囧圆”与图象的下支相切时，可得切点坐标，即可求得“囧圆”的面积，分析即可得答案. 【详解】当时，， 令，解得，则“囧点”为，作出图象，如下图所示： 当“囧圆”与在x轴上方曲线相切时，不妨设在第一象限的切点为， 则其到“囧点”的距离 =， 当，即时，解得或（舍）， 所以当时，，此时 “囧圆”的面积， 当“囧圆”与图象的下支相切时，且切点为， 此时半径，此时 “囧圆”的面积， 所以所有的“囧圆”中，面积的最小值为. 故选：B 【点睛】解题的关键是理解题意，通过“囧函数”、 “囧点”、 “囧圆”的定义，考查函数图象与性质、圆的性质等知识，遇到新定义问题时，需耐心读题，分析特点，按照新定义所给信息进行分析，计算，属中档题. 三、解答题：本题共5小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由绝对值不等式求解； （2）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解； （3）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解. 【详解】（1）当时， 则． （2）因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （3）由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或，则或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 18．已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，偶函数 (2)上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 19．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数，结合分段函数思想来求解即可； （2）利用定义法来作差证明函数的单调性； （3）利用函数的奇偶性和单调性以及定义域来求解不等式即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，则， 所以， 再由，可得，即， 所以当时，， 当时，由奇函数可得：， 综上可得：当时，； （2）任取，不妨设， 则 ， 因为，所以，即， 又因为，所以，即， 所以有， 根据定义有函数在上单调递增； （3）由函数是定义在上的奇函数，可得， 又因为函数在上的单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 20．当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)方案二更合理，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【详解】（1）由题意，. （2）方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 21．若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数新定义 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义判断即可. （2）利用“平均值函数”的定义列式，求出在有解的范围即可. （3）利用“平均值函数”的定义及均值点列式，推理求出即可. 【详解】（1）依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 50 二、选择题：本题共4小题，第13题、第14题每小题4分，第15题、第16题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13 14 15 16 B C A B 三、解答题：本题共5小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】(1)，(2)，(3)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由绝对值不等式求解； （2）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解； （3）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解. 【详解】（1）当时， 则． （2）因为， ， 又，则，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （3）由可得：， 当时，，此时，而， 若，则满足题意， 当时，，不等式解集为，此时满足， 所以符合题意； 当时，，此时，而， 若，则或，解得或，则或， 综上所述：实数的取值范围为：或. 18．【答案】(1)，偶函数，(2)上单调递减，在上单调递增，证明见解析，(3) 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可；再根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （2）分离函数，用定义即可判断的单调性； （3）再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 19．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数，结合分段函数思想来求解即可； （2）利用定义法来作差证明函数的单调性； （3）利用函数的奇偶性和单调性以及定义域来求解不等式即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，则， 所以， 再由，可得，即， 所以当时，， 当时，由奇函数可得：， 综上可得：当时，； （2）任取，不妨设， 则 ， 因为，所以，即， 又因为，所以，即， 所以有， 根据定义有函数在上单调递增； （3）由函数是定义在上的奇函数，可得， 又因为函数在上的单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 20．【答案】(1)，(2)方案二更合理，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）分别计算出方案一与方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【详解】（1）由题意，. （2）方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 21．【答案】(1)是，理由见解析，(2)，(3) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数新定义 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义判断即可. （2）利用“平均值函数”的定义列式，求出在有解的范围即可. （3）利用“平均值函数”的定义及均值点列式，推理求出即可. 【详解】（1）依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册1.1~5.3。 一、填空题：本题共12小题，第1题~第6题每小题4分，第7题~第12题每小题5分，共54分。 1．已知函数的定义域为，则的定义域为 2．若幂函数在上是增函数，则实数 ． 3．已知函数，则 ． 4．化简 . 5．已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 6．方程的解集为 . 7．若，则取得最小值时， . 8．已知函数的定义域为R，则函数的值域为 9．若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 10．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 11．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 ． 12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 二、选择题：本题共4小题，第13题、第14题每小题4分，第15题、第16题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．已知上海市评选市级三好学生时，申报条件之一为：申报者须获得区级三好学生资格.若甲同学是松江区的一名高中生，则“甲是上海市级三好学生”是“甲是松江区级三好学生”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．我们把形如的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题：本题共5小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合． (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 18．已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 19．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)解不等式. 20．当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围； (2)使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理？并说明理由. 21．若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． / 学科网（北京）股份有限公司 $