精品解析：湖北省襄阳市楚汉高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

襄阳市楚汉高级中学2024－2025学年高二年级（下） 3月月考数学试题 （3月26日B卷） 命题人：惠海玉 审题人：王爱成 时限：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或3 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 4. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 5. 现有粉玫瑰、红玫瑰、香槟玫瑰、紫玫瑰、白玫瑰、蓝玫现各1支，从中取5支放入图中的5根试管中：每根试管放1支，则不同的放置方法数为（ ） A. 6 B. 120 C. 360 D. 720 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 7. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用电脑软件将，两个函数图象画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A. 1，4，7，10 B. C. D. 10，8，6，4，2 10. (多选题)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为（ ） A. B. C. D. 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 三、填空题 12. 一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有________种． 13. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________． 14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 四、解答题 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 16. （1）求值：; （2）解方程：． 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值. 18. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 设为实数，已知方程表示椭圆. （1）求的取值范围； （2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市楚汉高级中学2024－2025学年高二年级（下） 3月月考数学试题 （3月26日B卷） 命题人：惠海玉 审题人：王爱成 时限：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项即可求解. 【详解】根据，a，可得：，； 解得，故. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数公式和组合数公式计算即可. 【详解】因为，，，所以， 对比选项进行讨论有： 当时，，不成立， 当时，，成立， 当时，，成立， 所以或. 故选：. 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的线性运算求出的坐标，再根据数量积的坐标运算求解. 【详解】，， ，即， 所以， . 故选：C. 4. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可. 【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入 2个空中， 故有种不同的排法. 故选：C 5. 现有粉玫瑰、红玫瑰、香槟玫瑰、紫玫瑰、白玫瑰、蓝玫现各1支，从中取5支放入图中的5根试管中：每根试管放1支，则不同的放置方法数为（ ） A. 6 B. 120 C. 360 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】依题意可得不同的放置方法数为. 故选：D 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为， 切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2. 故选：C. 7. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 8. 笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用电脑软件将，两个函数图象画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项. 【详解】因为，， 所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分． 由，得，可得，解得. 所以函数的定义域为，且， 由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除B，C， 又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大， 故只有A选项符合题意，D选项不符合题意. 故选：A． 二、多选题 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A. 1，4，7，10 B. C. D. 10，8，6，4，2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 10. (多选题)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别应用特殊元素优先法，间接法，特殊元素优先法判断各个选项即可. 【详解】特殊元素优先法:按甲是否在最右端分两类： 第一类，甲在最右端，有种方法； 第二类，甲不在最右端，甲有个位置可选，乙也有个位置可选，其余5人有种排法，即种方法．故有种方法,A选项正确． 间接法：无限制条件的排列方法共有种， 而甲在最左端的排法分别有种，乙在最右端的排法分别有种， 甲在最左端且乙在最右端的排法有种． 故有种方法,B选项正确,D选项错误． 特殊元素优先法：按最左端先安排分步． 对于最左端除甲外有种排法，余下六个位置全排列有种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有种． 故有种方法，D选项正确. 故选:ABC 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有________种． 【答案】120 【解析】 【分析】根据排列的意义问题可转化为从6个元素中取出3个元素的排列数求解 【详解】由题意，问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数， 故有种． 故答案为：120 13. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义有，即可求参数. 【详解】由题设，且. 故答案为： 14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：4 四、解答题 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 【小问4详解】 ． 16. （1）求值：; （2）解方程：． 【答案】（1）165；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于； （2）由排列数计算公式可得，可得. 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，同时， 解得. 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1）； （2）当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 【解析】 【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程； （2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值. 【小问1详解】 由，得切点为， ， 从而切线的斜率， 故所求的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，且， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如下表 x 0 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 0 单调递增 作出的图象，如图 由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 18. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 19. 设为实数，已知方程表示椭圆. （1）求的取值范围； （2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果. 【小问1详解】 表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $