精品解析：宁夏银川市唐徕中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 教研组长： 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得， 所以集合， 又集合， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题得， 命题“，”的否定为：，． 故选：D 3. 下列式子的值比的值大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 4. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 5. 函数的所有零点之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 7. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的切线求出切点坐标及值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 函数，求导得，则，解得，则切点为， 因此，所以. 故选：B 8. 已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与图象共有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，与解析式联立判断AB；求出切线的方程并与解析式联立，确定点与关系求解判断C；确定直线与图象位置关系判断D. 【详解】根据图象的对称性不妨取点在第一象限，在第二象限，在第四象限，在第三象限， 求导得，， 函数图象在处切线的方程，即， 函数图象在B处切线的方程，即， 对于AB，切线与图象相交于点， 由，得， ， ，AB正确； 对于C，由，得， 而点在第三象限， 解得， 即与关于原点对称， 由，得是AB的中点， 因此，C正确； 对于D，点， 直线斜率， ，即直线与相切， 则直线与图象只有1交点，D错误. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可. 【详解】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个二次的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在上恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为，可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，且，则 C. 若，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若，且，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性和最值.对于A：举反例说明即可；对于B：可知，整理可得，结合对数不等式分析判断；对于C：根据的单调性可得，构建，利用导数求最值即可；对于D：分析可知，，，进而可得，构建，利用导数求最值即可. 【详解】因为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且； 又因为的定义域，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 对于选项A：因为，则， 所以在上不是增函数，故A错误； 对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根， 可知，，且， 整理可得，即， 结合对数等式，可得，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且，可得， 又因为在内单调递增，可得，则， 构建，则， 因为，可知： 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 可得，所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若，且， 由图象可知：， 则，即，可得， 且，即，可得， 又因为， 且，在内单调递增，可得， 则， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分 12. 从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】先根据题意写出所有事件,再写出能确定一个平面的所有事件,根据古典概型的概率计算公式,计算即可. 【详解】解:由题知,记正方形四个顶点分别为,记中心为, 画图如下: 用表示五个点中任选三个的结果数, 则五个点中任选三个的所有事件为:, , ,共10种, 其中能确定一个平面的事件有: , , 共8种, 所以能确定一个平面的概率. 故答案为: 13. 已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二次函数的图象，开口向上，可知最大值一定在端点处取到，再结合不等式的加法性质即可求得的最大值. 【详解】因为过点，所以， 所以，即． 因为是开口向上的抛物线，所以． 由得，两式相加得，解得， 当时，有，满足题意， 即的最大值为1． 故答案为：1 14. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为曲线位置问题，再研究曲线相切的情况，利用导数的几何意义求出的取值，最后再分析曲线的性质得到取值范围即可. 【详解】因为存在实数，使得恒成立， 所以， 若满足条件，只需在曲线的下方， 且在曲线的上方即可， 但我们只需找到与曲线均相切时的的值即可， 我们先研究与曲线相切时的情况， 设切点为，，由导数的几何意义得， 将代入中，得到，解得， 故，解得，代入中，得到， 设当与的切点为，， 将代入中，得到， 由导数的几何意义得，解得， 而在曲线的下方，且在曲线的上方， 则越小，越大，更容易满足题意，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； 【答案】（1）； （2）函数在上为减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标，得到方程组，求出，得到解析式； （2）利用定义法证明函数单调性步骤为取值，作差，判号，下结论. 【小问1详解】 ∵函数过点， ∴，解得， . 【小问2详解】 函数在上为减函数，理由如下： 设任意，且， 则． ， ， ，即， 函数在上为减函数． 16. 某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为，设n年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a倍. （1）请用a，n表示x. （2）若，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？ 参考数据：，. 【答案】（1）（2）2033 【解析】 【分析】 （1）每年的产量比上一年减少的百分比为，那么n年后的产量为2019年的，即得；（2）将 代入（1）中得到式子，解n，n取正整数。 【详解】（1）依题意得，即，即 . （2）由题得，即 ， 则，即 ， 则，又， ，∴n的最小值为14. 故至少要到2033年才能使年产能不超过2019年的25%. 【点睛】本题是一道函数实际应用题，注意求n时，n表示某一年，要取整数。 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值； 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面ABCD的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可． 【小问1详解】 根据题意，建立以D为原点， 分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系， 因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 所以，，，， 因为E是棱BC的中点， 所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，得， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）得平面的一个法向量为， 由题可设平面ABCD的一个法向量为， 所以， 所以， 所以， 所以平面与平面ABCD的夹角的正切值为． 18. 某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲，乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类；乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率. （1）若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异？ （3）环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1） （2） 有差异 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布计算甲社区人中恰好人正确分类的概率即可. （2）利用独立性检验判断两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异，再通过列联表计算统计量进行独立性检验以解决. （3）利用超几何分布求概率，再列出分布列，求数学期望即可. 【小问1详解】 已知甲社区正确分类概率的估计值，则恰好人正确分类的概率. 【小问2详解】 提出零假设：两个社区居民对垃圾分类的准确率没有差异. 整理列联表：根据题目所给信息，整理得到两个社区居民对垃圾分类的准确率的列联表， 其中甲社区正确分类80人，不正确分类20人，合计100人； 乙社区正确分类90人，不正确分类60人，合计150人；总计正确分类170人，不正确分类80人，总人数250人. 根据统计量的计算公式（其中是样本容量，、、、分别是列联表中的四个数据），在本题列联表中，，，，，则. 已知小概率值对应的临界值，因为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异. 【小问3详解】 甲社区不能正确分类的有20人，乙社区不能正确分类的有60人，共人.按照分层抽样抽取人，则从甲社区抽取人，从乙社区抽取人.为人中来自甲社区的人数，则的可能取值为，，. 所以的分布列为： X 0 1 2 可得： 19. 已知函数有两个极值点，且． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，所以①，②， ①-②得， 令，则，所以，， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，得， 又，所以，即，得证． （解法不唯一，请酌情给分） 【解析】 【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解； （2）由，，得，令，用表示，代入，构造函数证明. 【小问1详解】 由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示， 所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数a的取值范围是． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 命题人： 教研组长： 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列式子的值比的值大的是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 5. 函数的所有零点之和为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线是曲线的一条切线，则（ ） A. -4 B. 4 C. 3 D. -3 8. 已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与图象共有两个交点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，且，则 C. 若，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分 12. 从正方形四个顶点及中心共五个点中任选三个,能确定一个平面的概率是______. 13. 已知二次函数（）的图象过点，记函数在上的最大值为，若，则的最大值为_____． 14. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； 16. 某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为，设n年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a倍. （1）请用a，n表示x. （2）若，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？ 参考数据：，. 17. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值； 18. 某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查.已知该市有甲，乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展.现从甲社区随机抽取100人，乙社区随机抽取150人，统计正确分类人数如下：甲社区：80人正确分类；乙社区：90人正确分类.假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率. （1）若从甲社区中任选3人，求恰好2人正确分类的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异？ （3）环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取8人，再从这8人中选择3人进行深度访谈.设X为3人中来自甲社区的人数，求X的分布列及数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 19. 已知函数有两个极值点，且． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $