第25章 投影与视图（复习讲义）数学沪科版九年级下册

第25章 投影与视图（复习讲义） 1. 理解投影、平行投影、中心投影的概念，能区分不同投影类型的特征. 2. 掌握三视图（主视图、俯视图、左视图）的定义与画法规则，能根据几何体画出完整、准确的三视图. 3. 能根据三视图还原几何体，理解“视图→几何体”的逆向思维过程，解决简单的三视图还原问题. ●一、投影 1、投影的定义：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影. 2、平行投影 ◆平行投影的定义：由平行光线形成的投影是平行投影. ◆平行投影的性质：同一时刻物体高度与影长成正比. ◆正投影 （1）定义：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，这种投影称为正投影. （2）规律： 线段：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点； 平面图形：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段； 几何体：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形. 3、中心投影 ◆中心投影的定义：由一点（点光源）发出的光线所形成的投影. ◆中心投影的性质：物体顶端与影子顶端连线必过发光点. ●二、视图 1、视图的定义： 从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影． 2、三视图 ◆定义：对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图． ◆画图规则：主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等；看不见的线画虚线． 题型一 投影的识别 【例1】（2025年·广东省·佛山市·模拟题）下列投影，属于平行投影的是（　　） A.晚上路灯下小孩的影子 B.阳光下沙滩上人的影子 C.汽车灯光照射下行人的影子 D.皮影戏中的影子 【变式1-1】（2025年·广西壮族自治区·同步练习）下列投影中，是平行投影的是 （ ） A.太阳光下楼房的影子  B.路灯下行人的影子 C.台灯下书本的影子    D.手电筒照射下纸片的影子 【变式1-2】（2025年·辽宁省·沈阳市·月考）下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（　　） A. B. C. D. 题型二 投影的特征 【例2】（2025年·湖北省·同步练习）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ） A.逐渐变短     B.逐渐变长   C.先变长后变短   D.先变短后变长 【变式2-1】（23-28九年级下·全国·课后作业）在一天内三个不同时刻，同一棵树的影子如图中A、B、C所示，请将它们按时间的先后顺序排列是 (上北、下南、左西、右东)． 【变式2-2】（2023·河南省·郑州市·月考）给出下列结论正确的有( ) ①在同一时刻，物体在阳光照射下，影子的方向是相同的； ②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的； ③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关； ④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型三 正投影的识别及其特征 【例3】（2025湖北省·襄阳市·阶段练习）下面是矩形在水平面上的投影，属于正投影的是（ ） A. B. C. D. 【变式3-1】（18-19九年级上·全国·课后作业）若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 【变式3-2】（2025·安徽省·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（  ） A.一条线段              B.一个与原三角板全等的三角形 C.一个等腰三角形              D.一个小圆点 题型四 投影的应用 【例4】（2024·四川省·达州市·月考）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD.小东上午去学校时发现路灯AB在阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯CD下的影子恰好落在里程碑E处. （1）在图中画出小东的位置（用线段PQ表示），并画出光线，标明阳光、灯光； （2）若小东上午去学校时高2.5m的木棒在阳光下的影长为10m,他的身高为1.5m,他距里程碑点E为5m,求路灯的高. 【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【变式4-2】（2025·安徽省·阜阳市·模拟题）如图，一栋楼房AB后有一个小山坡CD，其坡度i=3：4.某一时刻太阳光线与水平线的夹角为40°时，楼房AB在小山坡CD上的影长为25米，测得坡脚C与楼房的水平距离BC=40米，求楼房AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 题型五 视点，视角和盲区的定义 【例5】（2024·黑龙江·期中测试）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下B处，楼前有一堵高墙.小明　 　看见亮亮.（填“能”或“不能”） 【变式5-1】（2024·山东省·济南市·月考）如图，从点D观测建筑物AC的视角是（　　） A.∠ADC B.∠DAB C.∠DCA D.∠DCE 【变式5-2】图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（　　） A.P区域 B.Q区域 C.M区域 D.N区域 题型六 视点，视角和盲区的应用 【例6】（2025·河北省·秦皇岛市·月考）某圆形舞台，圆心为O.A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧（点C是该弧中点）围成的区域是表演区.如图1，在A处安装一台监控器，其监控角度为70°.如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（　　） 甲：在B处放置；乙：在M处放置；丙：在N处放置 A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 【变式6-1】（2025·上海市·期中测试）图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm,识别的最远水平距离OB=150cm、身高208cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【变式6-2】（2025·山东省·枣庄市·期中测试）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2 ，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为 1.45m，车宽 AF=1.8m，车头 FACD近似看成一个矩形，且满足 3DF=2AF，求汽车盲区EB的长度． 题型七 判断简单几何体的三视图 【例7】（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2022·辽宁沈阳·一模）如图所示几何体的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式7-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 题型八 判断简单组合体的三视图 【例8】（2025·天津市·期末）如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是（  ） A. B. C. D. ​​​​​​​ 【变式8-1】（2025宁夏回族自治区·银川市·一模）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是(     ) A. B. C. D. 【变式8-2】（2024·安徽淮南·模拟预测）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．  C．   D．   题型九 作图-三视图 【例9】（2025·山东省·淄博市·期末）如图是由五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请分别画出这个图形的从正面看、从左面看、和从上面看的图形． 【变式9-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图．       【变式9-2】（20-21九年级·全国·课后作业）画出下列几何体的三视图． （1） （2） 题型十 由三视图判断几何体 【例10】（2025·浙江省·绍兴市·二模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【变式10-1】（2024·山东省·济宁市·二模）如图表示某几何体的三视图，则该几何体的名称是　 　. 【变式10-2】（2025·广东省·同步练习）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为 （ ） A. B. C. D. 题型十一 判断小正方体的个数 【例11】（2023·安徽省·月考）用若干个大小相同，棱长为1的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式11-1】（2024·江苏省·扬州市·月考）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与左视图如图所示，搭成这个几何体的小正方体的个数不可能为（　　） ​ A.10 B.9 C.8 D.7 【变式11-2】（2020·福建省·泉州市·月考）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数最多为_______块 . 题型十二 根据三视图求表面积、体积 【例12】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中单位：） （用含有式子表示） 【变式12-1】（22-23九年级上·重庆南岸·期末）如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2019·安徽省·合肥市·单元测试）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形.请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积. 基础巩固通关测 1．（2025·广东省·模拟题）下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 2．（2025·福建省·同步练习）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是 A.③－④－①－②    B.②－①－④－③ C.④－①－②－③    D.④－①－③－② 3．（2025·福建省·单元测试）下列说法正确的是（　　） A.三角形的正投影一定是三角形 B.长方体的正投影一定是长方形 C.球的正投影一定是圆 D.圆锥的正投影一定是三角形 4．（2025·广东省·深圳市·月考）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A.△ACE B.△ADF C.△ABD D.四边形BCED 5．（2025·广东省·期中测试）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 6．（2025·山东省·威海市·中考）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的.其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　） A. B. C. D. 7．（2025·江苏省·南京市·期中）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的名称是 ． 8．（2025·山东省·淄博市·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方形搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示.搭成这个几何体用到的小正方形的个数最多是 个． 9．（2020·福建省·单元测试）如图，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm． ​​ 10．（2025·山东省·烟台市·期中）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为____． 11．（2025·山西省·太原市·月考）一个几何体由若干个棱长为1cm的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是_____cm2. 12．（2025·广东省·佛山市·期中）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离 BC=0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长 CN=0.5m，AC在地面的影长 CM=2m，则窗户的高度AB为_____m ． 能力提升进阶练 13．（15-16九年级下·全国·期末）分别画出图中立体图形的三视图． 14． （2025·河南省·郑州市·期中）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形. （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 ______ 个面. 15．（2025·山东省·烟台市·期中）在平整的地面上，有一个由9个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为10cm，如图所示. （1）请画出这个几何体从三个方向看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，添加小正方体的方法共有 ______ 种； （3）请在图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图. （4）将原几何体露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ______ . 16．（2025·重庆市·月考）【问题情境】国庆节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 17．（2023·山东省·济南市·单元测试）一透明的敞口正方体容器ABCD - A'B'C'D'中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α (∠CBE=α ，如图所示). 探究：如图① ，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图② . 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是          ，BQ的长是          dm； (2)求液体的体积.[参考算法:直棱柱体积( )=底面积( )×高AB] 18．（2023·江苏省·南京市·期末）一个几何体的表面展开图如图1所示． （1）这个几何体的名称是______； （2）图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； （3）请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简） 19．（2025·江苏省·南京市·月考）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走a m到点B． （1）若他在点A处的影长为1.8 m，他的身高为1.5 m，路灯P距离地面的高度为3 m，求此时他到路灯的水平距离AQ； （2）已知他在点A，B处的影长之差为b m，他的身高为h m，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 20．（2025·江苏省·无锡市·期中）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．小明观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若小明的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 投影与视图（复习讲义） 1. 理解投影、平行投影、中心投影的概念，能区分不同投影类型的特征. 2. 掌握三视图（主视图、俯视图、左视图）的定义与画法规则，能根据几何体画出完整、准确的三视图. 3. 能根据三视图还原几何体，理解“视图→几何体”的逆向思维过程，解决简单的三视图还原问题. ●一、投影 1、投影的定义：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影. 2、平行投影 ◆平行投影的定义：由平行光线形成的投影是平行投影. ◆平行投影的性质：同一时刻物体高度与影长成正比. ◆正投影 （1）定义：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，这种投影称为正投影. （2）规律： 线段：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点； 平面图形：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段； 几何体：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形. 3、中心投影 ◆中心投影的定义：由一点（点光源）发出的光线所形成的投影. ◆中心投影的性质：物体顶端与影子顶端连线必过发光点. ●二、视图 1、视图的定义： 从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影． 2、三视图 ◆定义：对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图． ◆画图规则：主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等；看不见的线画虚线． 题型一 投影的识别 【例1】（2025年·广东省·佛山市·模拟题）下列投影，属于平行投影的是（　　） A.晚上路灯下小孩的影子 B.阳光下沙滩上人的影子 C.汽车灯光照射下行人的影子 D.皮影戏中的影子 【答案】B 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键． 根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、属于中心投影，不符合题意； B、属于平行投影，符合题意； C、属于中心投影，不符合题意； D、属于中心投影，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2025年·广西壮族自治区·同步练习）下列投影中，是平行投影的是 （ ） A.太阳光下楼房的影子  B.路灯下行人的影子 C.台灯下书本的影子    D.手电筒照射下纸片的影子 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意； B、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； C、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意． 故选：A． 【变式1-2】（2025年·辽宁省·沈阳市·月考）下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，解题的关键是熟练掌握投影的特点．光线所形成的投影称为平行投影，中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此求解即可． 【详解】解：根据光线所形成的投影称为平行投影，中心放射状光线所形成的投影称为中心投影判断如下：选项A，B，D是中心投影，选项C是平行投影， ∴在地面上形成的投影与其它三项不同的是C． 故选：C． 题型二 投影的特征 【例2】（2025年·湖北省·同步练习）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ） A.逐渐变短     B.逐渐变长   C.先变长后变短   D.先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，属于基础题.由题意，小亮由A处走到路灯下，他的影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长，即可得解． 【详解】解：根据中心投影的特点，知小亮由A处走到路灯下，他的影子由长变短，由路灯下走到B处，他的影子由短变长， 故选D. 【变式2-1】（23-28九年级下·全国·课后作业）在一天内三个不同时刻，同一棵树的影子如图中A、B、C所示，请将它们按时间的先后顺序排列是 (上北、下南、左西、右东)． 【答案】C、B、A 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：从早晨到傍晚，物体影子的指向应为西、西北、北、东北、东，所以影子的顺序是C、B、A． 故答案为C、B、A． 【变式2-2】（2023·河南省·郑州市·月考）给出下列结论正确的有( ) ①在同一时刻，物体在阳光照射下，影子的方向是相同的； ②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的； ③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关； ④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律． 利用平行投影和中心投影的特点和规律分别分析可判断正误． 【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确； ②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误； ③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确； ④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误． 所以正确的只有2个． 故选：C． 题型三 正投影的识别及其特征 【例3】（2025湖北省·襄阳市·阶段练习）下面是矩形在水平面上的投影，属于正投影的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正投影的有关知识，由题意根据正投影是平行光垂直于屏幕的投影进行求解即可. 【详解】解：A.是正投影； B.是点光源进行的投影，不是正投影； C.不是正投影； D.不是正投影. 故选A. 【变式3-1】（18-19九年级上·全国·课后作业）若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影的知识点，解题的关键是熟练的掌握正投影的定义和性质. 根据正投影的定义和性质解答可得． 【详解】若线段AB平行于投影面，则AB=CD， 若线段AB不平行于投影面，则AB>CD， 则AB≥CD， 故答案选：D. 【变式3-2】（2025·安徽省·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（  ） A.一条线段              B.一个与原三角板全等的三角形 C.一个等腰三角形              D.一个小圆点 【答案】D 【分析】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键．由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D. 题型四 投影的应用 【例4】（2024·四川省·达州市·月考）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD.小东上午去学校时发现路灯AB在阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯CD下的影子恰好落在里程碑E处. （1）在图中画出小东的位置（用线段PQ表示），并画出光线，标明阳光、灯光； （2）若小东上午去学校时高2.5m的木棒在阳光下的影长为10m,他的身高为1.5m,他距里程碑点E为5m,求路灯的高. 【答案】（1）见解析；（2）路灯的高为3.3m 【分析】本题考查了作图一应用设计作图，相似三角形的应用，平行投影等知识，,正确作出图形是解题的关键. （1）作阳光线BE，过点C作BE的平行线交DE于点Q，过点Q作QP⊥CE于点P，则线段PQ即为所求； （2）根据同一时刻物高与影长成正比得出比例式求出PC的长，再根据PQ∥CD得出比例式得出CD的长即可 【详解】解：（1）小东的位置（用线段PQ表示），画出光线，标明阳光、灯光如图所示： （2）由题意可知，， ∴PC=6， ∵PQ∥CD， ∴， ∴， ∴CD=3.3， 即路灯的高为3.3m. 【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】（1）见解析；（2）灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 【变式4-2】（2025·安徽省·阜阳市·模拟题）如图，一栋楼房AB后有一个小山坡CD，其坡度i=3：4.某一时刻太阳光线与水平线的夹角为40°时，楼房AB在小山坡CD上的影长为25米，测得坡脚C与楼房的水平距离BC=40米，求楼房AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【答案】楼房AB的高度约为65米 【分析】过点D分别作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，则四边形BFDE是矩形，DF=BE，DE=BF．设DE=3x，可得CE=4x，由勾股定理得（3x）2+（4x）2=252，解得x=5，从而CE=20，BF=DE=15，在Rt△ADF中，解直角三角形得AF=DFtan40°≈60×0.84=50.4米，从而即可得解． 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：过点D分别作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，则四边形BFDE是矩形， ∴DF=BE，DE=BF， 在Rt△DCE中， ∵， ∴设DE=3x，可得CE=4x， 由勾股定理得（3x）2+（4x）2=252，解得x=5， ∴CE=20，BF=DE=15， ∴DF=BE=BC+CE=40+20=60（米）． 在Rt△ADF中， ∵， ∴AF=DFtan40°≈60×0.84=50.4（米）， ∴AB=AF+BF=50.4+15≈65（米）． 答：楼房AB的高度约为65米． 题型五 视点，视角和盲区的定义 【例5】（2024·黑龙江·期中测试）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下B处，楼前有一堵高墙.小明　 　看见亮亮.（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查了视点、视角和盲区，掌握盲区的定义是解答本题的关键．过点A向高墙顶部作一条直线，即可判断小明能否看见亮亮． 【详解】解：如图所示： 过点A向高墙顶部作一条直线，可知亮亮在小明的盲区内， 所以小明不能看见亮亮． 故答案为：不能． 【变式5-1】（2024·山东省·济南市·月考）如图，从点D观测建筑物AC的视角是（　　） A.∠ADC B.∠DAB C.∠DCA D.∠DCE 【答案】A 【分析】本题考查视点、视角和盲区，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据视角的定义判断即可． 【详解】解：从点D观测建筑物AC的视角是∠ADC． 故选：A． 【变式5-2】图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（　　） A.P区域 B.Q区域 C.M区域 D.N区域 【答案】B 【分析】本题的关键是弄清视点，视角和盲区的定义．根据视点、视角和盲区的定义，观察图形解决． 【详解】解：由图片可知，只有Q区域同时处在三个侧面的观察范围内． 故选：B． 题型六 视点，视角和盲区的应用 【例6】（2025·河北省·秦皇岛市·月考）某圆形舞台，圆心为O.A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧（点C是该弧中点）围成的区域是表演区.如图1，在A处安装一台监控器，其监控角度为70°.如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（　　） 甲：在B处放置；乙：在M处放置；丙：在N处放置 A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题考查了视点、视角和盲区，解题的关键是掌握等腰三角形的性质以及视角和盲区等定义． 根据题意可知，△ABC的等腰三角形，在A处安装一台监控器，监控能覆盖，所以在B处安装一台监控器，监控能覆盖，同理，在M处安装一台监控器，监控能覆盖盖． 【详解】解：再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，即可以监控到线段AB及优弧（点C是该弧中点）围成的区域，在A处安装一台监控器，监控已覆盖线段AB及，故只需再覆盖就可以，在B处、M处分别安装一台监控器，监控能覆盖，在N安装一台监控器，监控不能覆盖，故方案可行的是甲、乙． 故选：A． 【变式6-1】（2025·上海市·期中测试）图①是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图②，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm,识别的最远水平距离OB=150cm、身高208cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】最少需要下蹲约12.9cm才能被识别 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，视点、视角和盲区，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作CD⊥OB，交AM于点D，交AN于点E，交AG于点F，根据题意可得：OA=CF=160cm，OC=AF=130cm，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系求出CD的长，最后进行比较即可解答． 【详解】解：过点C作CD⊥OB，交AM于点D，交AN于点E，交AG于点F， 由题意得：OA=CF=160cm,OC=AF=130cm, 在Rt△ADF中，∠DAF=15°， ∴DF=AF•tan15°≈130×0.27=35.1（cm）， ∴CD=DF+CF=35.1+160=195.1（cm）， ∵小杜的身高为208cm， ∴208-195.1=12.9（cm）， ∴小杜最少需要下蹲约12.9cm才能被识别． 【变式6-2】（2025·山东省·枣庄市·期中测试）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2 ，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为 1.45m，车宽 AF=1.8m，车头 FACD近似看成一个矩形，且满足 3DF=2AF，求汽车盲区EB的长度． 【答案】汽车盲区EB的长度为10.8m 【分析】本题考查视点、视角和盲区,相似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,理由相似三角形的性质解决问题. 过点 P作 PN⊥EB于点 N，交 AF于点 M．根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：如图，过点 P作 PN⊥EB于点N，交AF于点M．   ∵ 3DF=2AF，  AF=1.8m ， ∴DF=1.2m ， ∵四边形 ACDF是矩形，  ∴∠FDC=90°， AF∥CD，  ∴DF⊥DC，  ∵MN⊥DC， ∴DF=MN=1.2m ， ∵PN=1.45m ， ∴PM=PN - MN=1.45-1.2=0.25m ， ∵AF∥EB ，  ∴△PAF∽△PBE， ∴ ，  ∴，  ∴EB=10.8m， 答：汽车盲区EB的长度为10.8m． 题型七 判断简单几何体的三视图 【例7】（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查物体的三视图中的主视图，熟练的掌握主视图的定义是解题的关键． 主视图是指从物体正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上，投影的影像叫做主视图． 【详解】解：如图所示，是该物体的三视图． 故选：A 【变式7-1】（2022·辽宁沈阳·一模）如图所示几何体的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了画几何体的主视图，主视图是从几何体正面观察到的视图，掌握三视图的特征是解题的关键．据此进行解答即可． 【详解】解：几何体的主视图为：    故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线． 根据俯视图是从上面看到的图形且能看到的线画实线，看不到的线画虚线，据此即可解答． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：C． 题型八 判断简单组合体的三视图 【例8】（2025·天津市·期末）如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画出从正面看到的图形即可得到它的主视图． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形， ∴这个几何体的主视图为：， 故选B.​​​​​​​ 【变式8-1】（2025宁夏回族自治区·银川市·一模）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，准确理解三视图的定义是解题的关键.根据三视图的定义确定出各选项中几何体的三视图，进而得出正确答案的. 【解答】解：选项C中几何体的主视图和左视图均为： 故选C. 【变式8-2】（2024·安徽淮南·模拟预测）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，掌握几何体的三视图的定义及空间想象能力成为解题的关键． 观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看：一共三列左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形据此即可解答． 【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：    故选：C． 题型九 作图-三视图 【例9】（2025·山东省·淄博市·期末）如图是由五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请分别画出这个图形的从正面看、从左面看、和从上面看的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图--三视图．从正面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；画出从正面，左面，上面看，得到的图形即可． 【详解】解：如图所示： 【变式9-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图．    【答案】见解析 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．根据观察的几何体画出图形即可． 【详解】解：画出的主视图、左视图、俯视图如图：    【变式9-2】（20-21九年级·全国·课后作业）画出下列几何体的三视图． （1） （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查简单几何体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则． （1）根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图即可． 【详解】解：（1）该几何体的三视图如图所示： （2）该几何体的三视图如图所示： 题型十 由三视图判断几何体 【例10】（2025·浙江省·绍兴市·二模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力． 由主视图和左视图可确定此几何体为柱体，锥体还是球体，再由俯视图可得具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可确定此几何体为柱体，由俯视图是三角形可得此几何体为三棱柱． 故选：C． 【变式10-1】（2024·山东省·济宁市·二模）如图表示某几何体的三视图，则该几何体的名称是　 　. 【答案】圆柱 【分析】此题考查了由三视图判断几何体，能识别三视图表示的几何体是解本题的关键．根据几何体的三视图确定出几何体的名称即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱， 故答案为圆柱． 【变式10-2】（2025·广东省·同步练习）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图上层为三角形，俯视图为圆心圆，易判断该几何体． 【详解】解：A.该几何体的主视图的上层是三角形,选项A的几何体的上层是矩形，故本选项不符合题意； B.该几何体的俯视图是同心圆,选项B的俯视图不是同心圆，故本选项不符合题意； C.该几何体的俯视图是一个圆(带圆心)，故本选项不符合题意； D.该几何体的主视图和俯视图符合题意，故本选项符合题意， 故选D. 题型十一 判断小正方体的个数 【例11】（2023·安徽省·月考）用若干个大小相同，棱长为1的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形即可得到答案． 【详解】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个． 故选C. 【变式11-1】（2024·江苏省·扬州市·月考）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与左视图如图所示，搭成这个几何体的小正方体的个数不可能为（　　） ​ A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】A 【分析】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．根据三视图的知识，主视图是由5个小正方形组成，而左视图是由5个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有4个，最多有6个小正方体，第2层有2个小正方体，第三层有1个． 【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有4个小正方体，最多有6个小正方体， 第二层有2个小正方体，第三层有1个， 所以最多有6+2+1=9个小正方体，最少有4+2+1=7个小正方体， 故选A． 【变式11-2】（2020·福建省·泉州市·月考）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数最多为_______块 . 【答案】8 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案． 易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3 块，第三层只有一块，相加即可． 【详解】解：有两种可能； 由主视图可得：这个几何体共有3层， 由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块， 第三层只有一块， ∴最多为3+4+1=8个小立方块， 故答案为8. 题型十二 根据三视图求表面积、体积 【例12】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中单位：） （用含有式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为， 故表面积． 故答案为：． 【变式12-1】（22-23九年级上·重庆南岸·期末）如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键． 直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案． 【详解】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2， 则大圆面积为：，小圆面积为：， 故这个几何体的体积为：． 故选：B． 【变式12-2】（2019·安徽省·合肥市·单元测试）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形.请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积. 【答案】见解析 【分析】此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其侧面积和体积．由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，则求出菱形的边长，从而求出它的侧面积和体积． 【详解】解：该几何体是直四棱柱. 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm. ∴菱形的边长为cm，棱柱的侧面积为×8×4=80(cm2)， 棱柱的体积为×3×4×8=48(cm3)， 故它的侧面积是80cm2，体积是48cm3. 基础巩固通关测 1．（2025·广东省·模拟题）下列投影中，属于中心投影的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 根据中心投影的定义解答即可． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 2．（2025·福建省·同步练习）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是 A.③－④－①－②    B.②－①－④－③ C.④－①－②－③    D.④－①－③－② 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的意义和性质，在阳光下，物体的影子的位置和长度随着时间的变化而变化，掌握变化的规律是判断的前提． 根据平行投影的意义可得，树的影子的位置、长度随时间的变化而变化，进行判断即可． 【详解】解：根据影子的位置和长度，可以判断照片的先后顺序， 早晨太阳在东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，影长先逐渐变短，随后又逐渐变长， 故顺序为：②①④③， 故选：B． 3．（2025·福建省·单元测试）下列说法正确的是（　　） A.三角形的正投影一定是三角形 B.长方体的正投影一定是长方形 C.球的正投影一定是圆 D.圆锥的正投影一定是三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了正投影的概念：光线垂直照射物体所看到的平面图形叫做正投影；一个物体的正投影与物体的摆放有直接的关系． 根据正投影是垂直照射物体时所看到的平面图形特别要注意这与物体的摆放有直接的关系，由此分析各选 即可得解． 【详解】解：A．三角形的正投影不一定是三角形，错误； B．长方体的正投影不一定是长方形，错误； C．球的正投影一定是圆，正确； D．圆锥的正投影不一定是三角形，错误． 故选：C． 4．（2025·广东省·深圳市·月考）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A.△ACE B.△ADF C.△ABD D.四边形BCED 【答案】C 【分析】此题主要考查了视点、视角和盲区，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断.根据盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，找到在E点处看不到的区域即可. 【详解】解：由图片可知，E视点的盲区应该在△ABD的区域内. 故选C. 5．（2025·广东省·期中测试）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图 故选：A． 6．（2025·山东省·威海市·中考）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的.其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：选项A的三视图均不相同，主视图底层是两个正方形，上层是两个正方形；主视图是一列两个正方形；俯视图是一行两个正方形，故选项A不符合题意； 选项B的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B不符合题意； 选项C的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项C不符合题意； 选项D的三视图相同，均为底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项D合题意； 故选：D． 7．（2025·江苏省·南京市·期中）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的名称是 ． 【答案】四棱锥 【分析】本题考查了由三视图判断几何体.根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可判断出答案. 【详解】解：从该几何体正面、左面和上面看所得到的图形，这个几何体是四棱锥. 故答案为：四棱锥. 8．（2025·山东省·淄博市·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方形搭成，从正面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示.搭成这个几何体用到的小正方形的个数最多是 个． 【答案】6 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够了解两个图形是从哪个方向得到的． 主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．综合这个几何体的主视图和左视图，即可得到结果． 【详解】解：根据从上面看到的图形知：最底层有4个，根据从正面看到的图形可知最多有2个， 综上所述该几何体最多有4+2=6个， 故答案为：6． 9．（2020·福建省·单元测试）如图，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm． ​​ 【答案】 【分析】本题考查正投影的知识，解答本题的关键是知道勾股定理的特点.利用正投影的性质和勾股定理解答即可. 【详解】解：过点A作AD⊥BB1， 则四边形AA1B1D是长方形. ∵∠BAA1=120°， ∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴BD=AB=10（cm）. ∴（cm）， 即A1B1的长为cm. 故答案为. 10．（2025·山东省·烟台市·期中）如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为____． 【答案】250π 【分析】此题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式计算即可． 【详解】解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10， 则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π， 故答案为：250π． 11．（2025·山西省·太原市·月考）一个几何体由若干个棱长为1cm的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是_____cm2. 【答案】24 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积计算，是基础题型． 这个几何体的表面积等于三视图的面积之和的2倍． 【详解】解：（4+3+5）×2 =12×2 =24（cm2）． 故这个几何体的表面积是24cm2． 故答案为：24． 12．（2025·广东省·佛山市·期中）如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离 BC=0.4m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长 CN=0.5m，AC在地面的影长 CM=2m，则窗户的高度AB为_____m ． 【答案】1.2 【分析】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵BN∥AM， ∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M， ∴△CBN∽△CAM， ∴， ∴， 解得：AC=1.6（m）， ∴AB=AC - BC=1.6-0.4=1.2（m）， 故答案为1.2. 能力提升进阶练 13．（15-16九年级下·全国·期末）分别画出图中立体图形的三视图． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三视图的画法，正确从不同的角度得出图形的形状是解题关键． 利用三视图的画法从不同的角度画出图形得出即可． 【详解】解：如图所示： 14．（2025·河南省·郑州市·期中）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形. （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 ______ 个面. 【答案】（1）见解析；（2）26 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． （1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】解：（1）从正面、左面、上面观察到的图形如图所示： （2）这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），需要涂色的面数为（6+6）×2+6+2=32（个）， 故答案为：32． 15．（2025·山东省·烟台市·期中）在平整的地面上，有一个由9个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为10cm，如图所示. （1）请画出这个几何体从三个方向看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，添加小正方体的方法共有 ______ 种； （3）请在图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图. （4）将原几何体露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ______ . 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析；（4）3000cm2 【分析】本题考查了三视图，求几何体的表面积，良好的空间想象能力是解答本题的关键． （1）从三个不同的角度观察，即可画出图形； （2）根据从上面看和从左面看到的形状图不变解答即可； （3）任选2个位置画图即可； （4）用露出面的个数×一个面的面积即可． 【详解】解：（1）这个几何体从三个方向看到的形状图如图所示；     （2） 4； 添加的位置如图所示：    故答案为：4； （3）画添加到位置①和位置②时的图，    （4） 3000cm2． 依题意，露出的涂成红色部分的面积为（6+6+5+5+6+2）×（10×10）=3000（cm2）． 故答案为：3000cm2． 16．（2025·重庆市·月考）【问题情境】国庆节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】（1）①③④；（2）见解析；（3）这样的几何体有3种，最多需要8个小立方块，最少需要7个小立方块，画图见解析 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. （1）根据要求动手操作可得结论； （2）根据正方体的展开图中每个面都有对面,可得答案； （3）根据正面看与上面看的图形,得到俯视图中最左的一列都为3层,第2列都为2层,第3列为1层,得到最多共3+2+2+1=8个小正方体,画出从左面看几何体的图形，如图所示;最少需要3+2+1+1=7个小正方体,分别画出从左边看该几何体得到图形即可. 【详解】解：（1）①③④能围成无盖的正方体. 故答案为：①③④； （2）如图所示，答案不唯一， （3）观察从正面和上面看到的图形可知：这个几何体有3列，第一列有3个正方体，第三列有1个正方体，第二列中最多可以有4个正方体，最少有3个正方形， 如图：（小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数） 所以这样的几何体有3种，它最多需要3+2+2+1=8个小立方块，最少需要3+2+1+1=7个小立方块， 故答案为3；8；7； 从左面看到的图形是： 或 17．（2023·山东省·济南市·单元测试）一透明的敞口正方体容器ABCD - A'B'C'D'中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α (∠CBE=α ，如图所示). 探究：如图① ，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图② . 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是          ，BQ的长是          dm； (2)求液体的体积.[参考算法:直棱柱体积( )=底面积( )×高AB] 【答案】（1）平行；3；（2）24dm3 【分析】本题是立体几何实际应用题，主要考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键. （1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长； （2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积. 【详解】解：（1）平行；3； ∵液体的形状为直三棱柱， ∴CQ∥BE， 根据勾股定理得：. 故答案为平行；3； （2）. 18．（2023·江苏省·南京市·期末）一个几何体的表面展开图如图1所示． （1）这个几何体的名称是______； （2）图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； （3）请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简） 【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键. （1）根据三视图可得几何体的名称； （2）根据主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等作图即可； （3）侧面积与上下底面面积之和即为所求. 【详解】解：（1）三棱柱； 由三视图可知：这个几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）如图所示， （3）； 这个几何体的表面积为， 故答案为：． 19．（2025·江苏省·南京市·月考）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走a m到点B． （1）若他在点A处的影长为1.8 m，他的身高为1.5 m，路灯P距离地面的高度为3 m，求此时他到路灯的水平距离AQ； （2）已知他在点A，B处的影长之差为b m，他的身高为h m，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】（1）AQ=1.8m；（2）灯P离地面的高度为. 【分析】本题主要查了相似三角形的应用,列代数式,中心投影,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. （1）根据△ACE∽△PQE，可得EQ=3.6，即可求解； （2）过点C作CG∥PF，交EF于点G，可得△ACG≌△BDF，从而得到AG=BF，进而得到EG=AE-AG=AE-BF=b，然后根据CG∥PF，可得，再由△ACE∽△QPE，即可求解. 【详解】证明：（1）∵AC∥PQ， ∴△ACE∽△PQE. ∴， 即， ∴EQ=3.6， ∴AQ=1.8m； (2)过点C作CG∥PF，交EF于点G， ∵ CG//PF， ∴∠AGC=∠BFD. ∵∠CAG=∠DBF=90°，AC=BD， ∴△ACG≌△BDF. ∴AG=BF.  ∴EG=AE - AG=AE - BF=b. ∵CG∥PF， ∴， ∵∠CAE=∠PQE==90°，∠E=∠E， ∴△ACE∽△QPE， ∴， ∴PQ=， 因此，路灯P离地面的高度为. 20．（2025·江苏省·无锡市·期中）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．小明观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若小明的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 【答案】（1）影子长120cm；（2）正确，理由见答案；（3）高圆柱的高度为280cm 【分析】本题考査了解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型. (1)根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题； (2)根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光,结合横截面分析可得；(3)过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4x，CG=3x，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB. 【详解】解：（1）设小明的影长为x cm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 答：小明的的影子长为120cm； （2）正确. 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，故高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G， 由题意可得：BC=100cm，CF=100cm， ∵斜坡坡度i=1：0.75， ∴， ∴设FG=4xcm，CG=3xcm， 在△CFG中，∠CGF=90°， ∴，即（4x）2+（3x）2=1002， 解得x=20， ∴CG=3×20=60(cm)，FG=4×20=80(cm)， ∴BG=BC+CG=100+60=160(cm)， 过点F作FH⊥AB于点H，则四边形HBGF为矩形， ∴HF=BG=160cm，BH=FG=80cm， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， ∴，即， ∴AH=200cm， ∴AB=AH+BH=200+80=280(cm)， 答：高圆柱的高度为280cm． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $