专题一：数与式-2025-2026学年寒假数学中考备战专题

专题一、数与式 一、单选题 1．下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 2．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，，的角平分线交于点E，且E点在边上且，线段DE的长度是（    ）    A．5 B． C． D．10 7．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 8．估算的结果（（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 9．现有长度分别为1，2，…，7的小木棍各一条，从中选出若干条木棍组成“木棍组”，由这一组木棍恰好可以拼接成一个正三角形（木棍不允许折断），则这样的“木棍组”共有（    ） A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 10．如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 二、填空题 11．因式分解： ． 12．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 13．要使有意义，则x的取值范围是 ． 14．若多项式可化为的形式，则的值为 15．图中黑色圆点的个数依次为：，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第99个数为 ． 16．使代数式 有意义的x的取值范围是 ． 17．如图，在等边三角形中，，于点D，点E，F分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．    18．已知，满足，则的值为 ． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中． 20．计算： (1)． (2)． 21．先化简．再求值：，其中． 22．计算： 23．先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 24．先化简，再求值：，其中为不等式组 的整数解． 25．先化简再求值，其中a的值从不等式的解集中选取一个合适的整数． 26．先化简，再求代数式的值，其中． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一、数与式 一、单选题 1．下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据实数大小比较的法则解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 2．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】由，再结合数轴即可求解． 【详解】解：∵， ∴观察数轴，点M符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零次幂的含义，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，完全平方公式的应用，根据以上运算的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，，， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选D． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，多项式除以单项式和求一个数的算术平方根，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．如图，在平行四边形中，，的角平分线交于点E，且E点在边上且，线段DE的长度是（    ）    A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义证出，，，则，，，得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， 在中， 由勾股定理得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 7．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解题的关键． 如图：连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：如图：连接，设直线与边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴． 故选A． 8．估算的结果（（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，实数的估算，不等式的性质等知识，准确理解根号的运算是解题的关键．先根据实数的运算法则计算，然后估算即可． 【详解】解∶， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选∶B． 9．现有长度分别为1，2，…，7的小木棍各一条，从中选出若干条木棍组成“木棍组”，由这一组木棍恰好可以拼接成一个正三角形（木棍不允许折断），则这样的“木棍组”共有（    ） A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，先根据题意得由这一组木棍恰好可以拼接成一个正三角形（木棍不允许折断），正三角形的边长最大为9，再据此分类讨论即可． 【详解】由这一组木棍恰好可以拼接成一个正三角形（木棍不允许折断）， ∵， ∴正三角形的边长最大为9， ∵， ∴共有6组， ∵ ∴共有2组， ∴这样的“木棍组”共有8组， 故选：B． 10．如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于列出不等式即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13．要使有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0列不等式，即可求解． 【详解】解：要使有意义，则， 解得， 故答案为：． 14．若多项式可化为的形式，则的值为 【答案】2 【分析】本题考查完全平方公式，根据多项式可化为的形式，得到是一个完全平方式，进而得到，进而得到，或，，进而求出的值即可． 【详解】解：∵多项式可化为的形式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴当时，；当时，， ∴或， 故答案为：2． 15．图中黑色圆点的个数依次为：，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第99个数为 ． 【答案】 120 11175 【分析】此题考查了图形类的规律变化，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键． 先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第10和99个能被3整除的数所在组为原数列中的个数，代入计算即可． 【详解】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：， 第④个图形中的黑色圆点的个数为：， …… 第n个图形中的黑色圆点的个数为， ∴这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，．．．， ∴其中每3个数中，都有2个能被3整除， （组）， ∴第10个能被3整除的数为原数列中的个数为（个）， ∴=120． ∵（组）……1， ∴第99个能被3整除的数为原数列中的个数为（个） ∴， 故答案为：120，11175． 16．使代数式 有意义的x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据四次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】由题意得，，， 解得，，， 故答案为：且． 17．如图，在等边三角形中，，于点D，点E，F分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】由等边三角形的性质可得，由是直角三角形，分两种情况讨论：①若，②若，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可得， 分两种情况： ①若，如图所示：    ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，可得， 又∵， ∴ ， ∴， ∴； ②若，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质的运用，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 18．已知，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查实数的运算，整式的乘法运算． （1）先算算术平方根，零指数幂，再算加法即可； （2）先用平方差公式和去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 21．先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 【详解】解： ； 当时， 原式． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整指数幂与求立方根的运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 23．先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据分式有意义的条件得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ，， ，， 时，原式． 24．先化简，再求值：，其中为不等式组 的整数解． 【答案】当时，原式= 【分析】先根据分式的四则混合运算法则将原式进行化简，再解不等式组求出x的范围，结合原式中各个分式有意义的条件找出x的整数解.再代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】      解不等式组 由①式得， 由②式得     ， ∵为不等式组 的整数解 ∴不等式的整数解是或 ∵且 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算和解不等式组，解题的关键是计算要准确，代入求值时要注意x的取值． 25．先化简再求值，其中a的值从不等式的解集中选取一个合适的整数． 【答案】，时，原式为1 【分析】本题考查的是分式的化简求值及无理数的估算．先对括号里进行通分，去括号后对分子分母进行分解因式后约分即可化简，估算出的范围，选取合适的数时要注意保证分式的化简有意义． 【详解】解： ， ∵，， ∴， 由分式的意义可知且且，所以取， ∴原式． 26．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先进行分式的混合运算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $