精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

马鞍山中加双语学校2024-2025学年第一学期 高二年级期中考试数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：梁长龙 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填图在答题卡相应位置上） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 3. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若点到点的距离之和恰好为两点之间的距离，则点的轨迹不是椭圆， 所以前者不能推出后者． 由椭圆的定义知，椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数，所以后者能推出前者． 故“点到点距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的必要不充分条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及逻辑条件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的标准方程是（ ） A. +x2=1 B. +y2=1 C. +y2=1或+x2=1 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，代入已知点，解方程组可求得椭圆标准方程. 【详解】解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，则解得 ∴椭圆的标准方程为+x2=1. 故选：A. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 6. 若点的坐标是，圆的方程为，则（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆内或圆上 D. 点在圆上或圆外 【答案】C 【解析】 【分析】将点坐标代入圆的方程左侧，判断所得结果与右侧大小，即可得位置关系. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 7. 设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可． 【详解】如图，由圆的方程可知两圆圆心分别为，半径均为1， 由椭圆的方程可知恰好是其两个焦点， 由椭圆定义知，， 连接分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为； 连接并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为， 则的最小值与最大值的和为20． 故选：C． 8. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于 由题意知，水的体积为 ，即， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为, 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选的得部分分，不选或有选错选的得0分．） 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 原点O到的距离为1 D. 原点O关于的对称点为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，即可得倾斜角；对于B：先求直线与两坐标轴的交点坐标，计算面积即可；对于C：利用点到直线的距离公式运算求解；对于D：设原点关于的对称点为，根据垂直关系以及中点在上，列式求解即可． 【详解】对于A：因为直线的斜率为，设倾斜角为， 则，所以，故A错误； 对于B：因为直线与两坐标轴的交点分别为， 所以与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：原点O到的距离，故C正确； 对于D：设原点O关于的对称点为， 则，解得， 所以原点O关于的对称点为，故D正确， 故选：CD． 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C. 圆C与圆有两条公切线 D. 过点A作直线，若圆C上恰有三个点到直线的距离为，该直线斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设，再根据列式化简可得圆C的方程；对于B，根据垂径定理求解即可；对于C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对于D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】对于A，设，由，得， 化简可得圆C的方程是，故A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆心到的距离为， 故所求弦长为，故B正确； 对于C，圆的圆心，半径， ，则， 故两圆相交，有两条公切线，故C正确； 对于D，当直线的斜率为0时，直线方程为，过圆心C， 而圆C的半径为，则圆C上有四个点到直线距离为，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线， 由题意C到的距离等于，即，解得， 故直线的斜率为，故D正确， 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 存在满足条件的点M，使 B. 当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 C. 三棱锥的体积存在最大值和最小值 D. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知，取的中点E，的中点F，并连接，可得点M的轨迹为线段．对于A，连接，交于点O，可得平面，当M为线段中点时，，又，则可判断：对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算可得存在，即可判断；对于C，设点M到的距离为h，可知当M与E重合时，，当M与F重合时，，即可求出三棱锥的体积存在最大值和最小值，则可判断；对于D，由平面知，即为直线与平面所成的角，在中，可得，则得，进而得，则可判断. 【详解】取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示． 易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示． 则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故B正确； 对于C，设点M到的距离为h， 则三棱锥的体积为 ， 当M与E重合时，，得； 当M与F重合时，，得，故C正确； 对于D，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示． 由平面知，，在中， 由，得， 所以，所以，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛，本题关键是先找到点M的轨迹，对于B选项，通过设出向量的含参坐标，借助参数的范围满足条件，得到答案；对于C选项，利用等积转化，转化成棱锥高取得最值，可得体积最值；对于D选项，关键是找到线面角正切的范围，进而得到余弦的范围. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 椭圆的离心率为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置分类讨论，结合椭圆的离心率公式求解． 【详解】当焦点在x轴上时，且，即， 则，解得， 当焦点在y轴上时，且，即， 则，解得， 综上，或． 故答案为：或． 13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆关于直线的对称圆的圆心和半径，则将问题转化为和有交点即可，由圆和圆的位置关系的相关知识即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为， 圆圆心为，半径为， ， 由题意得，解得. 故答案为：. 四、本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程； （2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程. 【小问1详解】 由于所在直线的方程为，故的斜率为， 与互相垂直，直线的斜率为， 结合，可得的点斜式方程：， 化简整理，得，即为所求的直线方程． 【小问2详解】 由和联解，得, 由此可得直线方程为：，即.. ,关于平分线x轴对称，则倾斜角互补，斜率和y轴截距都互为相反数. 直线的方程为：. 16. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【小问1详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l方程为或. 【小问2详解】 圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 17. 求下列曲线方程： （1）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. （2）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，根据题意可得，进而得到椭圆的焦点坐标，再结合椭圆定义即可得到的值，进而求解；方法二，根据题意可得，进而将点代入椭圆方程，结合解方程组即可求解；方法三，先设椭圆的标准方程为，进而将点代入椭圆方程，解方程即可求解； （2）设圆的半径为，进而得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求解即可. 【小问1详解】 方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以点的轨迹方程为. 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，继而得出线线垂直即可证明； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求出二面角余弦值，进而求出正弦值，计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦，应用基本不等式得出范围即可. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 即平面， 平面，又平面， 所以 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面， 又平面平面平面， 平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为， 则，令，得， 所以为平面的一个法向量， 设二面角为. 因为， 所以. 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做平面的垂线为轴， 设， 显然， ，得出， 则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，令， 则，且， ， 根据函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则， 即， 则，即正弦值的取值范围 19. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为. （Ⅰ）已知，求切线的方程； （Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程； （Ⅱ）由题意求出以为圆心，以为半径的圆的方程，与圆联立可得弦所在的直线的方程，可得直线恒过定点； （Ⅲ）由题意求出面积，的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值． 【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线 情况2.设切线：，即. 由得，解得，切线为 综上：切线为 （Ⅱ）在以点为圆心，切线长为半径的圆上， 即在圆：上 联立 得 所以过定点 (Ⅲ) 设； 得，， 切线统一记为，即 由得，得两根为 所以 所以，则 记 当，即时， 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2024-2025学年第一学期 高二年级期中考试数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：梁长龙 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填图在答题卡相应位置上） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A -2 B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的标准方程是（ ） A. +x2=1 B. +y2=1 C. +y2=1或+x2=1 D. 以上都不对 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C D. 6. 若点的坐标是，圆的方程为，则（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆内或圆上 D. 点在圆上或圆外 7. 设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最小值与最大值的和为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 22 8. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ） A B. C. D. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选的得部分分，不选或有选错选的得0分．） 9 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 原点O到的距离为1 D. 原点O关于的对称点为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C. 圆C与圆有两条公切线 D. 过点A作直线，若圆C上恰有三个点到直线的距离为，该直线斜率为 11. 如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 存在满足条件的点M，使 B. 当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 C. 三棱锥的体积存在最大值和最小值 D. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 椭圆的离心率为，则______． 13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 14. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是______． 四、本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程. 16. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 17. 求下列曲线方程： （1）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. （2）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为. （Ⅰ）已知，求切线方程； （Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $