微专题3 导数与函数零点问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题六 函数与导数 微专题3 导数与函数零点问题 一、考点透析 考点1 函数零点个数的判断或证明 （1）基本思路：通过求导分析函数的单调性、极值点，结合函数图象走势（草图）判断零点个数. （2）常用方法： 直接法：研究函数单调性与极值，转化为函数图象与x轴交点问题; 构造新函数法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题; 分离参数法：将问题转化为a=g(x)，通过直线y=a与y=g(x)的交点个数求解. 方向1 函数零点个数的证明 1．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，证明：在上恰有一个零点． 2．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 方向2 函数零点个数的判断 1.(2025·山东省临沂市·模拟)已知函数，其中． 证明：曲线是中心对称图形； 讨论函数在内零点的个数； 若存在，当时，总有成立，求符合条件的的最小值． 2．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”. (1)若函数是上的“好函数”，求整数的值. (2)已知函数. （i）讨论的零点个数； （ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”. 3.(2025·贵州省·模拟)已知函数 讨论函数的单调性； 若有两个零点，求的取值范围．  考点2 已知函数零点情况求参数值或范围 常用方法： 分离参数：转化为a=g(x)，利用g(x)的值域或最值确定参数范围; 零点存在性定理：结合单调区间和端点函数值符号构建不等式; 分类讨论：对参数分段讨论函数单调性，利用极值符号判断零点存在性. 1.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·广东省惠州市·模拟)已知，若有三个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 关注点： 利用零点存在原理区间端点取值技巧 1.(2025·云南省红河哈尼族彝族自治州·模拟)已知函数． 讨论的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知函数． 当时，证明：在上单调递增； 当，时，求的零点； 当，时，若在上有个零点，求的取值范围．  考点3 函数零点与其他问题综合 1．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ． ( 是自然对数的底数， ) (1)若 ，求 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间； (3)设 ，由 组成有序实数对 ，现从这些有序实数对中随机抽取一对得到函数 ，求使得 恰有两个零点的概率． 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）函数 (1)时，证明：； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 2、 跟踪练习 1.(2025·江苏省·模拟)若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是          ． 2.(2025·海南省·模拟)已知函数． 若，求的单调递减区间； 有两个不同的零点且． 求的取值范围； 当时，求的最小值． 3．（2025·江西景德镇·模拟）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 4.(2025·福建省福州市·期中)已知函数． 若函数的极值点在内，求的范围； 若有两个零点，求的范围． 5．（25-26高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 6．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，求证：有且仅有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 函数与导数 微专题3 导数与函数零点问题 一、考点透析 考点1 函数零点个数的判断或证明 （1）基本思路：通过求导分析函数的单调性、极值点，结合函数图象走势（草图）判断零点个数. （2）常用方法： 直接法：研究函数单调性与极值，转化为函数图象与x轴交点问题; 构造新函数法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题; 分离参数法：将问题转化为a=g(x)，通过直线y=a与y=g(x)的交点个数求解. 方向1 函数零点个数的证明 1．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，证明：在上恰有一个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 在处取得极小值，也是最小值，所以． 所以，又因为，所以，又，所以，所以函数在上单调递减； （2）因为由（1）知：当时，函数在上单调递减， 又，所以， 所以，所以， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 在处取得极大值，也是最大值，所以， 所以，所以即，当且仅当时，等号成立； 因为，所以，所以， 所以； （3）因为，， 所以，令，则， 当时，，，所以在上单调递增， 又，，， 所以由零点存在定理，存在唯一的使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，，，，，又， 由零点存在定理可知，存在唯一的使 当时，，，在区间上无零点． 综上，在上恰有一个零点 2．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：令函数， 显然在 上连续，在内可导， 则， 由条件知， 由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得， 即方程必有一个小于的正根. （2）令，则. 由，得，所以. 因为，所以， 由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得， 即. 同理，因为，由罗尔中值定理知， 至少存在一个，使得，所以 . 故方程在内至少存在两个不同的解. （3）证明：令 ，则 . 由，得， 则，又因为 是连续且可导函数， 由罗尔中值定理知，存在，使得， 则 ，所以. 故函数区间 内至少存在一个零点. 方向2 函数零点个数的判断 1.(2025·山东省临沂市·模拟)已知函数，其中． 证明：曲线是中心对称图形； 讨论函数在内零点的个数； 若存在，当时，总有成立，求符合条件的的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 在内有且仅有一个零点 （3）最小值为． 【详解】解：证明：因为， 所以， 因为是奇函数，其图象关于原点对称， 所以关于点中心对称， 所以是关于点中心对称． 据题意， 当时，，故函数在上单调递增，且， 故存在唯一的零点， 当时，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 由，，， 可知，存在唯一的，使得， 存在唯一的，使得， 因此，函数在和单调递减，在单调递增， 由，，，可知函数有唯一零点， 综上，函数在内有且仅有一个零点． 令， 当时，由可知，当时，， 问题等价于存在，当时，总有成立， 由，，可得函数在上单调递增， 当时，，，故存在唯一的，满足， 因此，当时，函数单调递增，故，不合题意 当时，， 当时，，函数单调递减，故，合题意， 综上，取，当时，总有成立，此时的最小值为． 2．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”. (1)若函数是上的“好函数”，求整数的值. (2)已知函数. （i）讨论的零点个数； （ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”. 【答案】(1). (2)（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）易知在上单调递增，且，则是唯一的零点. 因为是上的“好函数”，且， 所以在上恒成立，即. 因为在上单调递增，且， 所以整数. （2）（i）因为，且，所以的零点个数等价于函数在上的零点个数. 当时，没有零点. 当时，，令，则， 所以当时，单调递减，当时，单调递增. 又，所以当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点； 当时，，又， 所以结合的单调性可知，在和上各恰有一个零点， 即在上存在一个零点，在上存在一个零点. 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点. （ii）证明：①若，由（i）可知，在上没有零点，且， 则在上单调递增，，且. 因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，故. 故当时，. ②若，由（i）可知，在上存在一个零点， 即在上存在唯一的极大值点，故当时，. 由（i）可知，，且， 则当时，. 又因为，且在上单调递增， 所以存在唯一的零点，且满足. 设函数， 则. 由上可知，在上单调递减，且， 则，此时. 综上，由①②可知，当时，，故是上的“好函数”. 3.(2025·贵州省·模拟)已知函数 讨论函数的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）若，则，则在单调递增； 若，则当时，，当时，， 则在单调递减，则单调递增；    （2） 【解析】解：的定义域为， 因为， 若，则，则在单调递增； 若，则当时，，当时，， 则在单调递减，则单调递增；              (2) 由可知，要使有两个零点，则， 探究问题成立的必要性： 则，即， 构造，则，故在上单调递增， 又，故当时，，故由得， 下证时，问题成立 当时，由，则， 结合零点存在性定理知，在存在唯一实数，使得， 构造，，则， 故在单调递减，又，故，即， 则，故， 则，则，又， 结合零点存在性定理知，在存在唯一实数，使得， 综上，当有两个零点时，．  考点2 已知函数零点情况求参数值或范围 常用方法： 分离参数：转化为a=g(x)，利用g(x)的值域或最值确定参数范围; 零点存在性定理：结合单调区间和端点函数值符号构建不等式; 分类讨论：对参数分段讨论函数单调性，利用极值符号判断零点存在性. 1.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：显然，，则始终是函数的零点， 由题，， 令， 则，所以在上单调递增， 因为，， 所以当，，当，， 故存在使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又有且只有一个零点，所以， 所以，， 故． 故选：． 2.(2025·广东省惠州市·模拟)已知，若有三个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：的定义域为， 且， 所以是奇函数， 有三个零点， 等价于方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得， ，所以单调递减， 所以有，即， 所以问题等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由， 得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 的取值范围为． 故选：． 关注点： 利用零点存在原理区间端点取值技巧 1.(2025·云南省红河哈尼族彝族自治州·模拟)已知函数． 讨论的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】解：  ， 若，，在上单调递减； 若，当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增  若，，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意． 若，由可知，的最小值为 ， 令，， 所以在上单调递增， 又， 当时，至多一个零点，不符合题意， 当时，则， 又因为， 可知在有一个零点， 令，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，的最小值为， 所以， 当时， ， 结合单调性可知在有一个零点， 综上所述，若有两个零点，的取值范围是．  2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知函数． 当时，证明：在上单调递增； 当，时，求的零点； 当，时，若在上有个零点，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 有唯一零点 （3） 【解析】解：证明：当时，，求导得， 函数在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增． 当，时，的定义域为， ，即是的零点， 求导得，令，求导得， 当时，，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递减，因此， 所以函数有唯一零点． 当，时，，函数， 求导得，令，求导得， 当时，，则， 当时，，则， 综上，当时，， 函数在上单调递减，当时，， 存在，使得，当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，而，则函数在上有唯一零点， ，若，即时，在上有唯一零点， 因此函数在上有个零点； 若，即，在上没有零点，函数在上有个零点； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，当且仅当时取等号，函数在上有个零点； 当时，，，且， 又，则存在唯一零点，当时，， 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，即函数在上有唯一零点， 又当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于负无穷大，， 因此函数在上有个零点，此时函数在上有个零点， 所以函数在上有个零点，的取值范围是．  考点3 函数零点与其他问题综合 1．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ． ( 是自然对数的底数， ) (1)若 ，求 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间； (3)设 ，由 组成有序实数对 ，现从这些有序实数对中随机抽取一对得到函数 ，求使得 恰有两个零点的概率． 【答案】(1)； (2)的单调递减区间是，单调递增区间是； (3). 【详解】（1）若 ，则，， 因为，， 所以切线方程为； （2）由，得， 令， 所以当时，，当时，， 故函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （3）由题意，，，，，则有序实数对有81个. 由（2）可知时，；当时，， 所以， 要使有两个零点，则， 即，得，即. 满足该条件的有序实数对有： 对于，可以取，共7个； 对于，可以取，共4个； 对于，可以取，共1个； 所以所求事件的概率为. 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）函数 (1)时，证明：； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）时， 令，， 当时，，单调递减;当时，，单调递增， 所以，所以恒成立当且仅当时等号成立 令，得，即恒成立当且仅当时等号成立， 所以，由于等号不能同时取到， 所以，即 （2）等价于，即， 因为，，所以，由定义域知， 又因为在上单调递增，所以，， 令，的零点即为的零点. 因为， 当时，，单调递减;当时，，单调递增. 所以， 当时，因为，所以无零点，即无零点; 当时，因为，当且仅当时等号成立， 所以恰有一个零点，即恰有一个零点; 当时，，，，且， 由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定理， 存在，，使得， 结合单调性，恰有两个零点，即恰有两个零点. 综上所述，当时，无零点; 当时，恰有一个零点; 当时，恰有两个零点. （3）由知，的零点即为的零点，，，2时命题成立; 当时，恰有两个零点，设为，，不妨设， 令，则， 因为，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 又因为，，在上单调递增， 所以，， 所以， 所以，， ，，4，5时命题成立; 令，，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 所以，， 当时，， 综上所述， 2、 跟踪练习 1.(2025·江苏省·模拟)若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：函数，，令，， 则，显然函数在上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 2.(2025·海南省·模拟)已知函数． 若，求的单调递减区间； 有两个不同的零点且． 求的取值范围； 当时，求的最小值． 【答案】（1）的单调递减区间为； （2） 最小值为 【解析】解：若，则，定义域为， ， 令，解得， 则的单调递减区间为； 令，则， 设函数，定义域为 ，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，当时，， 极小值为， 若有两个不同的零点，则方程有两个不同实数根， 则； 有两个不同的零点且， 由可知且， 当时，易知，则有， 即， 可得， 所以，解得， 所以的最小值为． 3．（2025·江西景德镇·模拟）(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）证明：令函数，，则， 所以在上单调递增， 则，即在上恒成立. （2）证明：因为，所以在上单调递增. 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立， 所以， 因为，故取，取， 则， 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点. （3）令，即，等价于. 记，. 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点. 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同. ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点. 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 而，故，取，则， ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点， 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 4.(2025·福建省福州市·期中)已知函数． 若函数的极值点在内，求的范围； 若有两个零点，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】解：   时，，在递增，无极值点 时，在递增，递减，则函数的极值点为，所以，解得．    方法一：分类讨论：由知：时，在递增，不可能有两个零点；当时，在递增，递减，则函数的极值点为，首先需即，令故单调递增又， 所以当时，所以，故 所以在内有且只有一个零点又 故在内有且只有一个零点，综上：当时，函数有且仅有两个零点． 方法二：参变分离：令，         于是函数有两个零点，即与的图象有两个交点． 令 ，单调递减，又， 当，当 在处取最大值， 又， 当时，与至多有一个的公共点，不合题意． 当时，由于当时，而时单调递增，故与至多有一个的公共点，不合题意． 当时，一方面由于 且在上单调递增，所以与有且只有一个的公共点． 另一方面取，注：分子放大，分母缩小，实现放缩且在单调递减，于是与在区间上有且仅有一个交点． 综上：当时，函数有且仅有两个零点． 5．（25-26高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 6．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若，求证：有且仅有两个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可得在上单调递增， 时，，在上单调递增； 时，令，， 所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）时，，舍去； 时，，舍去： 时，由（1）知，（*）， 记，则单调递减， 令得，所以当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当且仅当时取等号， 结合（*）式可知，a的取值集合为. （3）证明：因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以最多两个零点.① 由（2）知，， 所以， 又，， 因为在上图象不间断，， 所以在上存在零点.② 因为，所以， 且 记，则， 记，则， 所以在上单调递增， 所以，所以，所以， 因为在上图象不间断，， 所以在上存在零点.③ 综合①②③，有且仅有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $