24.7 第1课时 弧长与扇形面积-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）

该教案聚焦弧长与扇形面积公式及应用，通过生活中弧形实例（星体轨道、水管弯管等）导入，结合圆周角定理、垂径定理等旧知推导公式，搭建“旧知—推导—应用”的学习支架。 特色在于以合作探究为主线，典例1结合圆周角、垂径定理推导公式发展推理能力（数学思维），典例2将旋转后阴影面积转化为规则图形面积培养转化思想，情境导入渗透数学眼光。助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供结构化教学流程与实例参考。

24.7　弧长与扇形面积 第1课时　弧长与扇形面积 ◇教学目标◇ 　　1.掌握弧长、扇形面积公式及其推导过程. 2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程,发展学生的分析问题、解决问题的能力. 3.通过探索弧长及扇形面积计算公式的过程,让学生体会到数学活动充满着探索性和创造性,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性,激发学生的兴趣,提高学习积极性. ◇教学重难点◇ 教学重点 圆心角所对的弧长和扇形面积公式及应用. 教学难点 两个公式的推导和求不规则图形的面积. ◇教学过程◇ 一、情境导入 在我们日常生活中,弧形随处可见,大到星体运行轨道,小到水管弯管、操场跑道、高速立交的环形入口等,想一想:这些弧形的长度怎么计算呢? 二、合作探究 探究点1　用公式求弧长和扇形面积 典例1　如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且CD⊥AB,∠D=30°,CD=2. (1)根据圆周角定理可知∠BOC=2∠D=　　　　,所以∠AOC=180°-∠BOC=　　　　.  (2)根据垂径定理可知CE=CD=　　　　,则OC==　　　　.  (3)根据弧长公式,的弧长为C==　　　　=　　　　;根据扇形的面积公式,扇形AOC的面积为S==　　　　=　　　　.  [解析]　(1)根据圆周角定理,知∠BOC=2∠D=60°,根据平角的定义,知∠AOC=180°-∠BOC=120°;(2)根据垂径定理,知CE=CD=,根据三角函数,知OC=2;(3)根据弧长公式,知的长为=,根据扇形的面积公式,知扇形AOC的面积为=. [答案]　(1)60°　120° (2)　2 (3)　　　 计算扇形面积的方法:在计算扇形的面积时,要根据情况选用合适的公式,当已知扇形的半径R和圆心角n°时,选用公式S扇形=;当已知扇形的弧长Cn和半径R时,选用公式S扇形=CnR. 变式训练　如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,OC=2,求阴影部分图形的面积.(结果保留π) [解析]　∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E, ∴CE=DE,∠CEO=∠DEB=90°. 又∵∠CDB=30°, ∴∠COB=60°,∠OCE=∠CDB. 在△OCE和△BDE中, ∴△OCE≌△BDE(ASA), ∴S阴影=S扇形BOC==π. 探究点2　求不规则图形的面积 典例2　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为,求图中阴影部分的面积. [解析]　根据题意可知△ABC≌△AB'C',则S阴影=S扇形ABB'+S△ABC-S△AB'C'=S扇形ABB'. 在扇形ABB'中,∠BAB'=45°,且AB=2AC=4, ∴S阴影=S扇形ABB'==2π. 求不规则图形面积的一般方法:先分析图形可以分解为哪些规则图形,再分析这些规则图形之间的关系,将不规则图形转化为规则图形面积的和或差的形式,一般要借助辅助线. 变式训练　如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画和,连接AD,求图中阴影部分的面积. [解析]　如图,作DH⊥AE于点H.由题意可知AB=EF=DE==. 由旋转性质可知△EOF≌△BOA≌△DHE, ∴OA=EH,∴AH=OE=DH, ∴△ADH是等腰直角三角形, ∴S阴影=S扇形AOF+S△ADH+2S△EOF-S扇形DEF=π×22+×1×1+2××2×1-π×()2=-π. 三、板书设计 弧长与扇形面积 知识 点 内容 关键点 提示 扇 形 弧 长 C=·n= =··r=Cr 面 积 S=·n=;S=Cr ◇教学反思◇ 在教学过程中,注意通过层层设问引导学生获得计算公式,让学生知道公式的推导过程;在课堂练习中,教师指导学生融合相关知识点,进行转化和计算. 从课堂发言和练习情况来看,学生在探究弧长和扇形面积公式时,推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定发展. 1 立足安徽 精准备考 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $