微专题5 隐零点与端点效应导学案-2026届高三数学二轮专题复习

专题六 函数与导数 微专题5　隐零点与端点效应 一、考点透析 考点1 隐零点 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f（x）在区间I上的零点，当所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可尝试这样求解：先证明函数f（x）在区间I上存在唯一的零点x0，再进行解答即可.因为x0不易求出，所以把零点x0叫做隐零点（若x0容易求出，就叫做显零点）. 一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点x0（设而不求）；②以零点x0为分界点，将函数划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0两个区间）；③根据零点所满足的关系式，整体代入求解或证明. 方向1 不含参的隐零点问题 1.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)已知函数，． 讨论的单调性； 证明：； 若，求的取值范围．  2.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0. (1)求a，b的值； (2)求证：函数f(x)有唯一的极值点x0，且. 方向2 含参的隐零点问题 1.(2025·山东省济南市·期中)已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程； 若在上的最大值为，求的值； 若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．  2.(2025·广东省中山市·月考)设函数， 若，证明：当时， 若，证明： 若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围．  考点2 端点效应 方向1 必要性探路 核心思想：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.用导数处理函数问题（如恒成立、极值点），先算区间端点的函数或导数值，找参数满足的必要条件（比如端点处函数值非负）。再基于此范围，结合导数分析函数单调性、最值，验证充分性，确定参数最终范围，高效破题。 1.(2025·山东省菏泽市·期中)已知函数，其中实数，， 若时，求函数的极值点 若时，在上恒成立，求的取值范围． 2.(2025·广东省东莞市·模拟)已知函数． 设是的极值点，求，并讨论的单调性； 当时，证明． 3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数． 当时，求在处的切线方程； 当时，恒成立，求的取值范围 方向2 洛必达法则 洛必达法则简介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； 　　(3)，那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)，那么 =。 用法提醒：需要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.（2025·昆明“三诊一模”质量检测）已知函数f（x）＝.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围. 2.(2025·河北省·模拟)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响洛必达法则：给定两个函数，当时，已知函数，． 证明：在区间上单调递减； 对于恒成立，求实数的取值范围； ，证明：附： 2、 跟踪练习 1.(2025·河南省·期中)已知函数， 讨论函数的单调区间； 讨论函数的零点个数； 对任意的恒成立，求的取值范围；  2.(2025·甘肃省张掖市·期末)已知函数． 求的导函数的极值 不等式对任意恒成立，求的取值范围 对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求的取值范围． 3.(2025·湖北省·期末)年，洛必达在他的著作无限小分析一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ，在点的去心邻域内与可导，且 ，那么据此回答下面问题： 求的值，并用导数的定义证明： 已知 求函数的单调递减区间 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 微专题5　隐零点与端点效应 一、考点透析 考点1 隐零点 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f（x）在区间I上的零点，当所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可尝试这样求解：先证明函数f（x）在区间I上存在唯一的零点x0，再进行解答即可.因为x0不易求出，所以把零点x0叫做隐零点（若x0容易求出，就叫做显零点）. 一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点x0（设而不求）；②以零点x0为分界点，将函数划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0两个区间）；③根据零点所满足的关系式，整体代入求解或证明. 方向1 不含参的隐零点问题 1.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)已知函数，． 讨论的单调性； 证明：； 若，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2） 见解析 （3） 【解析】解：由，可得， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当时，， 当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 证明：函数的定义域为，， 令， 则，即函数在上单调递增， 当时，，且， 故存在，使，则得， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 故， 因为，所以， 即，故， 由，可得， 即， 设，则在上恒成立， 故函数在上单调递增，则， 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是．  2.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0. (1)求a，b的值； (2)求证：函数f(x)有唯一的极值点x0，且. 【答案】（1）a＝1，b＝1 （2）见解析 【解析】(1)因为f′(x)＝xex－a，由f′(0)＝－1得a＝1. 又当x＝0时，f(x)＝－1，所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)， 即x＋y＋1＝0，所以b＝1. (2)证明：令g(x)＝f′(x)＝xex－1，则g′(x)＝(x＋1)ex， 所以当x＜－1时，g(x)单调递减，且此时g(x)＜0，则g(x)在(－∞，－1)内无零点； 当x≥－1时，g(x)单调递增，且g(－1)＜0，g(1)＝e－1＞0， 所以g(x)＝0有唯一解x0，f(x)有唯一的极值点x0. 由， f(x0)＝－x0＝1－， 又g＝－1＜0， g(1)＝e－1＞0⇒＜x0＜1⇒2＜＋x0＜， 所以f(x0)＞－ 方向2 含参的隐零点问题 1.(2025·山东省济南市·期中)已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程； 若在上的最大值为，求的值； 若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】当时，，求导得， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即． ，，令，得， 当，即时，在恒成立，所以在上单调递减， 所以，，不合条件，舍； 当，即时，当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，符合条件； 当，即时，在恒成立，所以在上单调递增， 所以，，不合条件，舍． 综上，． 由，可得，即， 设，其中，则， 设，则， 当时，，，且等号不同时成立，则恒成立， 当时，，，则恒成立，则在上单调递增， 又因为，， 所以，存在使得， 当时，；当时，． 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示：    当时，由得，且当时，， 此时函数的值域为，即． (ⅰ)当时，即当时，恒成立，合乎题意； (ⅱ)当时，即当时，取， 结合图象可知，不合乎题意． 综上所述，实数的取值范围是．  2.(2025·广东省中山市·月考)设函数， 若，证明：当时， 若，证明： 若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 （3） 证明：当时，，， 当时，且，故，即在上单调递减， 因此，故当时，， 证明：当时，，，  当时，，， 故存在唯一使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，且， 故，，因此，单调递减， 综上，的最大值为， 由得， 则 证明， 需证，即： 解不等式得， 因由且， 故， 因此不等式成立，即， 又，，故．  由得， 令，， 存在，使得 ，当且仅当， 即：时，；时，， 在上连续，故， 计算得： 当时，因，，故单调递减，，满足条件， 当时，令，需， 由得，结合，得 因此．   考点2 端点效应 方向1 必要性探路 核心思想：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.用导数处理函数问题（如恒成立、极值点），先算区间端点的函数或导数值，找参数满足的必要条件（比如端点处函数值非负）。再基于此范围，结合导数分析函数单调性、最值，验证充分性，确定参数最终范围，高效破题。 1.(2025·山东省菏泽市·期中)已知函数，其中实数，， 若时，求函数的极值点 若时，在上恒成立，求的取值范围． 【答案】是的极大值点，是的极小值点 【解析】因为，所以，则， 因为，所以或，，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点 （法1）当时，，又因为，所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增，所以，所以  （法2）因为时，在上恒成立， 所以x=2时，恒成立，即得，即得， 下证时不等式恒成立 化简即证, 设,则,可知 即得时恒成立. 2.(2025·广东省东莞市·模拟)已知函数． 设是的极值点，求，并讨论的单调性； 当时，证明． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)见解析 【解析】， 由是的极值点得，所以， 于是，定义域为，， 函数在上单调递增，且， 因此当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 证明：当，时，，故只需证明当时，， 当时，函数在上单调递增， 又，，故在上有唯一实根，且， 当时，；当时，，从而当时，取得最小值， 由，得，， 故， 综上，当时，． 3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数． 当时，求在处的切线方程； 当时，恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】当时，，， ， 又因为， 所以在处的切线方程为，即． 当时，， 当时，因为恒成立，所以； 当时，由恒成立，得， 令． 再令 ， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增，所以． 所以． 即的取值范围为：． 方向2 洛必达法则 洛必达法则简介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)，那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； 　　(3)，那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)，那么 =。 用法提醒：要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.（2025·昆明“三诊一模”质量检测）已知函数f（x）＝.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围. 【答案】. 【解析】（法1）当x∈[1，＋∞）时，f（x）≤a（x－1）等价于ln x≤a（x2－1）， 令g（x）＝a（x2－1）－ln x，x∈[1，＋∞），则ln x≤a（x2－1）在[1，＋∞）上恒成立，即g（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立. g'（x）＝2ax－＝， 当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，不符合题意； 当0＜a＜时，由g'（x）＝0得，x＝＞1， x∈［1，）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以x∈［1，）时，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意； 当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g'（x）≥0， g（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，符合题意. 综上所述，a的取值范围为［，＋∞）. （法2）当x=1时，不等式恒成立； 当x>1时，不等式可化为 设g(x)=,则 g'（x）=, 设h(x)=,则 h'（x）=≤h'（1）=0. g'（x）≤0，单调递减，即 由洛必达法则：，. 2.(2025·河北省·模拟)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响洛必达法则：给定两个函数，当时，已知函数，． 证明：在区间上单调递减； 对于恒成立，求实数的取值范围； ，证明：附： 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】证明：， ， 令，则， 令，则， 若，则 在上单调递减， 则 ， 在上单调递减，， 在上单调递减， 若，则， 在上单调递增， ，即， 存在唯一，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减； 当时，，成立， 当时，由，可得， 令， ， 由可知，， 在上单调递减，， 由洛必达法则：， ，， 即实数的取值范围为； 证明：当且时，， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， 即在上单调递增，， ，当时取等号， ， ， ， ， 即． 2、 跟踪练习 1.(2025·河南省·期中)已知函数， 讨论函数的单调区间； 讨论函数的零点个数； 对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）见解析 （2）当时，无零点；当或时，有个零点；当时，有个零点． （3） 【解析】因为，所以， 令，解得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的零点个数即为方程解的个数， 则的零点个数即为与的图象交点个数； 令，则，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，时，，且时，恒成立， 作出的图象如下图所示，    当，即时，与的图象无交点，所以无零点， 当或，即或时，与的图象有个交点， 所以有个零点， 当，即时，与的图象有个交点， 所以有个零点； 综上所述，当时，无零点； 当或时，有个零点； 当时，有个零点． 因为对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以，令，， 令，所以，所以， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在唯一零点且， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，且，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围是．  2.(2025·甘肃省张掖市·期末)已知函数． 求的导函数的极值 不等式对任意恒成立，求的取值范围 对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，有极小值，无极大值． （2） （3） 【解析】因为函数，所以的定义域为，， 令，， 注意到为增函数，且， 所以当时，，单调递减当时，，单调递增 所以当时，有极小值，无极大值． 由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则， 设，则， 因为在区间上单调递增， 所以，则在区间上单调递增， 则，则， 所以在区间上单调递增，所以， 则 即的取值范围为． 由题意可知有唯一解， 设，，注意到，当时， 当时， 所以至少有一个解． 因为有唯一解， 所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立． 则，令， ，所以在区间上单调递增，注意到， 所以当时，，单调递减当时，，单调递增 故只需即可，所以， 即的取值范围为  3.(2025·湖北省·期末)年，洛必达在他的著作无限小分析一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ，在点的去心邻域内与可导，且 ，那么据此回答下面问题： 求的值，并用导数的定义证明： 已知 求函数的单调递减区间 若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析． 单调递减区间为， 【解析】， 依据导数的定义： 因为，定义域为， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， 因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数的取值范围为  学科网（北京）股份有限公司 $