专题二：方程与方程组-2025-2026学年寒假数学中考备战专题

专题二、方程与方程组 一、单选题 1．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 2．几个人共同种一批树苗，如果每人种棵，则少棵树苗；如果每人种棵，则剩下棵树苗未种．若设参与种树的人数为人，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的图象与x轴的交点情况是（    ） A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定 4．学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球元，一个B品牌足球元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 6．已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，射线在平面内．射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，已知平分，当与互余时旋转角等于（ ）    A．或 B．或 C．或 D．或 9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A．1 B．0 C．6 D．2 10．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．关于x的方程的解是 ． 12．一元二次方程的根是 ． 13．设是方程的两个根，若，则 ． 14．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为 ．（不必化简） 15．对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 16．二元一次方程的正整数解为 ． 17．若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 18．在平面直角坐标系中，直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点，已知的面积等于，则的值为 ． 三、解答题 19．小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 20．春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 21．解方程： 22．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 23．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 24．甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时． (2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求货车出发多长时间两车相距90千米． 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 26．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二、方程与方程组 一、单选题 1．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 2．几个人共同种一批树苗，如果每人种棵，则少棵树苗；如果每人种棵，则剩下棵树苗未种．若设参与种树的人数为人，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设参与种树的人数为人，根据每人种棵，则少棵树苗；每人种棵，则剩下棵树苗未种，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有人参加种树， ． 故选：D． 3．二次函数的图象与x轴的交点情况是（    ） A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答． 【详解】解：令， ， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题． 4．学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球元，一个B品牌足球元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论． 【详解】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个， 依题意，得：， ． ，均为正整数， ，，，， 该学校共有种购买方案． 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点. 5．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 6．已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组． 根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可． 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数， ，且， ， 整理得：，且， 解得，且，， 综上所述，则取值范围是且， 故选：B。 7．《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由钱数不变，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 8．如图，，射线在平面内．射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，已知平分，当与互余时旋转角等于（ ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分当在的外部时，当在的内部时，分别表示出与，根据与互余，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：当在的外部时，如图所示，    ∴ ∵与互余 ∴， 解得：； 当在的内部时，如图所示，    ∴ ∴ 解得：； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，余角的定义，一元一次方程的应用，分类讨论，数形结合是解题的关键． 9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A．1 B．0 C．6 D．2 【答案】C 【分析】先解分式方程求得，再根据分式方程无解，可得，即，即可求解． 【详解】解：∵， 两边同时乘以得，， ∴， ∵分式方程无解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，正确理解方程无解的条件是解题的关键． 10．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题 11．关于x的方程的解是 ． 【答案】 【详解】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【分析】解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，； 故答案为：， 13．设是方程的两个根，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 14．如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为 ．（不必化简） 【答案】 【分析】设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，根据台布的面积是桌面面积的2倍．即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设各边垂下的长度为， 则台布的长为，宽为， 依题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式，先根据新定义解分式方程，求出x的值，再根据题意将x的值代入到不等式中，解不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 将代入中可得， 解得：， 故答案为：． 16．二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解．正确的解二元一次方程是解题的关键．由，可得，当时，；当时，，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，， ∴二元一次方程的正整数解为，， 故答案为：，． 17．若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点，已知的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】依据题目求出，，再根据的面积等于，即可得出答案． 【详解】当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点， ∴， ∵的面积等于16， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与轴、轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与轴、轴的交点的求法是解题的关键． 三、解答题 19．小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 20．春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？ 【答案】从写“福”字的同学中调20人去写春联 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设从写“福”字的同学中调人去写春联，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设从写“福”字的同学中调x人去写春联， 根据题意得，解得． 答：从写“福”字的同学中调20人去写春联． 21．解方程： 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解： 得，， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 22．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 【答案】(1)31 (2)第n个图案中六边形的个数为； (3)n的值为100． 【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）根据规律得出第个图案的基本图形数量； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案中六边形的个数为， 第2个图案中六边形的个数为， 第3个图案中六边形的个数为， …… 第5个图案中六边形的个数为， 故第5个图案中有31个六边形； 故答案为：31； （2）解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； …… 所以第n个图案中六边形的个数为； （3）解：由（2）可知， 解得， 所以n的值为100． 23．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】(1)购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 (2)购买吊兰的数量最多为17盆 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【详解】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； （2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键． 24．甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时． (2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求货车出发多长时间两车相距90千米． 【答案】(1)； (2) (3)货车出发小时或小时后两车相距千米． 【分析】（1）观察函数图象可知货车的速度是千米/小时，进而求出轿车的速度即可； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）设货车出发小时后两车相距千米，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时； 故答案为：；； （2）解：由题意可知：，，， 设直线的解析式为， ， 当时，， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ， ； （3）解：设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得： 或， 解得或． 答：货车出发小时或小时后两车相距千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 26．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 试卷第16页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $