精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

哈尔滨市第六中学校2023级上学期12月测试 高三数学试题 一．单选题（共40分） 1. 在复数平面内，复数对应的点的坐标是，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数对应的点的坐标，得到的表达式，利用复数乘法运算求解即可. 【详解】依题意，，. 故选：C. 2. 设集合，，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求得集合，，再找出中的整数元素，同时排除属于的整数元素，即可得到集合. 【详解】根据题意，解得集合，集合， 又集合， 而集合中的整数有，集合中的整数有，所以集合. 故选：D. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程结合的关系，列方程求解的值即可. 【详解】焦点在轴上的椭圆的焦距为， 则，所以， 则，故， 又，则的值为. 故选：B. 4. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过 “空间问题平面化（轴截面）”，利用几何性质与三角函数，将内切球参数转化为圆锥的高和底面半径，最终计算体积. 【详解】根据题意作图如下，点为内切球的圆心，点为圆锥底面圆的圆心，点为切点，由已知条件可知， 内切球的表面积为，即，而， 在中，，则圆锥的高， 在中，，则圆锥的底面半径， 所以圆锥的体积. 故选：B. 5. 设是上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性与对称性可推得的一个周期为4，利用函数的周期性，结合题设条件即可求得函数值. 【详解】因为关于直线对称，故，将替换为，可得. 又因为是上的奇函数，故，则有， 则得， 即为一个周期为的周期函数， 因此. 故选：D. 6. 若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得到，再令，再根据函数极值点的个数得到不等关系求解即可. 【详解】 . 由，令， 则在上恰有唯一极值点，即在有唯一极值点， 因为区间右端点是，故极值点只可能为， 则，即， 得，解得. 故选：C. 7. 在中，分别为的中点，且交于点.则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设易得，，为的重心，进而根据平面向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解判断各选项即可. 【详解】由题意，, 则， 则，且，即， 则 ，故A正确； 而，则，即，故B正确； 由题意，为的重心， 则，故C正确； 而， ， 所以 ，故D错误. 故选：D 8. 已知函数，若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得大致图象如下，令，由题可得， 则，然后利用导数知识求出的最小值可得答案. 详解】由题可得，据此可画出大致图象如下： 令，则方程有三个不等根，等价于图象与直线 有三个不同零点，则. 由，又可得. 注意到. 令，则. 令，在上单调递增， ，在上单调递减. 则. 故选：C 二．多选题（共18分） 9. （多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，且为定值，则数列的前9项和为定值 C. 命题“，”的否定为“，” D. 若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，举特例；对于B项，由等差数列的性质求解；对于C项，由全称量词命题的否定求解；对于D项，由基本不等式求解． 【详解】对于A项，当时，符合，，但得不到，故A项错误； 对于B项，数列为等差数列，得为定值，故B项正确； 对于C项，命题“，”的否定为“，”，故C项正确； 对于D项，， 则， 等号成立时，，得， 得，故D项正确． 故选：BCD． 10. 已知圆，则（ ） A. 与圆一定相交 B. 圆与圆的公共弦的方程为 C. 若，，则在上存在两个点使得 D. 过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆心为，半径为，选项A，求出直线恒过定点，得到，则与圆相交；选项B，圆和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，设，由，得到的轨迹是圆，求出两个圆心间的距离，从而得到答案；选项D，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，由的最小值为到的距离，从而得到切线长的最小值. 【详解】的圆心为，半径为， 选项A，，整理得到， 则，解得，故直线恒过定点， ，与圆相交，故选项A正确； 选项B，圆整理得到， 和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程， 即公共弦的方程为，故选项B正确； 选项C，设，，，， 在以为圆心，半径为的圆上，两个圆心间的距离为， ，两圆相切，上存在一个点使得，故选项C不正确； 选项D，如图，切线长，要使切线长的最小值，需要最小， 的最小值为到的距离， 切线长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项. 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 三．填空题（共15分） 12. 已知，，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和正弦的两角和公式求出，，再代入正弦的两角差公式即可得解. 详解】由可得，整理得①， 又②， 联立①②解得，， 所以， 故答案为： 13. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知，结合椭圆方程，表示出点的坐标，由，求得关系，进而求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的焦距为. 由题可知. 因为为椭圆上一点，且，所以，所以可设， 则，所以. 因为，所以， 化简得， 所以，解得，或（舍去）. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义，根据方程解的个数等价于两个函数图象的交点个数进行求解即可. 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 四．解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设及正弦定理化简可得，再根据余弦定理求解即可； （2）根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则，即， 则，又，则. 【小问2详解】 由正弦定理得，， 则， 所以， 在中，，故， 所以，则， 所以的取值范围为. 16. 已知圆，点在圆上运动，且为动线段的中点. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，求过点且与（1）中曲线相切的直线方程； （3）过定点的动直线与（1）中曲线交于两点且三点不共线，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）设点圆上，，根据中点坐标公式用表示，代入方程整理即可得解； （2）分类讨论过点的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案； （3）根据弦长公式和弦心距公式求出的面积，结合二次函数的性质求面积的最大值即可. 【小问1详解】 设点在圆上， 因为，为中点，由中点坐标公式可得，， 解得，， 因为在圆上，代入得， 整理得. 所以轨迹的方程为 . 【小问2详解】 由（1）可得曲线是圆心为，半径的圆， 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，此时切线方程为 ； 斜率不存在时：直线到圆心的距离为 ，等于半径，故也圆的是切线； 综上所求切线方程为和. 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为， 则弦长，面积， 因为直线过定点，所以,， 令，则，， 易知在单调递增，所以， 所以，即面积最大值为. 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并证明. 【答案】（1）证明见解析， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，需证为等差数列，即证常数，结合已知递推关系式化简证明即可，利用等差数列通项公式求解，从而得数列的通项公式； （2）由化简，结合裂项相消法求解数列的前项和，利用数列单调性证明结论即可. 【小问1详解】 设，需证为等差数列，即证常数， 已知（），代入：， 化简分母：， 故：， 因此（常数）， 即是公差为1的等差数列， 由是等差数列，首项，公差， 故：， 即，解得：； 【小问2详解】 由，且，则：， 故：， 化简： ， 因此： ， 前项和， ， 由于又数列为递增数列，数列为递减数列，所以为递增数列， 当时，； 当时，，故（）； 综上，. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，，点分别为棱的中点，是棱上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为线段上一动点，当直线与平面所成角取得最大值时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理及空间向量进行证明； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量计算二面角的大小； （3）设，先用表示点的坐标，再利用空间向量表示直线与平面所成线面角的正弦值，利用换元法求得的最大值，即可得到的值，从而计算得到. 【小问1详解】 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则各点坐标为：，，，，， 由为的中点，故，，，， ；，又平面， 所以平面； 【小问2详解】 ，由，可得， 又，， 所以平面的法向量为. ，， 设平面的法向量为，则，令，则，，可得， 设平面与平面的夹角为，显然为锐角， 则. 【小问3详解】 由是的中点，则，设，则，， 设与平面所成的线面角为，则， 令，则， 当，即时，取得最大值，此时. 19. 已知函数（其中）. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论即可； （2）转化为对恒成立，即，设 ，利用导数求解； （3）先把恒成立，转化为对任意恒成立，研究单调性，利用图像得到，从而求出的最小值. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为，求导得， 当时，对任意恒成立， 故在上单调递增， 当时：令，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，，不等式 可化为， 对恒成立，即恒成立，设， 求导得， 令，则恒成立， 则函数在上单调递减，且， 当时，得，即单调递增； 当时，得，即单调递减. 故在处取得最大值，因此. 【小问3详解】 若不等式恒成立，即对恒成立， 得，，令，则， 由，得，由，得， 得函数在上单调递增，在上单调递减， 且与轴的交点为， 令与轴的交点为， 根据不等式左右两个函数图象的相对位置，可知，即， 当且仅当在处的切线为时，取到等号， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2023级上学期12月测试 高三数学试题 一．单选题（共40分） 1. 在复数平面内，复数对应的点的坐标是，则等于（ ） A. B. C D. 2. 设集合，，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设是上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为的中点，且交于点.则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共18分） 9. （多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，且为定值，则数列前9项和为定值 C. 命题“，”的否定为“，” D. 若，且，则的最小值为 10. 已知圆，则（ ） A. 与圆一定相交 B. 圆与圆的公共弦的方程为 C. 若，，则在上存在两个点使得 D. 过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三．填空题（共15分） 12. 已知，，则值为________. 13. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为______. 14. 已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是________. 四．解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 16. 已知圆，点在圆上运动，且为动线段的中点. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，求过点且与（1）中曲线相切直线方程； （3）过定点的动直线与（1）中曲线交于两点且三点不共线，求面积的最大值. 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并证明. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，，点分别为棱的中点，是棱上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为线段上一动点，当直线与平面所成角取得最大值时，求的值. 19. 已知函数（其中）. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意，都有恒成立，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $