精品解析：广东省珠海市南屏中学2022-2023学年下学期九年级数学一模考试试卷

2022-2023学年第二学期初三数学一模考试试卷 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 如图几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据，1，0，1，2的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 5. 如图，点O是与的位似中心，若，（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是() A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（ ） A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 点向上平移3个单位得到点的坐标是 ___________． 12. 分解因式：______． 13. 已知一个正多边形一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 14. 方程组的解是___________． 15. 如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 _____． 三、解答题（一）（每小题8分共24分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点P，并且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 18. 某中学九年级1班开展了“A助老助残、B社区服务、C生态环保、D网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动）．收集整理数据后，绘制了如图不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）该班的人数是 ___________人 （2）在扇形统计图中，“助老助残”部分对应的圆心角的度数为 ___________度； （3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用画树状图或列表的方法求出他们参加同一志愿服务活动的概率． 四、解答题（二）（每小题9分共27分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 20. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号机器人多少台？ 21. 已知在ABC中，O为BC边中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 五、解答题（三）（每小题12分共24分） 22. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为切线； （3）点F是与的交点，若，求． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； （3）点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年第二学期初三数学一模考试试卷 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 如图几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从几何体的正面看得到的图形，由此解答即可． 【详解】解：从几何体的正面看得到的图形有两层，其下层有三个小正方形，上层最左边有一个小正方形，则C是该几何体的主视图． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键． 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得． 【详解】解：由题意， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3. 一组数据，1，0，1，2的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义，即可得出答案． 【详解】解：将数据从小到大排列，可得：，0，1，1，2， ∵最中间的数为1， ∴这组数据的中位数为1． 故选：B 【点睛】本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°， ∴∠BOC＝2∠A＝100°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 如图，点O是与的位似中心，若，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似性质，以及相似三角形性质，根据题意得到，再结合相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点O是与的位似中心， ， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 7. 已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 8. 关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式，且二次项系数． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． ∵方程有实数根，∴， 解得． ∴的取值范围是且． 故选：D． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确． 【详解】A. ，故A不正确； B. ，故B正确； C. ，故C不正确； D. ，故D不正确； 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键． 10. 春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（ ） A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解：，高为10丈， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分共15分） 11. 点向上平移3个单位得到点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加，据此求解，即可解题． 【详解】解：点向上平移3个单位，横坐标不变，为；纵坐标增加3，变为， 故点的坐标为． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 13. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 14. 方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是关键；利用加减法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：； 把代入②得：， 解得：， 故方程组的解为． 15. 如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 _____． 【答案】7083 【解析】 【分析】此题是找规律的题，长方形的周长是14，长是6，宽则为1，翻滚2次的和为7，翻滚2022次的和为7077，再翻滚1次即翻滚2023和为7078， 【详解】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应，点B 对应5． 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； …… 翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082； 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083． 故答案为：7083． 【点睛】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律． 三、解答题（一）（每小题8分共24分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值．先根据乘法公式把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式 17. 如图，在正方形中，E，F分别是上的点，相交于点P，并且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质证明，根据全等三角形性质即可证明； （2）利用勾股定理算出，再利用等面积法即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 18. 某中学九年级1班开展了“A助老助残、B社区服务、C生态环保、D网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动）．收集整理数据后，绘制了如图不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）该班的人数是 ___________人 （2）在扇形统计图中，“助老助残”部分对应的圆心角的度数为 ___________度； （3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用画树状图或列表的方法求出他们参加同一志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了折线图、扇形统计图、画树状图求概率，解题关键在于从统计图中获取需要的信息． （1）利用生态环保的人数除以其所占百分比，即可得到该班的人数； （2）利用乘以“助老助残”的人数所占比，即可得到“助老助残”部分对应的圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“助老助残”部分对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由图知，总共有种情况，其中小明和小丽参加同一志愿服务活动的情况有种， 他们参加同一志愿服务活动的概率为． 四、解答题（二）（每小题9分共27分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求面积； （3）当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； 【小问3详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 20. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运 （2）至少购进17台A型机器人 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运． 答：A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运． 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， ， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进17台A型机器人． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． 21. 已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， ，，， ，， ， ， ，， ， ． （2）结论成立． 理由：如图2中， ，， ， ， ， ，， ， ． （3）如图3中， 由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 五、解答题（三）（每小题12分共24分） 22. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； （3）点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 【答案】（1） （2） （3），或，或，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式的求解、对称点的几何性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法、对称点的中点与垂直关系、正方形的边长与角度特征是解题关键． （1）通过待定系数法求解抛物线解析式，将已知点代入抛物线的一般式，代入后得到关于系数的方程组，解方程组即可得到系数的值，进而确定解析式； （2）根据轴确定点E纵坐标，从而设点E坐标，结合题干运用轴对称性质，在中利用勾股定理即可求解； （3）根据 “以为边的正方形” 的条件，明确需与邻边垂直且长度相等，将正方形的问题转换为更简洁的等腰直角三角形问题，再通过直角顶点的分类讨论，利用全等三角形性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点与点代入抛物线中， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由题意得点D与点F关于直线对称， ，， ，轴， 当时， ， 解得，， ， ， ，， 在中，， 解得， ，， 设点，，， 在中，， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：由题意得只能为正方形边长， 即只需考虑等腰的存在情况， 当点O为直角顶点时，为等腰直角三角形， 如图，过点P作，过点E作， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 设点， 有，， ， 将点P代入抛物线得， 解得， ； 当点P为直角顶点时， 如下图，过点P作轴，过点E作， 同理可证， ，， 设点， 有，， ， 代入抛物线解析式得 解得，或， 时情况如下图所示， ，或， 当点E坐标为时也满足条件，如下图所示， 综上所述，点E坐标为，或，或，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $