培优06 含参函数讨论单调性6种重难题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优06含参函数讨论单调性 》氵 划重点·冲高分 6.主导为对数函数 1.主导为一次函数 5.主导为二次指数函数 含参函数讨 论单调性 2.主导为可因式分解的二次函数 4.主导为指数函数 3.主导为不可分解的二次函数 解题招 讨论的分类标准： ①最高次的系数是否为0：②导数等于0有根还是无根；③多根情况要比较两根大小；④根是否在定义域或 指定的区间内 讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式 分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0： 第三步：令f(x)=0,确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况： 第五步：.进行综上所述，情况相同的要合在二起， 题型1主导为一次函数 11 1.已知函数f9=nx-mx,8(x)=2 2 2 ①若m=1,求曲线'=f在x=1处的切线方程： 2)讨论f。 的单调性： 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知函数f()=al血(x++x(a∈R) （)时论函数)的单调性 3.已知函数f)=ar+血(x+刊，x>-1, (①)讨论函数儿的单调性： 4.已知函数fx=x-nx ()讨论 的单调性： 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知函数f(x)=lnc-a-l. )当a=0时，求曲线'=fy在点1f)处的切线方程 2求刊 的单调区间； 题型2主导为可因式分解的二次函数 6.已知函数 f(x)=Inx+ax2+(2a+1)x 当a=- f(x) 时，求 的单调区间 f(x) (2)讨论的单调性： 7.已知函数f刘=ar2+1-4ax-4nx. )诺a20,求/的单调区间： 3/12 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知函数f()=r2-(2+ar+2ana>0. )当a=2时，求曲线'=W在点/0)处的切线方程： 1(x) (2)求函数的单调递增区间. 9.设函数/Go=nx+号ax2+(3a+D f(x) )”=时，求函数的最大值 f() (2)讨论的单调性. 10,已知弱数f=-anr+3aaeR. ①讨论函数)的单调性： 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)=x+ax-a 11.已知函数 )讨论 的单调性： 12.已知函数fx=r-(2a+lx+alnxlaeR) 0)诺a=-1,求曲线刊在1)处的切线方程； ②讨论八的单调性。 题型3主导为不可分解的二次函数 f(x)-g(x)=x'-x+alnx -1 13.已知函数 x. 2 ④分析函数8的单调性： 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.已知函数f=(r+2r+a小e 讨论（的单调性， 15.心通数到=n1+a侧-年a>0. ()当a=2时，求fd的极值： 2讨论f刊在区间0，+切)上的单调性： 16.已知函数f列=a+a-,其中a+0 ①)当a=1时，若直线=x+6是曲线》=八的一条切线，求力的值： 2讨论的单调性： 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.已知f=贺+2x-血，meR ①)若函数在f)处的切线与直线+2y-1=0垂直，求m的值： 2讨论（小的单调性： 题型4主导为指数函数 18.0时论函数=e二a,aeR的单调性，并求出可的极查。 19.已知函数f=c-ar-l,a∈R )讨论的单调性： 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.已知函数f()=e*-ax 当a=1时，求曲线"=八在点0，f0川处的切线方程： ②)讨论刊的单调性。 21.已知函数=e-6+lg)=+2,k∈R )讨论函数 的单调性： 22.已知函数刊=e+x )当a=1时，求曲线'=f在点0，f)处切线方程： ②讨论的单调性： 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5主导为二次指数函数 23. 已知函数f()=e-ax+l+l,a为实数： )讨论(x刘 的单调性； 24.已知函数f(x)=2e-e-a)-2ar ④)讨论的单调性： 25.已知函数=ac2“+(a-2)e-x ①若函数f刊在x=0处的切线方程为=3x+b,求b的值： 2讨论的单调性： 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.已知函数f=e-ar2-aa>0。 ①)求函数刊的单调递增区间： 27.已知函数f(x)=xe-号r2-ara>0). 2 ①)讨论的单调性： 28,已知两数f=e2r-aw(aeR). )若a=0,求f 的最小值： 2当a>0时，求的单调区间。 10/12 培优06 含参函数讨论单调性 讨论的分类标准： ①最高次的系数是否为0;②导数等于0有根还是无根;③多根情况要比较两根大小;④根是否在定义域或指定的区间内 讨论单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0; 第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 题型1 主导为一次函数 1．已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由，得，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，又， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）， 则， 因为的两个极值点为，所以的两根为，且， 所以，解得. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，设函数. （i）求证：； （ii）若恒成立，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】 【详解】（1）函数，定义域为. 因为， 当时，恒成立，则在单调递增； 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）首先证明：，当且仅当时等号成立. 记， 当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增； 所以， 即，当且仅当时等号成立. 由， 所以有，当且仅当时等号成立， 所以有， 当且仅当时等号成立. （i）若，函数. 当时，； 当时，； 综上，. （ii）记， 即要求恒成立. 当时， 当且仅当时等号成立. 当时， . 记， ， 所以在单调递减. 当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，，此时在单调递减， 则，不符合题意. 当时，取， ， ， 由函数零点存在定理，存在唯一的，使得， 当时，，此时在单调递增， 则，不符合题意. 综上，实数的值为1. 3．已知函数，， (1)讨论函数的单调性： (2)若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； (3)当时，定义数列满足：，，，证明：，. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， ①当，，可知在上单调递增； ②当，令，解得， 当，，可知在上单调递增; 当，，可知在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意； 综上所述：实数的所有取值构成的集合为. （3）当时，由（1）可知在上单调递增， 且，则等价于；等价于； 因为，且， 则，可得， 且，所以， 以此类推可得：，. 设，则， 要证，即为， 等价于，两边乘以， 整理为， 令，， 则，， 令，， 可知在上单调递增，则，即， 可知在上单调递增，可得， 即，所以，. 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． （3）由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当时，，此时满足，即不等式成立． 当时，， 所以，， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 5．已知函数 (1)当时， 求曲线处的切线方程; (2)求的单调区间; (3)设函数 ，求证: 当时，在上存在极小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时， ，则，又， 所以曲线处的切线方程为， 即. （2）解：由得： ①时，，∴在递增； ②时，若时，，若，则，故在递增，在递减； 综上：当时，的单调递增区间是，误减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； （3）由得：， 因为，由（2）得：在递增，又因为， 取，显然，， ∴存在满足， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， ∴时，在存在极小值. 题型2 主导为可因式分解的二次函数 6．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 7．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为， ， 因为，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知，当，是的极小值点，不符合题意； 当时，在上恒成立，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极小值点，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点，符合题意． 综上所述，的取值范围为． 8．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 9．设函数 (1)时，求函数的最大值. (2)讨论的单调性. (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， . 当时，单调递增， 当时，单调递减， . （2）定义域为，， 若，则在单调递增， 若则时，单调递增， 时，单调递减， 综上所述：时，在单调递增.           时，在单调递增，在单调递减. （3）由（2）知，时，， 等价于，即.   设，， 当时，单调递增. 当时，单调递减， ，∴当时，， 从而时，，即 10．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)单调区间见解析 (2)极值见解析 【分析】 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 11．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 12．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 题型3 主导为不可分解的二次函数 13．已知函数，． (1)分析函数的单调性； (2)若函数在上恒成立，求实数的取值范围； (3)令，若存在使得，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得，的定义域为，， 当时，，，单调递增； 当时，令，， ①当时，，， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增， ③当时，（舍），， ，，单调递减， ，，单调递增， ∴综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在单调递增； （2）依题意，， 令，即在上恒成立， 设，只需证在上恒成立， 则，， ①当，即时， ，单调递增； ，故满足条件． ②当，即时， 设，， 则， 因为，则，则，，则， 则在上单调递增，即在上单调递增， ；，； ∴存在使得， ，，单调递减， ，，单调递增， ，故不满足条件，舍去． ∴综上所述，的取值范围为． （3）设．由可得， ，， 要证，即证明： 即要证． 令，即要证， 即要证在上单调递增， 即要证在上恒成立， 即要证在上恒成立． 设，则，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，， 设，，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，单调递增，， 恒成立， ∴得证：． 14．已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若无零点，但有两个不同的极值点， （i）求的取值范围； （ii）设为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)（i）区间（ii） 【分析】 【详解】（1）由题意得， 令，则，判别式， ①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增； ②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时， 在上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）（i）令，即， 由无零点，则直线与无交点，则， 又有两个不同的极值点，由（1）可知时满足题意， 故的取值范围为. （ii）不妨设，由（1）知，， 因为， 又为的两个极值点，，即， 可得，， 则 设，其中，，， ， 令，求导得， 故在上单调递增，又， ，则 故的取值范围为. 15．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设，证明：． 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意，当时，，， 则， 令，得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，函数取得极小值，为，无极大值. （2）因， 则， 因为，，所以， 当时，恒有，则恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）令数列的前项和为，且，数列满足， 当时，， 当时，， 则原不等式，等价于， 当时，，，显然成立； 当时，要证，即证，需证， 令，则，又，所以， 则不等式，等价于，等价于， 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 又，则，即， 故得证. 即当时，成立，故， 又当时，， 综上所述，成立，不等式得证. 16．已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 17．已知，. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若，当且时，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由，得， 则， 由直线，即， 由切线与直线垂直可知，解得； （2）由， 当时，，令，解得， 且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 当时，，， 当时，恒成立，即函数恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，，且， 即函数在和上单调递减，在上的单调递增； 当时，令，解得，， 即当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上的单调递； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由可知，即， 又，则，且， 由，即， 因为， 所以， 设，， 则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 即. 题型4 主导为指数函数 18．(1)讨论函数，的单调性，并求出的极值； (2)当时，证明：； (3)若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，无极值点；当时，有极小值，无极大值. (2)证明见详解 (3) 【分析】 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，， 当时，，此时函数在上为增函数，无极值； 当时，令，解得， 当，；当，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则当时，函数取到极小值，无极大值. 综上所述：当时，无极值点； 当时，有极小值，无极大值. （2）当时，要证，即证， 构造函数 ，需证 ， 求导得： ，令，则 ， 由于 ，故 ，因此 在 上单调递增； 又 ，故当 时， ，即 在 上单调递增； 而 ， 因此当 时， ，即 . （3）原不等式等价于 对所有 成立， 记 ，需求 的最小值， 当 时，由洛必达法则得，（此处不恰当在处理中） 求导得 ，其中， 计算 ，由（2）可知，当 时， 且 ， 故 （此处错误在处理中） ，从而 ，即 在 上单调递增； 由于 ，故 对所有 成立，从而 ，即 在 上单调递增； 因此， 对所有 成立，故 . 19．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 20．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 21．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令,当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在上单调递增. （2） 【分析】 【详解】（1）， ①若，则，此时在上单调递增； ②若，解得 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2），， 又为一个零点. ①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点，不符合题意； ②若，令，， 又，则 ，即单调递增，. i.当时，即，则当时，单调递减； 当时，单调递增， 的最小值为，函数只有一个零点，不符合题意. ii. 当时，即，当时， ， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减； 当时，单调递增. . 又时，，所以有两个零点. iii. 当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时， 单调递减， 当时， 单调递增， . 又时， ，所以有两个零点. 综上所述，有且仅有两个零点时，. 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 题型5 主导为二次指数函数 23．已知函数 为实数. (1)讨论 的单调性； (2)若函数 有 3 个零点，且 ，求 的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)1. 【分析】 【详解】（1）． 当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，令． ①时，， 或时，时，， 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增； ③当时，， 或时，时，， 在上单调递增，在单调递减． 综上：当时，在单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减． （2）由（1）知，当或时，至多2个零点，不合题意； 当时，在上单调递增,在上单调递减. 而， 在上至多1个零点，在上无零点，不合题意； 在单调递增，在上单调递减． 因为，所以需． 令, 在上单调递减. . 又当时，， 根据函数在上的连续性以及零点存在性定理知在上分别有一个零点． 综上，的最小值为1． 24．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间没有极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减; ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. (2). (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）对求导得： ， ①当时，恒成立，令，解得 ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ②当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； ③当时，恒成立，在上单调递减. ④当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减. 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）函数在区间没有极值点等价于在区间上无异号零点， 因为， 由（1）知当时，在上单调递减，满足题意； 当时，令，解得， 因为，故只需，则或 解得：或, 综上所述：的取值范围为 （3）令， 则视为关于的一元二次函数， 二次函数的二次项系数为，开口向上， 判别式：， 令，则， 求导得：， 因为，， 所以恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以当时，成立. 25．已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，求证：函数有唯一的极大值点，且. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）， 因函数在处的切线方程为， 则，，得； （2），， 当时，，则在上单调递减； 当时，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，， 则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 又，，， 则由零点存在性定理可知，使得， 则或时，，；时，，， 故在和上单调递增，在上单调递减，则有唯一的极大值点， 且， 令，则， 则在上单调递增，则，故. 26．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)设的极大值为，求的最小值； (3)当时，若方程恰有两个不同的实数解，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， 当时，，则的单调递增区间为； 当时，若，， 则的单调递增区间为，； 当时，若，， 则的单调递增区间为，； （2）由（1）分析，当时，，无极大值， 当时，因当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减； 故有极大值； 当时，若，，若，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 故有极大值, 记，则， 当，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故； 又当时，， 故； （3）不妨令，设， 则， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， ，， 故，使得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 设在处的切线为，由，， 则，在上单调递减， 设， 则， 故在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 设在处的切线为，由，， 故，在上单调递增， 设， 则， 故在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 设的根为，则，由上可知， 设的根为，则，由上可知， 故. 27．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，设的极大值是，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1），定义域为， 求导得， ，令，解得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，取得极大值，即， 则， ，， 令得，解得，即， 令得，解得或（舍去），即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的最小值为． 28．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）时，，定义域为R， ，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为； （2）的定义域为R， ， 时，令得或， 若，，故， 的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，，令得或， 令得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，，令得或， 令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，单调递增区间为，，单调递减区间为. 题型6 主导为对数函数 29．已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 30．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 所以且，即切线的斜率为，切点为， 所以在点处的切线方程为，即. （2）解：因为函数，可得， ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上：当时，的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是， （3）解：因为对于任意，都有成立， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，可得， 所以在区间上单调递增，故，即， 所以在区间上单调递增，所以， 要使对于恒成立，只需，即，所以实数m的取值范围是. 31．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若至多有一个零点，求实数的取值范围； (3)对于，证明：. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 其导函数在上单调递增， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上所述，的单调减区间为，单调增区间为. （2）当至多有一个零点时，函数最小值， 由（1）可知的单调减区间为，单调增区间为， 则在处取得最小值，则， 化简得，解得，因为，故， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 要证，即证，需证； 设，则， 所以在上单调递减，且， 所以，即； 令，可得，即， 可知时，， 时，， 时，； 时，， 累加得， 化简得，即， 可得，所以原命题得证. 32．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知有三个零点，，，满足. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）易得， 当时，，时，，单调递减，时，，单调递增.     当时，时，，单调递增，时，，单调递减，,时，，单调递增.     当时，，在上单调递增.     当时，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增. （2）①显然.注意到，故只需有两个不为的零点即可. 故，.而，     时，，单调递减，时，，单调递增.     故应在与上各有一个零点. ，由，可得，     作出与的大致图象，发现当时符合题意；    故的取值范围为.     ②显然，显然成立，     则，易知，是的零点，易知， 由的图象知， 设 ， ， 故在上单调递增，于是，于是， 由和可得，故.     综上，. 33．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知有三个零点，满足． ①求的取值范围； ②当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①由（1）知，当时，函数最多两个零点，不符合题意； 当时，而，则函数有两个均不为的零点， 则，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于，而， 则当，即时，函数有两个零点， 所以的取值范围是. ②由（1）及①知，，显然成立，则， 是函数的两个零点，，， 令， 求导得 ， 函数在上单调递增，，则， 而函数在上单调递增，于是，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $