2.5 二次函数与一元二次方程-【木牍中考·名师教案】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该教案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过小球竖直上抛运动的实际问题导入，联系二次函数表达式，引导学生思考落地时间的求解方法，搭建从现实情境到数学模型的桥梁，衔接旧知与新知。 特色在于情境导入贴近生活，培养数学眼光，合作探究中典例与变式结合，提升推理意识，板书用表格对比交点与方程根的关系，强化数学语言表达。帮助学生发展抽象能力与几何直观，教师教学环节清晰，利于高效实施。

5　二次函数与一元二次方程 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能说出二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程根的情况关系,并能熟练的判断二次函数与x轴的交点个数. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学的数形结合思想. 3.应用数形结合思想,体会二次函数与一元二次方程的联系,并形成自己的思维体系. ◇教学重难点◇ 教学重点 判断二次函数与x轴的交点个数,求二次函数与x轴的交点坐标. 教学难点 利用数形结合思想判断二次函数与x轴的交点个数,求二次函数与x轴的交点坐标. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t +h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系是h=gt2,那么,小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法? 二、合作探究 探究点1　二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的关系 典例1　若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为1,2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线 (　　) A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=- [解析]　∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为1,2,∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=. [答案]　C 变式训练　如图是y=ax2+2x-1的图象,那么ax2+2x-1=0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标 (　　) [答案]　C 探究点2　二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的情况的关系 典例2　已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点. (1)求b,c的值. (2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由. [解析]　(1)把点A(0,3),B分别代入y=-x2+bx+c, 得解得 (2)∵抛物线的表达式为y=-x2+x+3. Δ=-4××3=>0, ∴二次函数y=-x2+x+3的图象与x轴有公共点. ∵-x2+x+3=0的解为x1=-2,x2=8, ∴公共点的坐标是(-2,0)和(8,0). 技巧点拨y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点、一个交点、没有交点,就可以得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根、有一个实根、没有实根,反之亦然. 变式训练　已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方? [解析]　(1)当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0, 解得x1=1,x2=m+3. 当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根; 当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根. ∴不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点. (2)当x=0时,y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6, ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6, ∴当2m+6>0时,m>-3. 即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 探究点3　二次函数与不等式 典例3　如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①2a+b+c>0;②a-b+c<0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有 (　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 [解析]　∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a,∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0,故①正确;∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,∴当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,故②正确;∵当x=1时,二次函数有最大值,∴ax2+bx+c≤a+b+c,∴ax2+bx≤a+b,故③正确;∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,∴当x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<-3+c,而b=-2a,∴9a-6a<-3,解得a<-1,故④正确. [答案]　A 　　二次函数与不等式(组)的关系:利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围,利用数形结合的思想求解,既可以由函数值的范围确定自变量的范围,也可由自变量的取值范围,确定函数值的范围. 变式训练　如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是　　　　.  [答案]　x<-1或x>5 三、板书设计 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 b2-4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 无公共点 无实数根 b2-4ac<0 ·◇教学反思◇ 　　通过问题情境的设置,让学生能带着求知欲进行这节课的学习,也充分调动了学生学习的积极性,为新课的学习做了铺垫.教师引导学生注意以下几点:(1)抛物线与坐标轴交点的求法,即令x=0或y=0,然后求出相应的纵坐标或横坐标;(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算“b2-4ac”进行判断.教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 1 立足安徽 精准备考 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $