专题04 二次函数的压轴题（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题04 二次函数的综合压轴题 题型一：二次函数的综合---线段问题 题型二：二次函数的综合---周长问题 题型三：二次函数的综合---面积问题 题型四：二次函数的综合---等角存在性问题 题型五：二次函数的综合---其它角度存在性问题 题型六：二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 题型七：二次函数的综合----直角三角形周长性问题 题型八：二次函数的综合----等腰直角三角形存在性问题 题型九：二次函数的综合----平行四边形存在性问题 题型十：二次函数的综合----矩形存在性问题 题型十一七：二次函数的综合----菱形存在性问题 题型十二：二次函数的综合----正方形存在性问题 题型十三：二次函数的综合----相似三角形存在性问题 题型十四：二次函数的综合----其它问题 题型一：二次函数的综合---线段问题 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，交轴于另一点，点是拋物线位于第一象限部分上的一点，设点的横坐标为． (1)①直接写出点，的坐标； ②求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交直线于点，当时，求的值． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 题型二：二次函数的综合---周长问题 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 题型三：二次函数的综合---面积问题 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． (1)求a的值和点A，点B的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 8．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点直线经过点B、    (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方的抛物线上一动点不与点B、C重合，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点设点P的横坐标为m，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值． 题型四：二次函数的综合---等角存在性问题 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； (3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 12．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． (3)若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 题型五：二次函数的综合---其它角度存在性问题 13．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，是抛物线的对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，是否存在点P使？如果存在，请求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为， (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 15．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 题型六：二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 17．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴交x轴于E，点D为抛物线顶点． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，且．求点P的坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型七：二次函数的综合----直角三角形存在性问题 19．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数的综合----等腰直角三角形存在性问题 22．（2024秋•东明县校级期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此二次函数解析式和点C的坐标； （2）动点P在二次函数y＝x2+bx+c图象上，且位于第一象限，过点P作PH垂直x轴于点H，连接PA，是否存在点P使△PAH为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标． （2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式． 24．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九：二次函数的综合----平行四边形存在性问题 25．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25九年级上·重庆永川·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型十：二次函数的综合----矩形存在性问题 28．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2025九年级·湖北荆州·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的负半轴上，边在y轴的正半轴上，且，矩形绕点O按顺时针方向旋转后得到矩形点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线过点，，． (1)判断点E是否在y轴上，并说明理由； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在x轴的上方是否存在点P，Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一：二次函数的综合----菱形存在性问题 31．（2024•陕西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线yx﹣2分别交x轴、y轴于点A、B，且抛物线与x轴的另一个交点为C（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 题型十二：二次函数的综合----正方形存在性问题 34．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2024•武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 36．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 题型十三：二次函数的综合----相似三角形存在性问题 37．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 38．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 39．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四：二次函数的综合----其它问题 40．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)当时，求点的坐标； (4)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 41．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (4)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 42．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (4)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的综合压轴题 题型一：二次函数的综合---线段问题 题型二：二次函数的综合---周长问题 题型三：二次函数的综合---面积问题 题型四：二次函数的综合---等角存在性问题 题型五：二次函数的综合---其它角度存在性问题 题型六：二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 题型七：二次函数的综合----直角三角形周长性问题 题型八：二次函数的综合----等腰直角三角形存在性问题 题型九：二次函数的综合----平行四边形存在性问题 题型十：二次函数的综合----矩形存在性问题 题型十一七：二次函数的综合----菱形存在性问题 题型十二：二次函数的综合----正方形存在性问题 题型十三：二次函数的综合----相似三角形存在性问题 题型十四：二次函数的综合----其它问题 题型一：二次函数的综合---线段问题 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，交轴于另一点，点是拋物线位于第一象限部分上的一点，设点的横坐标为． (1)①直接写出点，的坐标； ②求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交直线于点，当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键． （1）①分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；②利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． （2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标． 【详解】（1）解：①在直线中，令，得；令，得，即， 故， ②将两点的坐标代入中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：已知设点P的横坐标为m，则， 当时，，即：， 因点P位于第一象限， ∴， 解方程得，或． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，可得，将，代入，利用待定系数法求解； （2）由二次函数的对称性可得，，当点P在直线上时，和最小，因此求出直线与对称轴的交点即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设，则点，则，根据列式求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：点P是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C， ， ， 当点P在直线上时，和最小， 对称轴：直线， 设直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴ （3）解：抛物线于轴交于，两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． 过点作轴的平行线交于点， 设，则点， 则， ， ∴， 解得或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，线段最值问题，铅垂法求三角形面积等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 题型二：二次函数的综合---周长问题 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)当时，取最大值，此时 (3)N点横坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点两点， ∴； （2）解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点P作轴于E，则，根据，即可求出；②先求出，抛物线的对称轴为直线，可得A点与B点关于对称轴对称，由题意得直线与对称轴交点为Q，此时最小，求出，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数过，两点，则， ∴， 解得， ∴； （2）解：①过点P作垂直x轴于E，则， ∵． ∴，即， ∵， ∴， 令， 解得，（P在第二象限舍去）， ∴； ②∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴令， 解得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴A点与B点关于对称轴对称， ∵点Q在对称轴上运动， ∴直线与对称轴交点为Q，此时最小； ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴周长的最小值为． 6．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 题型三：二次函数的综合---面积问题 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． (1)求a的值和点A，点B的坐标； (2)如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 【答案】(1)，， (2)面积的最大值为 【分析】（1）把点的坐标代入中，即可求得a的值，从而可得函数解析式；由所求函数解析式即可求得A、B两点的坐标； （2）求出直线的解析式，则可得点D的坐标，再求出直线与的解析式，则可得点E的坐标，从而求得的长，由三角形面积公式得的表达式，由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得，， ，； （2）解：，是抛物线第四象限上的点， ∴， 设直线的解析式为，把B、P两点坐标分别代入解析式中， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ， 随m的增大而增大， 又， 当时，有最大值为， 即面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，一次函数的性质，二次函数的图象与性质等知识． 8．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式可得当时，函数有最小值，求出当、时相应的值即可； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，； （3） 、， ， 设， 则， 即， 解得， 此时或 ， 坐标为或或或． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点直线经过点B、    (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方的抛物线上一动点不与点B、C重合，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点设点P的横坐标为m，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用m的代数式表示的长度以及用面积之比等于高的比处理这一道有公共边的面积比问题． （1）先求出点B和点C坐标，代入抛物线解析式求解即可； （2）线段把分成两个三角形，它们的底边都是，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点B、C， ， 将点代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）过点E作于点M，   点P的横坐标为m， 点，点，点， ， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， ， ， ①当时，； ②当时，； 综上所述，或 题型四：二次函数的综合---等角存在性问题 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形变换，二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．． （1）根据题意得到点C对应点B，点D对应点A，得到，即可求出； （2）根据题意设抛物线的解析式为把代入解析式，计算即可； （3）根据题意得到，设点P坐标，过点P作轴于点E，则，得到，即，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到． ∴点C对应点B，点D对应点A， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴设抛物线的解析式为 把代入解析式，得， 解得， ∴； （3）解：在中，， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P坐标为， 过点P作轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， 即， ， ， 或， 解得或或（舍）， 代入点P坐标， 解得点P坐标或． 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； (3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 【答案】(1) (2)9 (3)符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． 【详解】（1）解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． （3）解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． (3)若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)当时，点Q的坐标为或 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得直线的解析式为，然后先得出当面积最大时点P的坐标，作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，，进而分别得出直线的解析式为，直线的解析式为，最后问题可求解； （3）由题意可分当点Q在x轴的上方时，当点Q在x轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：令时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，由（1）可得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为， ∵， ∴， 作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，即为， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴； 同理可得：直线的解析式为， 令时，则有， ∴； （3）解：当点Q在x轴的上方时，有，如图所示： ∴， ∴点Q的纵坐标为4， ∴将代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，有，设直线与x轴的交点为F，如图所示： ∴，即 设，则根据两点距离公式可得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：当时，点Q的坐标为或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合及轴对称的性质是解题的关键． 题型五：二次函数的综合---其它角度存在性问题 13．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，是抛物线的对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，是否存在点P使？如果存在，请求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，得到当点在线段上时的周长最小，根据平行线分线段成比例求出，即可得出结果； （3）设出点坐标，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）连接 在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长．此时点P为直线与对称轴的交点， 设对称轴与轴交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∵对称轴 轴， ∴， ∵， ∴； （3）存在；设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 14．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为， (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求直线的解析式，过点P作交于点D，设，则， ，求解四边形的面积最大时的m值，进而可得的坐标； （3）由题意知，分两种情况求解，作，可知直线与抛物线的交点即为点M，根据二次函数的对称性求解M的坐标即可；作直线使交于点F，可知直线与抛物线的交点即为点M，根据勾股定理求出F点的坐标，待定系数法求的解析式，联立求交点坐标即可 【详解】（1）解：将A、B点坐标代入抛物线解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， 将B、C两点坐标代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点P作交于点D，连接，设，则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为， ； （3）由题意知，分两种情况求解， 如图，作， ， 即直线与抛物线的交点即为点M， C、M关于抛物线的对称轴直线对称， ； 如图，作直线使交于点F， 又， ， 即直线与抛物线的交点即为点M， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， 设直线的解析式为， 将C、F点坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合，解题的关键是对知识的灵活运用． 15．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 题型六：二次函数的综合---等腰三角形存在性问题 16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)点G的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 17．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴交x轴于E，点D为抛物线顶点． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，且．求点P的坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为或 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标； （3）若是等腰三角形，通过作图画“两圆一线”来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， ， 解得， ∵点A、B（点A在点B的左侧）， ∴点A为，点B为， 当时， ， ∴点C为， 故答案为：，，； （2）解：∵， 顶点， ， ，， 设直线解析式为：， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 如图，记直线与对称轴的交点为， ∴将代入， 点， ， ， ， 设中边上的高为，则 ， ， 如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 点在过点与直线平行的直线上， 即将直线向下平移8个单位长度即可得到直线， 直线的解析式为：， 联立， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：点与点关于对称轴对称，点，点， ， ①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形， 由图知：当点位于点上方时，B、C、M三点共线， ∴此点舍去； 当点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为； ②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 在中，，， ， 此时点的坐标为或； ③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 连接， 为线段的垂直平分线， ，点为中点， ， 由中点坐标公式得点， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得， 点， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式， 得， 解得， 直线解析式为：， 将代入直线解析式得：， 此时点． 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键． 题型七：二次函数的综合----直角三角形存在性问题 19．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 20．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设抛物线的解析式为，将B、C代入，解出b、c即可； （3）分别讨论、、为斜边，利用勾股定理即可求出M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，． （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或． 21．（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 题型八：二次函数的综合----等腰直角三角形存在性问题 22．（2024秋•东明县校级期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此二次函数解析式和点C的坐标； （2）动点P在二次函数y＝x2+bx+c图象上，且位于第一象限，过点P作PH垂直x轴于点H，连接PA，是否存在点P使△PAH为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用两根式子，解决问题可得结论； （2）设P（x，x2﹣x﹣2），根据AH＝PH，构建方程求解可得结论． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点， ∴二次函数为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）； （2）假设存在，如图，过点P作PH⊥AB于H． ∵△PAH为等腰直角三角形， ∴∠PAH＝∠APH＝45°， ∴AH＝PH， 设P（x，x2﹣x﹣2）， ∴AH＝x+1，PH＝x2﹣x﹣2， ∴x+1＝x2﹣x﹣2，即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∵P位于第一象限，则x＝﹣1舍去， ∴P（3，4）， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标． （2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当△PCC′为等腰直角三角形时，则PN＝CN＝C′N，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，其顶点为：（2，﹣1）， 如下图，设CC′交PQ于点N， 若△PCC′为等腰直角三角形时， 则PN＝CN＝C′N， 设点P（x，x2﹣4x+3）， 则x＝x2﹣4x+3﹣3， 解得：x＝0（舍去）或5， 即点P的横坐标为5， 而原抛物线的对称轴为直线x＝2， 则新抛物线的对称轴为直线x＝2+3+3＝8， 则新抛物线的顶点坐标为：（8，﹣1）， 则抛物线L′的解析式为：y＝（x﹣8）2﹣1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的对称、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中． 24．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【分析】（1）先解方程，求出，从而求得，再用待定系数法求解即可； （2）连接CM，，先求得，，从而得到，即可判断点在以为直径的上；再利用圆与抛物线的对称性求出圆与抛物线另一交点坐标即可； （3）分三种情况：①当，且时，②当，且时，③当，时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、是方程的两根，， ， ， ∵抛物线与x轴相交于点， ， ， ； （2）解：如图①，连接， 抛物线与轴相交于点， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴在直线上， ∴与抛物线的交点关于直线对称， ∴点关于直线对称点坐标为， ∴与抛物线的另一交点坐标为； （3）解：设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴点与点纵坐标相同， ∴把代入，得： ， 解得：, ∴， ∴， 分三种情况： ①当，且时，如图， ∵，， ∴， ∴, 解得：， ∴； ②当，且时，如图， 同理， ∵， ∴, 解得：， ∴； ③当，时，如图， 过点作于， ∵， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 综上所述，存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 题型九：二次函数的综合----平行四边形存在性问题 25．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)存在，满足条件的点M的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （4）解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 26．（24-25九年级上·重庆永川·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数及一次函数表达式、二次函数综合题， （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把分别代入与，得到两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是，则，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到结论即可； （3）根据，则当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，再分情况：当P在第一象限或当P在第四象限或当P在第三象限，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 27．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的横坐标为或4或2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与平行四边形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据二次函数的性质求得a的值，再将点代入求得c的值即可解答； （2）运用二次根式的性质求得抛物线在上的最大值和最小值即可解答； （3）由二次函数的性质可得，进而求得；又，即要求的最大值，只需确定的最大值即可；再求得直线的解析式为， 如图：过E作轴交与F，设，则，即；进而求得，即当， 最大，以、、、为顶点组成的四边形的面积最大，从而确定点E的坐标即可； （4）如图：设，然后分以为边和对角线两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴， 将点代入可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为的对称轴为直线， ∴当时，抛物线有最小值； 当时，，当时，抛物线有最小值， ∴抛物线在的最大值为， ∴抛物线在的取值范围为． （3）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴要求的最大值，只需确定的最大值即可， 设直线的解析式为则， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过E作轴交与F， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当，即时，最大，以、、、为顶点组成的四边形的面积最大． （4）解：如图：设， 如图：当为边时，四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为； 如图：当为边时，当四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为4； 如图：当为对角线时，当四边形是平行四边形时，设， ，解得：； ∴点的横坐标为2； 综上，点N的横坐标为或4或2． 题型十：二次函数的综合----矩形存在性问题 28．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3， ①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2， ∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2， 解得：a，或a， ∴E（1，）或（1，）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n0+3或n0+3， ∴m＝2，n或n， ∴点F的坐标为（2，）或（2，）； ②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2， ∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2， 解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 29．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 30．（2025九年级·湖北荆州·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的负半轴上，边在y轴的正半轴上，且，矩形绕点O按顺时针方向旋转后得到矩形点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线过点，，． (1)判断点E是否在y轴上，并说明理由； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在x轴的上方是否存在点P，Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E在y轴上，理由见解析 (2) (3)存在， 当点P的坐标为时，点Q的坐标为或，当点P的坐标为时，点Q的坐标为或 【分析】（）连接，由矩形的性质得到，，则，可得，即与旋转角相同来得出在轴上的结论； （）过点作轴于，由旋转的性质可得，，，，分别求出，，，然后代入解析式即可求解； （）由矩形的面积为，则以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，设点的坐标为，则点的坐标为，由于点在抛物线上，则，然后解出方程即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴三点共线，即点在轴上； （2）解：过点作轴于， 由旋转的性质可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，且，， ∴， 将，，代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵矩形的面积为， ∴以点，，，为顶点的平行四边形的面积为， ∵点P和点Q都在x轴上方， ∴线段和没有交点， ∴线段为以点，，，为顶点的平行四边形的一条边，且， ∵， ∴以点，，，为顶点的平行四边形中，边上的高为， ∴点P的纵坐标为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， 当点的坐标为时，点的坐标为或， 当点的坐标为时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型十一：二次函数的综合----菱形存在性问题 31．（2024•陕西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线yx﹣2分别交x轴、y轴于点A、B，且抛物线与x轴的另一个交点为C（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A（3，0），B（0，﹣2），再用待定系数法可得抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）求出抛物线yx2x﹣2的对称轴为直线x＝1；设P（m，n），Q（1，t），①若PQ，AB为对角线，可得，②若PA，QB为对角线，则，③若PB，QA为对角线，可得，分别解方程组可得答案． 【详解】解：（1）在yx﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0得x＝3， ∴A（3，0），B（0，﹣2）， 把A（3，0），B（0，﹣2），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）在抛物线对称轴上存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵yx2x﹣2（x﹣1）2， ∴抛物线yx2x﹣2的对称轴为直线x＝1； 设P（m，n），Q（1，t）， 又A（3，0），B（0，﹣2）， ①若PQ，AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，且QA＝QB， ∴， 解得， ∴Q（1，）； ②若PA，QB为对角线，则PA，QB中点重合，且AB＝AQ， ∴， 解得或， ∴Q（1，3）或（1，﹣3）； ③若PB，QA为对角线，则PB，QA的中点重合，且AB＝QB， ∴， 解得或； ∴Q（1，﹣22）或（1，22）； 综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）或（1，﹣22）或（1，22）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，菱形的存在形问题等，解题的关键是掌握菱形的性质，分类列方程组解决问题． 32．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 33．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 题型十二：二次函数的综合----正方形存在性问题 34．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当DE为边时，则DE＝GD＝EF，即可求解；②当DE为对角线时，则DE＝2PH，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）＝ax2+bx+2， 则﹣2a＝2， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）∵B（2，0），C（0，2）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+2， 将B（2，0）代入得：2k+2＝0， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2， 设D（t，﹣t2+t+2）， 分两种情况： ①当DE为边时，设E（n，﹣n+2）， 如图2，四边形GDFE是正方形， ∴DE＝GD＝EF， ∴， 解得：t1＝2（舍），t2， ∴D（，）； ②当DE为对角线时，如图3，过点D作DH⊥x轴于H，则DE＝2DH， ∴DE＝﹣2t2+2t+4， ∴E（﹣2t2+2t+4+t，﹣t2+t+2）， ∵点E在直线y＝﹣x+2上， ∴﹣t2+t+2＝2t2﹣3t﹣4+2， 解得：t或2（舍去）， ∴D（，）， 综上，点D的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 35．（2024•武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分AC＝AQ、AC＝CQ两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可； （3）计算出FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG，即可求解． 【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），函数的对称轴为直线x＝1， 则设点Q的坐标为（1，m）， 由点A、C、Q的坐标得：AC2＝12+32＝10， 同理可得：AQ2＝4+m2，CQ2＝1+（m+3）2， 当AC＝AQ时，则10＝4+m2，解得m＝±； 当AC＝CQ时，同理可得m＝﹣6或0（舍去﹣6）， 故点Q的坐标为（1，0）或（1，）或（1，）； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故点D的坐标为（1，﹣4）， 由点B、D的坐标得，点P（2，﹣2）， 则点F（2，0）， 设点M的坐标为（a，0），则点G（a，a2﹣2a﹣3）， 则FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|， 当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG， 即|2﹣a|＝|a2﹣2a﹣3|， 当2﹣a＝a2﹣2a﹣3时，解得a， 当﹣（2﹣a）＝a2﹣2a﹣3时，解得a， 故点M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形和等腰三角形的性质等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏． 36．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 题型十三：二次函数的综合----相似三角形存在性问题 37．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据对称轴方程即可求解； （2）由，得到顶点的坐标，与轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得的长度，得到点的坐标，求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，联立方程组求出点的坐标； （3）当时，，得到点的坐标，由勾股定理解出的长度，如图，当时，，得到比例式，由知，求出，解出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组， 得，， ∴； （3）解：①如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 38．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 39．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【分析】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，二次函数综合—相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型十四：二次函数的综合----其它问题 40．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)当时，求点的坐标； (4)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）由勾股定理得，，，即可求解； （4）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【详解】（1）解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； （2）解： 轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； （3）解：点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、， ，， ， ， ， 当时， ， ， 解得：，； 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （4）解：由（3）得，顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理等，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 41．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (4)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； （3）解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； （4）解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 42．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (4)当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； （3）解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； （4）解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $