专题三：不等式与不等式组-2025-2026学年寒假数学中考备战专题

专题三：不等式与不等式组 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下：    故选：B． 2．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 3．已知一次函数（k为常数，）的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数解析式，一元一次不等式的解法，掌握知识点是解题的关键． 将代入，求出一次函数的解析式，可得一元一次不等式，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ，解得 ∴一次函数， 则，解得 ． 故选A． 4．点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， 解得， 故选：C． 6．已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于x的方程有两个实数根； ④当时，若，则x的取值范围是． 以上结论正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：①若，则，解得，或， ∴的值为；故①错误； ②当时， ，∴当时，代数式的最小值为；故②错误； ③由题意得，， ∴或， 解得，或； 解，即，没有实数解， ∴关于x的方程有两个实数根，故③正确； ④当时， ∴，解得；故④错误； 综上，只有③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和一元二次方程的解法是解题的关键． 7．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键． 【详解】解： 由①得； 由②得； 不等式组有且仅有4个整数解， ； 关于的方程中，， ，即， 关于的方程无实数根， 故选：C． 9．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 10．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可． 【详解】解：原甲杯浓度：， 乙杯浓度：， 从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：， 混合后甲杯总糖量：， 混合后甲杯总质量：克， 混合后浓度： ， 甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度， 即． 故选：D． 二、填空题 11．关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可. 【详解】解： 移项得， 合并同类项得，， 系数化1得，， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键. 12．不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可． 【详解】解： 不等式①的解集即为：， 解不等式②，得：， 所以该不等式组的解集是． 故答案为：． 13．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了求反比例函数值，解一元一次不等式， 将代入得，求出解集可得答案. 【详解】解：∵，且， ∴， 解得. 所以房间的最大面积是20平方米. 14．已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．根据题目中的不等式可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】由得，， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴且， 解得，， 故答案为． 15．不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可确定式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，要注意不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找． 16．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知，关于的一元二次方程有实数根，则，解关于的不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟记对应有两个不相等的实数根；对应有两个相等的实数根；对应无实数根是解决问题的关键． 17．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 故答案为：． 18．关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查解不等式组，分别解出不等式①和②，再把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： （2） （3）不等式①和②的解集在数轴上表示    （4）原不等式的解集为： 故答案为：． 20．解不等式组 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的取值范围，即可求出答案． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集，准确求出每个不等式的解是解题的关键． 21．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 22．解不等式：． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：① ② ③ ④ 【答案】错误步骤为①④，正确的解答见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：错误步骤为①④ 正确的过程： ． 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：． 23．党的二十大报告指出：“确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．某产粮大户积极扩大粮食种植规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农具，已知一件甲农具比一件乙农具多2万元，用40万元购买甲农具的数量和用30万元购买乙农具的数量相同． (1)求购买1件甲农具和1件乙农具各需要多少万元？ (2)该产粮大户计划购买甲、乙两种农具共20件，费用不超过150万元，求最多能购买甲农具多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需要8万元，1件乙种农机具需要6万元 (2)甲种农机具最多能购买15件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点， （1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据“用40万元购买甲种农机具的数量和用30万元购买乙种农机具的数量相同”列出方程，即可求解； （2）设甲种农机具最多能购买m件，根据题意，列出不等式，即可求解； 明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买1件甲种农机具需要8万元，1件乙种农机具需要6万元． （2）设购买m件甲种农机具，则购买件乙种农机具， 依题意得：， 解得：． 答：甲种农机具最多能购买15件． 24．为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 25．为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． (1)求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元； (2)由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？ (3)商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案． 【答案】(1)甲种消毒液的零售价为30元，乙种消毒液的零售价为20元 (2)当甲种消毒液购买250桶时，所需资金总额最少，最少总金额是12500元 (3)购进方案有3种：①购进A种高压喷壶17个，B种高压喷壶5个；②购进A种高压喷壶9个，B种高压喷壶10个；③购进A种高压喷壶1个，B种高压喷壶15个 【分析】（1）设乙种消毒液的售价为元，则甲种消毒液的售价为元，由学校用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液列出分式方程，解方程即可； （2）设甲种消毒液购买桶，则乙种消毒液购买桶，由甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，列出关于的一元一次不等式，解得的取值范围，然后设所需资金总额为元，再由题意列出函数关系式，然后利用函数性质即可解决问题； （3）设购进A种高压喷壶a个，B种高压喷壶b个，由题意∶学校用节省下来的钱全部购进A， B两种高压喷壶．列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种消毒液的售价为元，则甲种消毒液的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种消毒液的零售价为元，乙种消毒液的零售价为元； （2）解：设甲种消毒液购买桶，则乙种消毒液购买桶， 由题意得：≥， 解得：≥， 设所需资金总额为元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值， 答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元； （3）解：学校节省下来的钱为：（元）， 设购进种高压喷壶个，种高压喷壶个， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴购进方案有种： ①购进种高压喷壶个，种高压喷壶个； ②购进种高压喷壶个，种高压喷壶个； ③购进种高压喷壶个，种高压喷壶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和w关于m的函数关系式； （3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 26．农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． (1)甲、乙两个礼品的进价是多少元？ (2)为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 【答案】(1)每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元 (2)最少购进20个甲礼品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式求解是解题的关键． （1）设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元，根据用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍建立方程求解即可； （2）设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个，根据总利润不低于4120建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元； （2）解：设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个， 由题意得，， 解得， ∴最少购进20个甲礼品， 答；最少购进20个甲礼品． 试卷第2页，共16页 试卷第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三：不等式与不等式组 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数（k为常数，）的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．点在第三象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于x的方程有两个实数根； ④当时，若，则x的取值范围是． 以上结论正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 9．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 二、填空题 11．关于x的不等式的解集是 . 12．不等式组的解集是 ． 13．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米． 14．已知不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围 ． 15．不等式组的解集为 ． 16．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 17．不等式的解集为 ． 18．关于的不等式组的解是，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 19．解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式的解集为______． 20．解不等式组 21．解不等式组：． 22．解不等式：． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：① ② ③ ④ 23．党的二十大报告指出：“确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．某产粮大户积极扩大粮食种植规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农具，已知一件甲农具比一件乙农具多2万元，用40万元购买甲农具的数量和用30万元购买乙农具的数量相同． (1)求购买1件甲农具和1件乙农具各需要多少万元？ (2)该产粮大户计划购买甲、乙两种农具共20件，费用不超过150万元，求最多能购买甲农具多少件？ 24．为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 25．为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． (1)求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元； (2)由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？ (3)商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案． 26．农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． (1)甲、乙两个礼品的进价是多少元？ (2)为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $