精品解析：天津市实验中学津南学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试卷 试卷范围：选择性必修一第一章､第二章､第三章3.1-3.2；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 选择题共9道小题，每道小题5分，共45分. 一､单选题 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线的一般式化为斜截式，根据及倾斜角的范围即可求解. 【详解】由题意可知，直线可以化为， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则 根据斜率公式得，，由，可得. 故选：B. 2. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据空间向量垂直的坐标表示求出，然后根据空间向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以，所以. 故选：D. 3. 在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得直线的斜率为，进而求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 则所求直线方程为，即. 故选：B 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 5. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先需要求出直线恒过的定点，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线的方程变形为 令，解得，. 所以直线恒过定点，即圆心坐标为. 已知半径，所以圆的标准方程. 展开可得，即. 故选：D. 6. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 7. 已知两圆和相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长. 【详解】因为两圆的方程为和，所以两圆的公共弦方程为，又因为该弦过圆的圆心，故． 故选：D. 8. 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1. 9. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解. 【详解】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系 由题知，，为的中点,则 ，，， 所以， 设直线与所成角为，则 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 第II卷（非选择题） 非选择题分为填空题和解答题，共105分.填空题共6道小题，每道小题5分，共30分；解答题共5道题，共75分. 二､填空题 10. 空间向量在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式及空间向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】由向量，， 则， 向量在上的投影向量为. 故答案为：. 11. 已知空间向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以存在实数k，使得，即， 所以解得，，，. 故答案为： 12. 两条平行直线与间的距离是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为与，故其距离为， 故答案为：5 13. 已知，，，则点C到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 14. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由给定的双曲线方程及渐近线方程求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的渐近线为，则，解得， 因此该双曲线半焦距，所以该双曲线的焦距为4. 故答案为：4 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合条件求出，再由余弦定理即可得到的方程，即可求其离心率. 【详解】如图，设．则．由双曲线定义可得．即， 所以，，又，． 在中，由余弦定理得， 解得，故的离心率． 三､解答题 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 19. 已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 解：设双曲线的方程为，将点代入方程中得， 所以双曲线的方程为，即双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：在双曲线中，，，则， 则，所以直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则， 所以，. 20. 已知椭圆的左焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线，直线与椭圆相交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆对称性以及椭圆定义可得，即可求得椭圆的方程； （2）设出直线的方程为，并利用弦长公式以及点到直线距离 得出的面积表达式，解方程即可得出，求得直线方程. 【小问1详解】 根据椭圆性质可得右焦点为， 由椭圆定义可得点到两焦点距离之和为， 解得， 所以， 因此椭圆的方程为 【小问2详解】 依题意可设直线的方程为，； 联立椭圆与直线l的方程， 消去可得； 所以， 因此， 又易知点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试卷 试卷范围：选择性必修一第一章､第二章､第三章3.1-3.2；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 选择题共9道小题，每道小题5分，共45分. 一､单选题 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 2. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 3. 在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 7. 已知两圆和相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 非选择题分为填空题和解答题，共105分.填空题共6道小题，每道小题5分，共30分；解答题共5道题，共75分. 二､填空题 10. 空间向量在上的投影向量为__________. 11. 已知空间向量，若，则________． 12. 两条平行直线与间的距离是__________. 13. 已知，，，则点C到直线的距离为_____. 14. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为___________． 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 三､解答题 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 20. 已知椭圆的左焦点为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线，直线与椭圆相交于，两点，的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $